Theorema Magnum MCMXLII: Siegel-Scheiben

Viele Gleichungen lassen sich nicht exakt lösen, so dass man numerische Verfahren benötigt. Klassisch ist das Newton–Verfahren zur Lösung der Gleichung F(x)=0: mit der Rekursion soll eine Lösung von F(x)=0 approximiert werden.
Man weiß dabei natürlich nicht, ob, wie schnell und gegen welche Lösung das Verfahren konvergiert. Dafür muss man verstehen, gegen welche Häufungspunkte die Iterationen der Funktion in Abhängigkeit vom Startwert konvergieren. Das Problem ist also, das Langzeit-Verhalten der Iteration von f zu verstehen – abhängig vom Startwert.

In der komplexen Dynamik geht es um die Iteration analytischer Funktion. Zu einer auf der komplexen Zahlenebene definierten Funktion betrachtet man ihre Iterierten f⁽²⁾(z):=f(f(z)), f⁽³⁾(z):= f(f(f(z))), f⁽⁴⁾(z):= f(f(f(f(z)))) und so weiter, und fragt dann nach dem Langzeitverhalten der Bahn eines Startwerts z.

Das einfachste Beispiel sind lineare Funktionen f(z)=az. Dann ist die k-te Iterierte die Funktion f^(k)(z)=a^kz. Für konvergieren alle Bahnen gegen den Nullpunkt. Für divergieren mit Ausnahme des Nullpunkts alle Bahnen gegen Unendlich. Für hat man Drehungen, welche die Kreise um den Nullpunkt invariant lassen und deren Dynamik auf Kreisen man gut versteht.

Zwei Funktionen f und g heißen konjugiert, wenn es eine umkehrbar analytische Abbildung φ mit φ(g(z))=f(φ(z)) für alle z gibt. Die Dynamik der Iterationen von f und g ist qualitativ dieselbe, denn φ bildet Bahnen von f in Bahnen von g ab.
Es stellt sich die Frage, welche analytischen Funktionen f konjugiert zu linearen Abbildungen sind, deren Dynamik man ja versteht. Eine solche Abbildung muß jedenfalls einen Fixpunkt haben, weshalb wir also Funktionen mit f(0)=0, d.h. a₀=0, betrachten. Die Frage ist also, für welche Potenzreihen es eine analytische Funktion φ mit gibt.
Diese Gleichung wird als Schrödersche Funktionalgleichung bezeichnet. (Nach Ernst Schröder, der vor allem für seine Arbeiten zur Logik bekannt war, der aber auch 1870 einen ersten allgemeinen Satz zur Iteration analytischer Funktionen f bewies: wenn z₀ ein Fixpunkt mit ist, dann gibt es eine Umgebung von z₀, auf der f^(k)(z) gleichmäßig gegen z₀ konvergiert.)
Man kann zur Lösung der Schröderschen Funktionalgleichung natürlich für φ eine Potenzreihe ansetzen und durch Koeffizientenvergleich schrittweise die Koeffizienten dieser Potenzreihe berechnen. Man bekommt b₁=1 und eine Rekursionsformel mit explizit gegebenen Polynomen P_n. Die Frage ist aber, ob die Potenzreihe mit den so berechneten Koeffizienten dann auch (zumindest in einer Umgebung des Fixpunktes 0) konvergiert. Das ist ein sogenanntes Problem kleiner Nenner, weil die Konvergenz der Potenzreihe dann problematisch ist, wenn der im Nenner vorkommende Ausdruck a₁ⁿ-1 für große n klein wird.

Für bewies Gabriel Koenigs 1887, dass Schröders Funktionalgleichung eine analytische Lösung hat. Er stellte aber auch fest, dass für die Lösung der Gleichung sehr schwierig ist. Als ein Problem machte er die Existenz unendlich vieler periodischer Punkte aus.

