Theorema Magnum MCMXLI: das Hodge-Theorem

Nachdem in der algebraischen Geometrie lange algebraische Methoden dominiert hatten, zeigte die Hodge-Theorie wieder die Möglichkeiten der schon von Riemann entwickelten transzendenten Methoden. Beispielsweise bewies Hodge mit seinen Methoden den Indexsatz von Hodge, eine von den italienischen Geometern vermutete Formel für die Signatur der durch die Schnittzahl von Kurven auf Flächen definierten quadratischen Form.

Hodge wandte seine Theorie auf glatte algebraische Varietäten an. Als Riemannsche Metrik g betrachtete er die Funini-Study-Metrik des projektiven Raumes, die sich dann auf die im projektiven Raum liegenden Varietäten vererbt. Diese Riemannsche Metrik hat spezielle Eigenschaften, insbesondere ist die zugeordnete 2-Form eine harmonische Form. Erich Kähler hatte um 1932 die Idee gehabt, die algebraische Geometrie mit der Differentialgeometrie zu verbinden, indem er allgemeiner komplexe Mannigfaltigkeiten mit einem Skalarprodukt betrachtet, für die diese 2-Form ω harmonisch ist. Aus analytischer Sicht ist es einfacher, gleich mit solchen Mannigfaltigkeiten statt nur mit dem Spezialfall algebraischer Varietäten zu arbeiten. Viele Begriffe und Resultate der algebraischen Geometrie lassen sich hier verallgemeinern und anwenden.
Hodge bemerkte, dass algebraische Varietäten nicht nur diese Bedingung (ω harmonisch) erfüllen, sondern dass die Form ω außerdem auch ganzzahlige Perioden hat. Damit war also die allgemeinere Klasse der Kähler-Mannigfaltigkeiten tatsächlich größer als die der algebraischen Varietäten, während sich aber die Hodge-Theorie genauso auch auf Kähler-Mannigfaltigkeiten anwenden ließ.

Für komplexe Mannigfaltigkeiten kann man n-Formen noch danach unterscheiden, für welches (p,q) sie sich in lokalen Koordinaten als schreiben lassen. Diese bezeichnet man dann als (p,q)-Formen. Für Kähler-Mannigfaltigkeiten überträgt sich diese Zerlegung von n-Formen als Summe von (p,q)-Formen – über alle Paare mit n=p+q – auf die de Rham-Kohomologiegruppen vermittels der repräsentierenden harmonischen Formen. Insbesondere kann man Invarianten h^p,q als Dimension des Raums der harmonischen (p,q)-Formen definieren.

Aus der durch komplexe Konjugation vermittelten Symmetrie h^p,q=h^q,p folgt insbesondere, dass die ungeraden Bettizahlen b_2k-1 gerade Zahlen sein müssen. Damit konnte man zeigen, dass manche komplexe Mannigfaltigkeiten keine glatten projektiven Varietäten (und keine Kählermannigfaltigkeiten) sein konnten. Zum Beispiel ist die Hopf-Fläche , wobei Z wirkt als n.(x,y)=(2ⁿx,2ⁿy), eine kompakte komplexe Fläche homöomorph zu S¹xS³, hat also ungerade Betti-Zahlen b₁=b₃=1, weshalb sie keine projektive Varietät sein kann.

In seinem Buch gab Hodge auch den ersten korrekten Beweis des schon 1924 von Lefschetz behaupteten schweren Lefschetz-Theorems. Es besagt im wesentlichen, dass die Schnittpaarung auf Verschwindungszykeln eines Lefschetz-Büschels nicht-ausgeartet ist, und hat zahlreiche Konsequenzen für die Topologie projektiver Varietäten bzw. allgemeiner dann auch die Topologie von Kähler–Mannigfaltigkeiten. Seine heute übliche Formulierung ist, dass für die durch das Cup-Produkt mit der Kähler-Form gegebene Abbildung die k–te Potenz gerade die Poincaré–Dualität realisiert. Als Konsequenz bekommt man die sogenannte Lefschetz-Zerlegung der Kohomologie einer Kähler–Mannigfaltigkeit.

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