Theorema Magnum MCMXXXII: der Satz von Brauer-Hasse-Noether

Noch in den 1920er Jahren bestand der Inhalt einer Algebra-Vorlesung aus „konkreter“ Mathematik: Determinanten, symmetrische Funktionen und Resultanten, der Trägheitsindex einer reellen quadratischen Form, die Lösung kubischer und biquadratischer Gleichungen, die Sturmsche Regel zur Anzahl reeller Nullstellen eines Polynoms, projektive Geometrie (Erzeugung der Kegelschnitte durch zwei Geradenbüschel), und abzählende Geometrie (z.B. die Anzahl von Kegelschnitten mit gewissen Bedingungen).

Das änderte sich durch den (indirekten) Einfluß von Emmy Noether, beginnend mit ihrer heute als Beginn der abstrakten Algebra angesehenen, 1921 in Mathematische Annalen erschienenen Arbeit „Idealtheorie in Ringbereichen“. In dieser Arbeit bewies sie für Ringe mit der „aufsteigende Ketten“-Bedingung (heute als Noethersche Ringe bezeichnet) die Eindeutigkeit der Zerlegbarkeit von Idealen in Primärideale.

Ideale und ihre Zerlegbarkeit in Primideale waren ursprünglich in der algebraischen Zahlentheorie von Interesse. Mittels „idealer Zahlen“ war die Eindeutigkeit der Primzerlegung in Kreisteilungskörpern erreicht worden. (Die fehlende Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für echte Elemente eines Kreisteilungskörpers Q(e^2πi/n) war der Grund für das Scheitern eines damals vieldiskutierten Beweises zur Fermat-Vermutung gewesen.) Die von Kummer eingeführten idealen Zahlen lassen sich als Kerne von Ringhomomorphismen des Ganzheitsrings eines algebraischen Zahlkörpers in endliche Körper interpretieren, auch wenn sie natürlich von damaligen Zahlentheoretikern nicht auf diese Weise betrachtet wurden.
Richard Dedekind, der letzte Student von Carl Friedrich Gauß, hatte dann eine Reihe von für seine Zeitgenossen sehr abstrakten Begriffen wie Ringen, Ordnungen, Moduln und Idealen eingeführt. Während im Ganzheitsring O_K eines Zahlkörpers K die Primfaktorzerlegung nur dann eindeutig ist, wenn die Klassenzahl 1 ist, konnte Dedekind jedoch beweisen, dass für Ideale in O_K die Zerlegung in Primideale eindeutig ist.

Ein ähnliches Problem stellt sich in der algebraischen Geometrie. Dort sind beispielsweise die Polynome x-1 und y²-x beide irreduzibel, aber die durch sie definierte Varietät besteht aus zwei unzusammenhängenden Punkten (1,1) und (1,-1). Die Zerlegung einer Varietät in ihre irreduziblen Komponenten bekommt man also nicht einfach durch Faktorisierung der definierenden Polynome. (Außerdem sind die eine Varietät definierenden Polynome nicht eindeutig bestimmt. Im Beispiel könnte man dieselbe Varietät auch durch die Polynome x²+y²-2 und x²-4x+y²+2 definieren. Weil die Beschreibung durch Polynome nicht eindeutig ist, hatten Dedekind und Weber in den 1880er Jahren Kurven nicht durch definierende Polynome, sondern als durch ihren Funktionenkörper bestimmt angesehen: jeder endlichen Erweiterung von C(x) entspricht der Funktionenkörper einer Kurve. Die Punkte der Kurve entsprechen den Bewertungen des Funktionenkörpers.)
Die natürliche Definition algebraischer Varietäten ist deshalb, im Polynomring das Ideal aller auf der Varietät verschwindenden Polynome zu betrachten. Im Beispiel ist dies das von x-1 und y²-x erzeugte Ideal. Die Frage nach der Zerlegung einer Varietät in irreduzible Varietäten übersetzt sich dann in die algebraische Frage nach der Zerlegbarkeit von Idealen. Diese hatte der damalige Schachweltmeister Emanuel Lasker 1906 gelöst: jedes Ideal im Polynomring C[x₁,…,x_n] hat eine Zerlegung in Primärideale. Noethers Arbeit von 1921 formulierte dann die „aufsteigende Ketten“-Bedingung, unter der dieser Satz auch in allgemeinen Ringen richtig ist. Laskers Satz ist ein Spezialfall, weil die aufsteigende Kettenbedingung sich von C auf den Polynomring überträgt.

