Pontrjagin hatte 1935 die Betti-Zahlen klassischer Lie-Gruppen, Brauer dann mit de Rham-Kohomologie auch die Produktstruktur ihrer Kohomologie bestimmt. Eine Vermutung Cartans, dass die Kohomologie einer kompakten Lie-Gruppe stets isomorph zur Kohomologie eines Produkts ungerade-dimensionaler Sphären, also eine äußere Algebra mit Erzeugern ungeraden Grades ist, wurde 1941 von Hopf bewiesen. Seine Idee war, dass die Gruppenmultiplikation eine Komultiplikation auf der Kohomologie induziert, zusätzlich zu der durch das Cup-Produkt gegebenen Multiplikation. Er untersuchte dann abstrakt solche – später als Hopf-Algebren bezeichneten – Strukturen, die gleichzeitig eine Multiplikation und Komultiplikation (jeweils gradiert kommutativ, assoziativ, mit Eins) besitzen und bewies algebraisch, dass im endlich-dimensionalen Fall über einem Körper der Charakteristik 0 eine solche Algebra stets eine freie äußere Algebra mit Erzeugern von ungeradem Grad ist. Das bewies insbesondere Cartans Vermutung.
Mit Homotopiegruppen hatte sich Hopf schon beschäftigt gehabt lange bevor diese offiziell definiert worden waren: er hatte 1931 eine Arbeit über eine nichttriviale Faserung S3—>S2 geschrieben und damit in der Sprache der 1935 von Hurewicz definierten Homotopiegruppen
Eines der Resultate aus Hurewicz’s Arbeiten besagte, dass die Homologiegruppen eines asphärischen Komplexes X nur von dessen Fundamentalgruppe abhingen. Das warf nun die Frage auf, wie man diese Homologiegruppen aus der Fundamentalgruppe berechnen könnte. Für die erste Homologiegruppe hatte Hurewicz bewiesen, dass sie die Abelisierung der Fundamentalgruppe ist. (Das erklärte auch Poincarés Beispiel einer Homologiesphäre, deren Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe mit 120 Elementen ist.) Hopf beschäftigte sich dann mit der zweiten Homologie und gab für diese eine explizite Formel mittels der Erzeuger und Relationen der Fundamentalgruppe an: wenn G=π1X von Erzeugern F mit Relationen R erzeugt wird, dann wird H2(X,Z) von [F,F]∩R erzeugt mit Relationen [F,R]. Damit bekommt man, dass H2(X,Z) gerade dem von Baer zur Klassifikation von zentralen Erweiterungen entwickelten Ext-Funktor Ext(G,Z) entspricht.
In den folgenden Jahren entwickelte sich das Gebiet der Gruppenhomologie rasch weiter. Ein zumindest theoretisches Berechnungsverfahren fanden Eilenberg und MacLane: sie gaben einen aus der Gruppe konstruierbaren Simplizialkomplex, dessen Homologiegruppen gerade die Homologiegruppen der Gruppe sind. Etwas später fanden sie dann die abstrakte Definition der Homologie von G als Homologie projektiver Auflösungen des trivialen ZG-Moduls Z. Sie bewiesen, dass die Homologie von der Wahl der projektiven Auflösung nicht abhängt. Ihr ursprünglicher Ansatz entsprach der sogenannten Bar-Auflösung. Für praktische Berechnungen besser geeignet sind aber aus topologischen Gruppenwirkungen konstruierte Auflösungen.
In ihrer 1945 in Proc. Natl. Acad. Sci. veröffentlichten Arbeit „Axiomatic approach to homology theory“ entwickelten Eilenberg und Steenrod schließlich einen Ansatz zum Beweis der zumindest für “gutartige” Räume vermuteten Isomorphie der verschiedenen Homologietheorien. Sie schauten nicht auf die definierenden Konstruktionen der verschiedenen Homologie- oder Kohomologiegruppen, sondern auf die Eigenschaften, die diese verschiedenen Theorien gemeinsam haben. Diese formulierten sie als Axiome. Sie zeigten dann, dass einige gemeinsame Eigenschaften der unterschiedlichen Theorien formale Folgerungen dieser Axiome sind. Schließlich bewiesen sie, dass in der Kategorie der kompakten, triangulierbaren Räume alle Homologietheorien, die den Axiomen genügen, isomorphe Gruppen geben – sobald die 0-ten Homologiegruppen übereinstimmen.
Ihre Axiome für (relative) Homologiegruppen und die von stetigen Abbildungen induzierten Homomorphismenwaren: das Homotopieaxiom (homotope Abbildungen induzieren dieselben Homomorphismen), das Ausschneidungsaxiom, das Additivitätsaxiom (für disjunkte Vereinigungen), die Existenz langer exakter Sequenzen für Raumpaare und das Dimensionsaxiom Hn(P)=0 für den Ein-Punkt-Raum P und alle n>0. Unter diesen Voraussetzungen gibt es zu jeder abelschen Gruppe G eine eindeutig bestimmte Homologietheorie mit H0(P)=G. Für G=Z erhält man die singuläre Homologie. Für andere abelsche Gruppen erhält man die Homologie mit Koeffizienten. (Später stellte man fest, dass man auf das Dimensionsaxiom verzichten kann und dann verallgemeinerte Homologietheorien bekommt.)
Tatsächlich gilt dieser Eindeutigkeitssatz noch allgemeiner als nur für triangulierte Räume, nämlich für sogenannte endliche CW-Komplexe, eine gewisse Bedingungen erfüllende Klasse von Zellkomplexen. Auch für praktische Berechnungen erwiesen sich Zellzerlegungen oft als der richtige Zugang, um die Homologiegruppen zu berechnen. So hatte Ehresmann in seiner Dissertation bei Cartan mittels einer Zellzerlegung die Homologie der Graßmann-Mannigfaltigkeiten Gr(k,n) – der Mannigfaltigkeit aller k-dimensionalen Unterräume des Rn – berechnet. J.H.C. Whitehead entwickelte Ende der 40er Jahre in zwei grundlegenden Arbeiten die Theorie der CW-Komplexe. Diese erwiesen sich als die richtige Kategorie von Räumen, um Homotopietheorie zu betreiben, vor allem weil dort stetige Abbildungen bereits dann Homotopieäquivalenzen sein müssen, wenn sie Isomorphismen der Homotopiegruppen induzieren. CW-Komplexe wurden auch die allgemeine Klasse von Räumen, für die die Eilenberg-Steenrod-Axiome noch die Homologiegruppen eindeutig festlegen, sobald die 0-te Homologiegruppe bekannt ist. Für andere, “wilde” Räume kann sich beispielsweise die Čech-Homologie von der singulären Homologie unterscheiden.
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