Auf Issai Schur geht die Idee zurück, dass man die (für Darstellungen der U(n) von Adolf Hurwitz betrachtete) invariante Integration auch für beliebige kompakte Gruppen zur Verfügung hat und damit insbesondere zu jeder Darstellung – durch Mittelung einer beliebigen Metrik über die Gruppenbahnen – stets eine invariante Metrik konstruieren kann. Damit sollte man Argumente aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen auf kompakte Gruppen übertragen können.
Aus der Konstruktion einer invarianten Metrik folgt insbesondere, dass jede Darstellung einer kompakten Gruppe äquivalent zu einer unitären Darstellung ist.
Mit diesem Trick bewiesen Peter und Weyl, dass man jede Darstellung einer kompakten Gruppe als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegen kann – zu jedem invarianten Unterraum hat man das wegen der Unitarizität invariante orthogonale Komplement – und dass die reguläre Darstellung einer kompakten Gruppe G auf L2(G) sich als direkte Summe aller irreduziblen Darstellungen von G zerlegt.
Die Matrixkoeffizienten irreduzibler, unitärer Darstellungen bilden damit eine Orthonormalbasis von L2(G) – für die Kreisgruppe S1=R/2πZ reproduziert das die klassische Zerlegbarkeit 2π-periodischer Funktionen in trigonometrische Reihen.
Schur hatte auch vorgeschlagen, dass man mittels invarianter Integration Cartans Darstellungstheorie halbeinfacher Lie-Gruppen auf kompakte Gruppen übertragen könne. Das wurde von Weyl in den nächsten Jahren ausgearbeitet. Anders als Cartans infinitesimaler Ansatz über die Darstellungen der zugehörigen Lie-Algebren war Weyls Ansatz global und funktionierte dann (mit dem einige Jahre später von Haar konstruierten invarianten Maß) auch für stetige Darstellungen kompakter Gruppen, die nur das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und zusammenhängend sein müssen. (André Weil zeigte später, dass das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht benötigt wird. Auch die Zusammenhangsbedingung ist nicht wirklich notwendig.)
Wie auch Cartan benutzte Weyl aber wesentlich die auf Killing zurückgehenden Konzepte der Wurzelsysteme und der zugehörigen Spiegelungsgruppen.
Jede kompakte Gruppe G hat einen maximalen Torus T, eindeutig bis auf Konjugation. Dieser spielt dann eine analoge Rolle wie die von Killing eingeführte (und von Weyl als Cartan-Unteralgebra bezeichnete) nilpotente, selbstnormalisierende Unteralgebra bei den einfachen Lie-Algebren.
Man bekommt wieder einen Satz vom höchsten Gewicht, allerdings mit einem etwas spezielleren Begriff integraler Gewichte. Die (endlich-dimensionalen) Darstellungen von G entsprechen dann den Darstellungen von T modulo der Wirkung einer gewissen (später als Weyl-Gruppe bezeichneten) Symmetriegruppe W.
Im Fall G=SU(n) ist T die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Spur 0 und Einträgen auf dem Einheitskreis), und W ist die auf den Diagonaleinträgen wirkende Permutationsgruppe Sn. Der Ring aller endlich-dimensionalen Darstellungen ist für G=SU(n) isomorph zum Polynomring C[λ1,λ2,…,λn-1], wobei λ1 der kanonischen Darstellung von SU(n) auf V=Cn und λi der von dieser induzierten Darstellung auf dem i-fachen Tensorprodukt V⊗…⊗V entspricht.
Weyl fand schöne Formeln für Charaktere und Dimensionen der irreduziblen Darstellungen. Tatsächlich war seine Charakterformel, mit der man die Charaktere auf einem maximalen Torus berechnen kann, ein wichtiger Teil des Beweises zum Satz von Peter-Weyl gewesen. (Der Satz von Peter-Weyl ließe sich auch ohne die Charakterformel beweisen, für die Klassifikation der Darstellungen ist die Charakterformel aber zentral.) Und mit dem unitären Trick erklärte er den Zusammenhang zwischen der Darstellungstheorie einfacher und kompakter Gruppen auch konzeptuell.
Weyls 1928 geschriebenes Buch „Gruppentheorie und Quantenmechanik“ war dann so erfolgreich, dass manche Physiker von einer Gruppenpest sprachen.
Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Portrait_of_Hermann_Weyl_(1885-1955),_Mathematician_(2553692300).jpg
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