Noether hatte zwar formal keine Mitarbeiter oder Studenten, die Mitglieder ihres Kreises wurden aber gemeinhin als Noether-Knaben bezeichnet. (Wobei auch einige Frauen darunter waren.) Sie publizierte nicht viel, sondern überließ die Publikation ihrer Ideen den jungen Leuten und regte sie auch ausdrücklich dazu an. Sie war sehr freigiebig mit ihren Gedanken und stellte keine Prioritätsansprüche. Vor allem Bartel van der Waerden trug mit seinem auf Vorlesungen Noethers und Artins beruhenden Lehrbuch „Moderne Algebra“ zur Verbreitung ihrer Ideen bei. Das Buch erschien 1930 und bedeutete eine Abkehr von konkreten Rechentechniken und eine Hinwendung zur Untersuchung abstrakter Strukturen. Es wurde für die nächsten Jahrzehnte das Standardwerk für Algebra-Vorlesungen.
Auch van der Waerdens Ansätze zur algebraischen Geometrie waren stark von Noether beeinflußt. So hatte sie ihm etwa nahegelegt, wie man die Dimension einer algebraischen k-Varietät definieren solle, nämlich über den Transzendenzgrad ihres Funktionenkörpers, also des Körpers der rationalen Funktionen als Körpererweiterung von k. (Ernst Steinitz hatte in seiner grundlegenden Arbeit zur Körpertheorie die Unabhängigkeit des Transzendenzgrades vom Erzeugendensystem bewiesen.) Van der Waerdens Arbeit “Zur Nullstellentheorie der Polynomideale” baute auf Stoff auf, den Noether ein halbes Jahr zuvor in ihrer Vorlesung behandelt hatte und begann mit dem Postulat

Die exakte Begründung der Theorie der algebraischen Mannigfaltigkeiten in n-dimensionalen Räumen kann nur mit den Hilfsmitteln der Idealtheorie geschehen, weil schon die Definition einer algebraischen Mannigfaltigkeit unmittelbar auf Polynomideale führt. Eine Mannigfaltigkeit heißt ja algebraisch, wenn sie durch algebraische Gleichungen in den n Koordinaten bestimmt wird, und die linken Seiten aller Gleichungen, die aus diesen Gleichungen folgen, bilden ein Polynomideal.

Die italienische Schule der algebraischen Geometrie hatte stets über komplexen Zahlen gearbeitet, sie nutzte mit großem Erfolg Stetigkeit und Topologie in ihren Argumenten, war aber nicht immer sorgfältig in der Behandlung ausgearteter Fälle. Über beliebigen Körpern k ließen sich ihre Stetigkeitsargumente ebensowenig anwenden wie sich ihre Begriffe eines generischen Punktes oder der Schnittvielfachheit verallgemeinern ließen. Van der Waerden entwickelte diese Begriffe neu, indem er in Körpererweiterungen K von k arbeitete.

