Theorema Magnum MCMXXXVI: der Einbettungssatz von Whitney

Mannigfaltigkeiten sollen Räume sein, die lokal wie der Vektorraum Rⁿ aussehen. Was exakt unter dem Konzept „Mannigfaltigkeit“ zu verstehen ist, wurde im 19. Jahrhundert zunächst von Riemann, später auch von Klein, Betti, Lipschitz, Dyck und anderen diskutiert.
Bei Poincaré waren Mannigfaltigkeiten ursprünglich Untermannigfaltigkeiten im euklidischen Raum, später dann Simplizialkomplexe, womit er wohl implizit annahm, dass Mannigfaltigkeiten trianguliert werden könnten. (Für Flächen bewies das 1925 Tibor Radó, womit er dann auch den ersten vollständigen Beweis der Klassifikation von Flächen geben konnte.) Triangulierte Mannigfaltigkeiten verwendeten dann auch Dehn und Heegaard in ihren Arbeiten über 3-Mannigfaltigkeiten, Tietze formulierte in diesem Zusammenhang die Hauptvermutung über die Eindeutigkeit von Triangulierungen bis auf Unterteilung. (Sie wurde mehr als 50 Jahre später widerlegt.) In den 1920er Jahren gab es zahlreiche konkurrierende Ansätze für eine kombinatorische Definition von Mannigfaltigkeiten.

Lokale Parametrisierungen waren bei Poincaré und anderen natürlich vorgekommen. Hermann Weyls Buch „Die Idee der Riemannsche Fläche“ (1913) hatte Flächen erstmals dadurch definiert, dass jede Umgebung eines Punktes „eine umkehrbar eindeutige Abbildung auf die inneren Punkte eines gewöhnlichen Euklidischen Kreises“ haben sollte. Veblen und Whitehead hatten in ihrem 1932 erschienenen Lehrbuch der Differentialgeometrie die Topologie einer Mannigfaltigkeit erstmals nicht als gegeben betrachtet, sondern über die Karten eines Atlanten definiert.

Damit lag es dann nahe, auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten zu betrachten als diejenigen, bei denen die Kartenübergänge differenzierbare Funktionen sind. Mit diesem Ansatz definierten Veblen und Whitehead Mannigfaltigkeiten unterschiedlicher Differenzierbarkeitsstufen: eine C^k-Mannigfaltigkeit ist eine, deren Kartenübergänge k-mal stetig differenzierbar sind. Allgemeiner charakterisierten sie die „Struktur“ einer Mannigfaltigkeit durch die Pseudogruppe der zulässigen Kartenübergänge. Die Begriffe der Differentialgeometrie konnten damit kartenweise definiert werden.
Man hatte somit einen klaren begrifflichen Rahmen, in dem beispielsweise Fragen nach Existenz und Eindeutigkeit von Triangulierungen gestellt werden konnten. Koopman und Brown bewiesen Triangulierbarkeit für analytische Mannigfaltigkeiten – für algebraische Varietäten war das bereits von van der Waerden bewiesen – und einige Jahre später bewies zunächst Cairns Triangulierbarkeit von C^∞-Mannigfaltigkeiten und dann Whitehead von C¹-Mannigfaltigkeiten und für letztere auch die Hauptvermutung.

Hassler Whitney hatte sich als Doktorand mit dem Vierfarbenproblem befaßt, tiefe Einsichten in die Struktur planarer Graphen gewonnen und insbesondere die genauen Axiome für die Existenz eines kombinatorischen Duals in beliebigen Mengensystemen herausgearbeitet – den Begriff des Matroids. Danach begann er, sich mit differenzierbaren Abbildungen zu beschäftigen. Da sich bisher niemand mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befaßt hatte, betrat er hier völlig neuen Grund und konnte innerhalb kurzer Zeit eine Reihe grundlegender Sätze beweisen.

Das erste Problem, dem er sich zuwandte, war die Verbesserung des Satzes von Tietze, demzufolge eine auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen Raumes definierte stetige Funktion stetig auf den gesamten Raum fortgesetzt werden kann.
Bei Whitney ging es nun um beliebig oft differenzierbare (statt nur stetige) Abbildungen.
Um ein Gefühl, für das Problem zu bekommen, betrachte man auf der reellen Zahlengeraden die Teilmenge und auf dieser die stetige Funktion, die auf den beiden Intervallen die Werte 0 bzw. 1 annimmt. Aus dem Lemma von Urysohn (oder dem auf diesem aufbauenden Fortsetzungssatz von Tietze) bekommt man die stetige Fortsetzbarkeit auf ganz R, die in diesem Fall natürlich auch leicht direkt zu beweisen wäre: man vervollständigt den Funktionengraphen einfach durch die (0,0) und (1,1) verbindende Gerade. Diese Fortsetzung ist stetig, aber nicht differenzierbar.
Mit nur etwas mehr Mühe findet man auch polynomielle Funktionen auf (0,1), die eine k-mal stetig differenzierbare Fortsetzung der gegebenen Funktion definieren. Auch eine unendlich oft differenzierbare Fortsetzung auf (0,1) kann man explizit angeben: .
Entsprechend hat man eine Funktion , die auf den beiden Intervallen umgekehrt die Werte 1 bzw. 0 annimmt. Wenn man nun zu zwei beliebigen auf den Intervallen gegebenen C^∞-Funktionen f und g eine Fortsetzung sucht, dann kann man einfach nehmen (wofür man zunächst f und g einzeln fortsetzen muß, was aber möglich ist).