Im 20. Jahrhundert behandelte komplexe Dynamik zunächst vor allem die Iteration quadratischer Polynome. Die französische Akademie schrieb 1915 einen Preis aus für eine Arbeit, die die bisher von einem lokalen Blickwinkel erfolgten Untersuchungen zur Iteration meromorpher Funktionen auf die gesamte Zahlensphäre ausdehnen sollte. Dieses Thema lag in der Luft durch das von Montel 1907 in seiner Dissertation eingeführte Konzept “normaler Familien”, bei denen jede Folge eine gleichmäßig auf kompakten Mengen konvergierende Teilfolge enthält. Beispielsweise sind die Iterierten der Funktion f(z)=z² eine normale Familie in der Umgebung eines jeden nicht auf dem Einheitskreis liegenden Punktes, denn auf Kompakta außerhalb des Einheitskreises konvergiert jede Folge gegen eine konstante Funktion, entweder 0 oder der Punkt im Unendlichen. In einer Umgebung eines Punktes auf dem Einheitskreis ist diese Familie hingegen nicht normal. Auch kompliziertere Beispiele, wie sie Pierre Fatou betrachtet hatte, suggerierten eine Dichotomie zwischen Punkten, deren Bilder gegen einen anziehenden Fixpunkt konvergieren und in dessen Umgebungen die Iterierten eine normale Familie bilden (heute als „Fatou-Menge“ bezeichnet), und andererseits Punkten, in denen das nicht der Fall ist und für die die Bilder tatsächlich nicht konvergieren (heute als „Julia-Menge“ bezeichnet). Im Fall von f(z)=z² ist die Julia-Menge der Einheitskreis, für andere Funktionen sieht sie sehr viel komplizierter aus. Im Bild ist die Julia-Menge weiß, die unendlich vielen Komponenten der Fatou-Menge sind blau, grün und rot.

Fatou hatte die möglichen Komponenten von Fatou-Mengen klassifiziert und bewiesen, dass die Fatou-Menge unendlich viele Komponenten hat, wenn es mehr als zwei sind. Und er hatte schon 1906 gefunden, dass Julia-Mengen total unzusammenhängende, perfekte Mengen sein können: „Das Studium gewisser Spezialfälle zeigt, dass die Ränder [der Konvergenzgebiete] im Allgemeinen von komplizierter Natur sind.“
Den Preis der Akademie gewann 1918 Gaston Julia mit einer Arbeit, die vor allem die Iteration von f(z)=z²-a für a>0 behandelte. Dank Montels Theorem konnte er erstmals die Iteration komplexer Funktionen nicht nur in der Umgebung von Fixpunkten beschreiben. Seine Arbeit bestand aus vier Teilen, in denen es um abstoßende Fixpunkte, anziehende Grenzkreise, die später nach ihm benannten Julia-Mengen, und “Blumen” (Umgebungen neutraler Fixpunkte, in denen Iterierte von f sowohl anziehend als auch abstoßend sind) ging.

Eine der Möglichkeiten in der Klassifikation der Komponenten von Fatou-Mengen waren topologische Kreisscheiben, auf denen die Abbildung konjugiert zu einer Drehung ist. Das wäre also der Fall, wo und die durch Schröders Funktionalgleichung definierte Potenzreihe φ konvergiert und dementsprechend eine Linearisierung in der Kreisscheibe möglich ist. Es war aber unklar, ob es solche Komponenten überhaupt gibt.
George Pfeiffer hatte 1917 erstmals ein Beispiel angegeben, wo die Potenzreihe φ nicht konvergiert. Hubert Cremer hatte 1938 gezeigt, dass dies (für geeignete f) immer der Fall sein kann, sobald .
Diese a₁ bilden auf dem Einheitskreis eine Nullmenge, man glaubte aber nun, dass dieses Verhalten das durchaus typische sein könne. (Julia hatte fehlerhaft versucht zu beweisen, dass für die Potenzreihe φ stets divergiert, während Fatou davon überzeugt war, dass sie für viele Werte konvergieren sollte.) Es war deshalb eine Überraschung, als Carl Ludwig Siegel 1942 bewies, dass Cremers Beispiele die einzigen Ausnahmen sind.