Noether veröffentlichte nie etwas zur algebraischen Topologie, gab aber in Diskussionen mit Heinz Hopf und Pawel Alexandrow einen entscheidenden Impetus für deren Entwicklung: man solle basisfrei Kern und Bild des Randoperators als Moduln betrachten statt wie Poincaré den Randoperator durch Inzidenzmatrizen darzustellen. Entsprechend solle man mit den Homologiegruppen arbeiten statt mit Betti-Zahlen und Torsionskoeffizienten, und mit Gruppenhomomorphismen statt mit Matrizen.
Ihr einziger schriftlicher Beitrag zur algebraischen Topologie war eine kurze Bemerkung in der Arbeit “Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie”, in der sie beiläufig erwähnte, dass auch für Anwendungen beispielsweise in der Topologie ein Zurückgehen auf die Elementarteilertheorie (zur Bestimmung der Invarianten) nicht notwendig sei, sondern die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen völlig ausreiche.
Mit dem Ansatz, stetigen Abbildungen die Homomorphismen der simplizialen Kettenkomplexe und Homologiegruppen zuzuordnen – in heutiger Sprache: die Funktorialität der Homologiegruppen auszunutzen – konnte Hopf einen neuen Beweis des Lefschetzschen Fixpunktsatzes geben. Er ergab sich als Folgerung aus einer mit linearer Algebra leicht zu beweisenden Spurformel: für eine Kettenabbildung eines Kettenkomplexes C_* mit Homologie H_* gilt .
Mit Hopfs Spurformel bekommt man auch sofort, dass für einen Simplizialkomplex die Wechselsumme über die Dimensionen der Homologiegruppen mit der Euler-Charakteristik – der Wechselsummen über die Anzahlen der i-Simplizes – übereinstimmt. Insbesondere erhält man die Eulersche Polyederformel: weil ein konvexer Polyeder homöomorph zur 2-Sphäre ist, deren Homologiegruppen die Dimensionen 1,0,1 haben, hat man E-K+F=1-0+1=2.

Auch in anderen Gebieten, insbesondere in der Darstellungstheorie, „befreite“ Emmy Noether die lineare Algebra von Matrizen und Determinanten. Schon auf der DMV-Tagung 1925 in Danzig propagierte sie in ihrem Vortrag, Darstellungstheorie im Kontext abstrakter Algebren zu betreiben. In ihrer 1929 in Mathematische Zeitschrift erschienenen Arbeit „Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie“ ordnete sie jeder Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V=Kⁿ ihren Darstellungsmodul zu, d.h. sie betrachtete V als Modul über dem Gruppenring K[G]. Man hat so eine 1:1-Korrespondenz zwischen einerseits Darstellungen der Gruppe G auf K-Vektorräumen und andererseits Moduln über dem Gruppenring K[G].
Mittels dieser Korrespondenz kann man die Strukturtheorie von Moduln auf V anwenden und auch die Strukturtheorie der (damals noch als „hyperkomplexe Systeme“ bezeichneten) assoziativen Algebren auf K[G].
Eigenschaften von Algebren und Moduln übertragen sich in die Darstellungstheorie. Zwei Darstellungen sind äquivalent, wenn ihre Darstellungsmoduln isomorph sind. Eine Darstellung ist irreduzibel, wenn ihr Darstellungsmodul einfach ist. Sätze der Darstellungstheorie lassen sich in der Sprache der Moduln formulieren und haben dort oft einfachere Beweise. Schurs Lemma besagt in dieser Sprache, dass für einen einfachen A-Modul M (über einem beliebigen Ring A) der Endomorphismenring End_A(M) ein Schiefkörper ist. Frobenius‘ Reziprozitätssatz besagt dann, dass man für einen R[G]-Modul M und einen R[H]-Modul L (für eine Untergruppe H von G) einen Isomorphismus von R-Moduln hat. Der Satz von Maschke bedeutet, dass für char(K)=0 und endliche Gruppen G die Gruppenalgebra K[G] halbeinfach ist.

