Theorema Magnum MCMXXXVI: der Einbettungssatz von Whitney

Die Verallgemeinerung dieser Konstruktion auf allgemeinere Mengen (statt nur Intervalle in R) besteht in sogenannten Zerlegungen der Eins: zu einer Überdeckung einer Mannigfaltigkeit durch offene Mengen U_i findet man C^∞-Funktionen f_i, die außerhalb von U_i verschwinden und deren Summe 1 ist. Dies ist immer dann möglich, wenn die Mannigfaltigkeit parakompakt ist, was wiederum folgt, wenn die C^∞-Mannigfaltigkeit Hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt – die Hausdorff-Bedingung hatten Veblen und Whitehead aber gerade zur Definition einer C^∞-Mannigfaltigkeit hinzugenommen, und das zweite Abzählbarkeitsaxiom ist für Riemannsche Mannigfaltigkeiten eine Folgerung der anderen Axiome. (Für allgemeine C^∞-Mannigfaltigkeiten nimmt man es heute zu den Axiomen hinzu.)

Whitney’s Beweis der Zerlegung der 1 war ziemlich technisch. Vergleichsweise einfach war sein dann mit Zerlegungen der 1 gewonnener Beweis, dass jede Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum R^N mit hinreichend großem N (nämlich N=(d+1)k für d=dim(M) und k=Anzahl der Karten) eingebettet werden kann. (In der topologischen Kategorie hat man N=dk, indem man die Koordinaten f_iφ_i für Karten φ_i und eine Zerlegung der 1 in f_i nimmt. Damit die Ableitungen nicht verschwinden, benötigt man noch k zusätzliche Dimensionen.) Die abstrakte Definition von Veblen-Whitehead ist also letztlich äquivalent dazu, Mannigfaltigkeiten als Untermannigfaltigkeit eines R^N zu definieren. (Die abstrakte Definition ist aber für Beweise besser als die konkrete.)

Whitney verbesserte das weiter dazu, dass eine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit in den R²ⁿ⁺¹ eingebettet werden kann. Acht Jahre später bewies er, dass sie sogar in den R²ⁿ eingebettet (und in den R^2n-1 immersiert) werden kann. Weiter bewies er, dass jede differenzierbare Untermannigfaltigkeit eine Tubenumgebung (ein Scheibenbündel über der Untermannigfaltigkeit, diffeomorph zu deren Normalenbündel) besitzt.

Der Ansatz für die Reduktion der Dimension im Einbettungssatz war, zu einer gegebenen Einbettung im R^N mit N>2n zu beweisen, dass es auch eine Einbettung in den R^N-1 gibt. Er betrachtete die Projektionen auf N-1-dimensionale Unterräume des R^N – die Menge dieser Unterräume bildet einen (N-1)-dimensionalen projektiven Raum – und zeigte, dass es Projektionen gibt, für die das Bild wieder eine eingebettete Mannigfaltigkeit ist. Das war vergleichsweise einfach – eine Anwendung des Lemmas von Sard – für N>2n+1, aber für N=2n+1 wurde es schwer: man kann hier nicht vermeiden, dass das Bild Selbstschnitte hat. Man kann annehmen, dass die Selbstschnitte nur aus isolierten Punkten bestehen. Mit dem später nach ihm benannten Whitney–Trick bewies er, dass man auch in diesem Fall die Selbstschnitte durch eine Isotopie beseitigen kann.

Die „Zerlegungen der Eins“, sein wichtiges Hilfsmittel zur Globalisierung lokaler Eigenschaften, gibt es zwar mit beliebig oft differenzierbaren Funktionen, aber nicht mit analytischen Funktionen. Das erklärt die grundsätzlichen Unterschiede zwischen differenzierbaren und analytischen (insbesondere auch komplexen) Mannigfaltigkeiten.

Auch für die Triangulierbarkeit würden sich differenzierbare Mannigfaltigkeiten als geeigneter herausstellen als topologische Mannigfaltigkeiten. Nachdem ein von Nöbeling 1935 auf der Konferenz in Moskau vorgestellter Beweis der Triangulierbarkeit beliebiger Mannigfaltigkeiten sich als falsch herausgestellt hatte, bewies Whitehead aber einige Jahre später die Triangulierbarkeit differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Für topologische Mannigfaltigkeiten blieb die Frage zunächst offen, vierzig Jahre später wurden Gegenbeispiele gefunden.

In Moskau selbst war Whitehead nicht dabei gewesen. Ein Jahr zuvor hatte er behauptet, die Poincaré-Vermutung – jede einfach zusammenhängende, geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist die 3-Sphäre – bewiesen zu haben. Noch vor der Moskauer Konferenz hatte er jedoch einen Fehler gefunden. Tatsächlich hatte er die Vermutung auf eine andere Behauptung zurückgeführt, nämlich dass jede kontrahierbare, offene 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum R³ ist, und zu dieser Behauptung fand er dann ein Gegenbeispiel, die Whitehead–Mannigfaltigkeit. Die Poincaré-Vermutung blieb offen. Dafür gab es inzwischen Klassifikationsresultate für andere Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten: Seifert klassifiziert die später nach ihm benannten Seifert-Faserungen (3-Mannigfaltigkeiten mit Faserungen, bei denen gewisse singuläre Fasern erlaubt sind), und Reidemeister nach Vorarbeiten von Seifert-Threlfall die Linsenräume. Das erste Buch über 3-Mannigfaltigkeiten schrieben Seifert und Threlfall.