Siegels Arbeit “Iteration of analytic functions” war ein großer Durchbruch, dabei besteht sie aus nur sechs Seiten in den damals noch nicht sehr etablierten Annals of Mathematics.
Sie beginnt nicht mit der Ankündigung eines großen Resultats, sondern mit mehr als einer Seite an Definitionen. Für eine Potenzreihe ohne konstanten Term – also a₀=0 – bezeichnet er den Fixpunkt z=0 als stabilen Fixpunkt, wenn es (innerhalb des Konvergenzkreises) zu jedem r ein r₀ gibt, so dass die Iterierten aller Punkte des Kreises vom Radius r₀ im Kreis vom Radius r liegen. Diese Stabilitätsbedingung ist – wie er beweist – äquivalent dazu, dass die Lösung φ der Gleichung f(φ(z))=φ(a₁z) in eine Potenzreihe entwickelt werden kann.
Mit diesem Kriterium bekommt er dann seinen Satz, dass unter der Annahme die Reihe φ konvergiert. Diese Annahme ist wiederum äquivalent zu der diophantischen Bedingung, dass man positive Konstanten C und ν findet, so dass für alle rationalen Zahlen gilt. (Man weiß heute, dass diese Bedingung genau dann erfüllt ist, wenn α eine sogenannte Brjuno-Zahl ist.)

Für die Beweise benötigte er delikate Abschätzungen, besonders half ihm seine Vertrautheit mit den Methoden der Approximation irrationaler Zahlen. Anders als in den Arbeiten der französischen Funktionentheoretiker, in denen der Satz von Montel stets zentral gewesen war, benutzt er keine normalen Familien holomorpher Funktionen.

Mit seinem Resultat hatte man nun ein überraschendes Erscheinen der Zahlentheorie in der Stabilitätstheorie. Wenn in einem Fixpunkt z₀ die Ableitung f‘(z₀) Siegels Bedingung erfüllt, dann ist die Dynamik von f in einer Umgebung des Fixpunktes linearisierbar, d.h. auf der entsprechenden Komponente der Fatou-Menge ist f konjugiert zu einer Drehung. Solche Komponenten heißen heute Siegel-Scheiben, das Bild zeigt die Siegel-Scheiben von .

Siegels Arbeit war vor allem deshalb von Bedeutung, weil sie die erste erfolgreiche Lösung eines Problems kleiner Nenner war.
Im 19. Jahrhundert hatte man versucht, Differentialgleichungen zu lösen, indem man ihre Lösungen als Potenzreihen ansetzt. Dabei hat man häufig das Problem, dass bei der Berechnung der Koeffizienten kleine Nenner auftreten, die dann ein Problem für die Konvergenz der Potenzreihe sind.
Ein elementares Beispiel hierfür wäre die lineare Differentialgleichung . Deren formale Lösung ist die Potenzreihe . Damit diese Reihe konvergiert, dürfen die Nenner nicht zu klein sein: aus dem Wurzelkriterium folgt die Konvergenz der Reihe falls . Siegel bewies ein ähnliches Kriterium für nichtlineare Differentialgleichungen . Damit diese in der Umgebung des Fixpunktes x=0 linearisiert werden können, genügt das Kriterium . (Das Kriterium wurde später noch verbessert.)
Probleme kleiner Nenner (für andere Differentialgleichungen) steckten beispielsweise hinter dem Problem der Suche nach analytischen Lösungen des Mehrkörperproblems und Siegels Arbeit zeigte nun erstmals, dass solche Probleme angegangen werden können.

Bild: https://www.ias.edu/scholars/carl-ludwig-siegel