Emil Artin hoffte damals, dass sich mit einfachen Algebren und nichtkommutativen Kohomologiegruppen eine Klassenkörpertheorie für nichtabelsche Erweiterungen begründen ließe, was sich so nicht erfüllte. Noether konnte aber beispielsweise den Satz 90 aus Hilberts Zahlbericht in kohomologischer Sprache als H¹(G,L*)=0 für Körpererweiterungen L/K mit zyklischer Galois-Gruppe G formulieren und ihn in dieser Formulierung H¹(G,GL(m,L))=0 dann auch für nicht-zyklische, endliche Körpererweiterungen verallgemeinern - was allerdings (wie sie in ihrer Arbeit erwähnte) äquivalent zu einem schon zehn Jahre zuvor von Speiser bewiesenen Satz war. Das war eines von vielen Beispielen, wo es in ihrer Arbeit mehr um begriffliche Durchdringung als um neue Sätze ging.

Mit dem Zahlentheoretiker Helmut Hasse führte Noether einen regelmäßigen Briefwechsel, der zumindest in den ersten Jahren etwas von einer Lehrer-Schüler-Beziehung hatte: sie kritisierte und lobte, gab gute und nicht so gute Noten, ermutigte und lehrte ihn. Skeptisch war sie zunächst bezüglich einer Vermutung Hasses, einem Lokal-Global-Prinzip für Algebren. So wie sich - laut Hasses Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen - die Isotropie einer quadratischen Form (über Q oder einem Zahlkörper) durch Betrachten der p-adischen Vervollständigungen entscheiden lasse, so sollte sich nach Hasses Vermutung der Zerfall einer Algebra (über Q oder einem Zahlkörper) durch Betrachten der p-adischen Vervollständigungen entscheiden lassen.
Man sagt, dass eine Algebra über einem Körper K zerfällt, wenn sie isomorph zu einer Matrizenalgebra Mat(n,K) ist. Theodor Molien hatte 1891 bewiesen, dass jede einfache Algebra über C zerfällt. Das war von Élie Cartan dahingehend verallgemeinert worden, dass einfache Algebren über R stets Matrizenalgebren über einer R-Divisionsalgebra sind, also nach Frobenius über R, C oder H. Joseph Wedderburn hatte schließlich 1907 einen Struktursatz für Algebren über beliebigen Körpern K bewiesen: jede assoziative Algebra ist die Summe einer nilpotenten und einer halbeinfachen Algebra, jede halbeinfache Algebra ist die Summe einfacher Algebren, und jede einfache Algebra ist eine Matrixalgebra Mat(n,D), wobei D eine K-Divisionsalgebra ist. Für algebraisch abgeschlossene Körper bedeutet das, dass jede einfache K-Algebra über K zerfällt.

Das von Hasse vermutete Lokal-Global-Prinzip für Algebren besagt, dass eine Algebra über einem Zahlkörper genau dann zerfällt, wenn das für alle ihre p-adischen Vervollständigungen der Fall ist. Der Beweis dieser Vermutung bestand dann aus drei von Richard Brauer, Helmut Hasse und Emmy Noether jeweils einzeln gefundenen Reduktionen, die sie gemeinsam in der 1932 in Crelle‘s Journal erschienenen Arbeit „Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren“ veröffentlichten. (Teile des Beweises waren unabhängig auch von Abraham Albert gefunden worden und auch in einer schwer verständlichen Dissertation von Artins erster Doktorandin Käte Hey.)

Das Ergebnis führte zu einer vollständigen Klassifikation endlich-dimensionaler Divisionsalgebren über Zahlkörpern mittels ihrer lokalen Invarianten. Zusammen mit einem ein Jahr später von Hasses Studenten Wilhelm Grunwald bewiesenen und heute als Satz von Grunwald-Wang (nach Artins Studenten Xianghao Wang, der 15 Jahre später einen Fehler fand und korrigierte) bekannten Resultat implizierte der Satz von Brauer-Hasse-Noether, dass einfache Algebren über Zahlkörpern K „zyklisch“ sind, d.h. durch eine explizite Konstruktion aus einer zyklischen Erweiterung L/K gewonnen werden können.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:EmmyNoether_MFO3096.jpg