Theorema Magnum MCMXXVII: das Artinsche Reziprozitätsgesetz

Beim quadratischen Reziprozitätsgesetz geht es um die Lösbarkeit der Gleichung x²=p mod q. Für seine Formulierung verwendet man das Legendre-Symbol , welches 1 sein soll, wenn x²=p mod q eine Lösung hat, und -1 sonst. Dann besagt das Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen p,q.

In ideal- und körpertheoretischer Sprache übersetzt sich x²=p mod q in die Gleichung für Hauptideale in der Körpererweiterung Q(√p). Das quadratische Reziprozitätsgesetz sagt also etwas über die Zerlegbarkeit von Primidealen in quadratischen Erweiterungen von Q. Das Ziel der Klassenkörpertheorie ist es, allgemeiner für abelsche Körpererweiterungen L/K einerseits Zerlegungsgesetze in L für die Hauptideale in K zu finden, andererseits (damit verwoben) ein allgemeines Reziprozitätsgesetz zu erhalten.

Das Legendre-Symbol hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass der einzige nichttriviale Homomorphismus ist. Damit ist das quadratische Reziprozitätsgesetz äquivalent zu der Behauptung, dass mit die Abbildung ein Homomorphismus sein soll.
In körpertheoretischer Sprache ist nun gerade die Galois-Gruppe von , wobei -1 dem Konjugationshomomorphismus a+b√p*—>a-b√p* entspricht. Weiter läßt sich (Z/pZ)* als eine gewisse Gruppe von Idealklassen interpretieren, der Homomorphismus ist also eine Abbildung einer gewissen Idealklassengruppe in eine Galois-Gruppe.

Das Reziprozitätsgesetz hat noch eine andere (auf Euler zurückgehende) Fassung, die sich besser verallgemeinern läßt. Für eine quadratfreie ganze Zahl d, und für zwei Primzahlen p und q, die keine Teiler von 2d sind, gilt

Daraus folgt insbesondere, dass einen Homomorphismus definiert.
Allgemeiner kann man nun für ein monisches Polynom f mit ganzzahligen Koeffizienten und Diskriminante Δ(f)≠0 die Körpererweiterung für eine Nullstelle α von f betrachten. Dann gibt es einen Homomorphismus . Dieser Homomorphismus ist Ende des 19. Jahrhunderts von Frobenius konstruiert worden. Seine Grundidee ist, dass in Körpern der Charakteristik p die p-te Potenzabbildung ein Körperhomomorphismus ist: neben der offensichtlichen Beziehung (xy)^p=x^py^p gilt in Körpern der Charakteristik p auch (x+y)^p=x^p+y^p. Dies trifft insbesondere auf F_p(α) zu und Frobenius bewies, dass es einen Automorphismus Frob_p von Q(α)/Q gibt, der modulo p mit dieser p-ten Potenz übereinstimmt, präzise: für rationale q_i, deren Nenner nicht durch p teilbar ist.
Darauf aufbauend kann man für eine Erweiterung L/K von Zahlkörpern zu jedem Primideal p in O_K einen Körperautomorphismus definieren, indem man für ein über p liegendes Ideal q die Quotientenkörper betrachtet. Die Galois-Gruppe Gal(F_q/F_p) wird von der Abbildung erzeugt. (Die Norm N(p) des Ideals p ist definiert als N(p)=#F_p.) Gal(F_q/F_p) ist isomorph zu einer Untergruppe von Gal(L/K) und das entsprechende Element von Gal(L/K) bezeichnet man als Frob_p. (Im allgemeinen ist es wegen der Wahl von q nur definiert bis auf Konjugation, bei abelschen Erweiterungen entfällt diese Mehrdeutigkeit.)

Aufbauend auf dem allgemein definierten Körperautomorphismus Frob_p gab Artin die allgemeine Definition der L-Reihe einer Darstellung ρ von Gal(L/K). Der Darstellung ρ ordnet er die als Produkt L(s,ρ)=Π (1-ρ(Frob_p)N(p)^-s)^-1 über alle unverzweigten Primideale p definierte L-Reihe zu. Für diese L-Reihe hat man Konvergenz für Re(s)>1 und meromorphe Fortsetzbarkeit. Er beweist eine Funktionalgleichung. Weiter bekommt er eine Produktdarstellung ζ_L(s)=ζ_K(s)Π L(s,ρ), wobei sich das Produkt über alle nicht-trivialen irreduziblen Darstellungen ρ von Gal(L/K) erstreckt. Offen bleibt die Vermutung, dass man für irreduzible Darstellungen eine ganze Funktion erhält.

Artin hatte diese Definition einer L-Reihe für (nicht notwendig abelsche) Galois-Erweiterungen schon Anfang der 20er Jahre erwogen. Für abelsche Erweiterungen sollte sie mit Heckes L-Reihe von Größencharakteren übereinstimmen in dem Sinne, dass es zu jeder Darstellung ρ:Gal(L/K)—>GL(1,C) einen Hecke-Charakter χ mit ρ(Frob_p)=χ(p) für alle unverzweigten Primideale p geben solle. Daraus würde man die Gleichung L(s,ρ)=L(s,χ) bekommen.
Damit es zu jeder Darstellung einen solchen Hecke-Charakter gibt, muß die Zuordnung p—>Frob_p einen Isomorphismus einer gewissen Gruppe von Idealklassen auf Gal(L/K) geben. Nun hatte Takagi in seiner Arbeit zur Klassenkörpertheorie tatsächlich die Isomorphie zwischen der besagten Gruppe von Idealklassen und der Galois-Gruppe Gal(L/K) bewiesen. Er hatte aber keinen expliziten Isomorphismus gefunden und so war es offen, ob die Abbildung p—>Frob_p tatsächlich jener Isomorphismus ist. Artin konnte jedenfalls zeigen, dass dieser Isomorphismus alle bekannten Reziprozitätsgesetzes implizieren würde, weshalb er ihn das allgemeine Reziprozitätsgesetz nannte und zu beweisen versuchte. Andere Zahlentheoretiker hielten die Vermutung für zu optimistisch.