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Theorema Magnum MCMLII: die Berechnung des Kobordismusrings

Von / 12. November 2020 / 8 Kommentare / Seite 1 von 3 / Auf einer Seite lesen
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Ende der 40er und Anfang der 50er Jahre dominierte in der Topologie der algebraische Zugang. Seine reinste, alle Geometrie zurücklassende Form fand er in Serres Berechnungen von Homotopiegruppen von Sphären, die sich als Anwendungen von Spektralsequenzen ergaben.

Dabei gab es jedoch auch einen auf Pontrjagin zurückgehenden geometrischen Zugang zur Berechnung von Homotopiegruppen von Sphären. Für eine Abbildung f\colon S^{n+k}\to S^n betrachtete er das Urbild eines regulären Wertes y als k-dimensionale Untermannigfaltigkeit M des Rn+k. Eine Basis des Tangentialraums TySn gibt nach Zurückziehen mittels Df eine Basis des Normalraums in jedem Punkt von M, eine sogenannte Rahmung der Untermannigfaltigkeit M.

Man bezeichnet zwei gerahmte, k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten als gerahmt kobordant, wenn es eine gerahmte k+1-Untermannigfaltigkeit gibt, deren Rand (mit der induzierten Rahmung) gerade aus den beiden Untermannigfaltigkeiten besteht. Pontrjagin hatte mit elementaren Mitteln bewiesen, dass mit dieser Konstruktion die Homotopiegruppe \pi_{n+k}S^n isomorph zur Gruppe der gerahmten, k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten modulo gerahmter Kobordismen im Rn+k wird.

Nach dem Einhängungssatz von Freudenthal weiß man, dass sich bei festem k ab n=k+2 die Gruppe \pi_{n+k}S^n nicht mehr ändert. Diese Gruppe bezeichnet man als stabile Homotopiegruppe \pi_k^s und vermittels Pontrjagins Konstruktion ist sie isomorph zur Gruppe der gerahmten, k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten modulo gerahmter Kobordismen im unendlich-dimensionalen Raum.
Zum Beispiel hat \pi_1^s={\bf Z}/2{\bf Z} zwei Elemente, die den beiden Rahmungen der S1 entsprechen. Auch \pi_2^s={\bf Z}/2{\bf Z} hat zwei Elemente, die den beiden Rahmungen des Torus T2 entsprechen. Pontrjagin hatte mit seiner Konstruktion eigentlich beweisen wollen, dass \pi_{n+2}S^n für n>2 nur ein Element habe. Auf dem ICM 1936 in Oslo hatte er dieses falsche Ergebnis angekündigt. (Weil er selbst nicht kommen konnte, wurde es von Lefschetz vorgetragen.) Der Fehler lag letztlich darin, dass er eine gewisse – später nach dem türkischen Mathematiker Cahit Arf als Arf-Invariante bezeichnete – Abbildung für linear gehalten hatte, die aber quadratisch war. Vierzehn Jahre nach Oslo korrigierte er seinen Fehler in einer auf Russisch erscheinenden Arbeit.

René Thom hatte während des Krieges an der École Normale studiert und war dann Henri Cartan nach Strasbourg gefolgt. Das war wegen Ehresmanns Seminar ein Zentrum der Topologie mit vielen auswärtigen Gästen. Cartan wollte, dass er über Ideale analytischer Funktionen arbeite, aber Thom interessierte sich mehr für “nur” differenzierbare Funktionen. Seine erste Notiz in den Comptes Rendus war eine Erweiterung der Morse-Theorie auf eine etwas allgemeinere Klasse von Funktionen. Nicht veröffentlicht hatte er seinen mit Morse-Theorie gegebenen neuen Beweis des Satzes von Lefschetz über Hyperebenenschnitte. Auch später würde er nur einen kleinen Teil seiner Ideen veröffentlichen und so seinen Kollegen gegenüber immer einen Wissensvorsprung haben. Trotzdem würden seine Ideen großen Einfluß auf die Entwicklung der Differentialtopologie bekommen.
In seiner Dissertation 1951 beschäftigte er sich mit Vektorbündeln E\to B. Er betrachtete die später als Thom-Raum Th(E) bezeichnete Ein-Punkt-Kompaktifizierung des Totalraums und zeigte, dass man einen Isomorphismus \Phi\colon H^{i+k}(Th(E))\to H^i(B) für alle i hat, wobei k die Dimension der Faser ist. Das wurde später als Thom-Isomorphismus bezeichnet oder auch als Integration über Fasern, weil es sich für Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Differentialformen so interpretieren läßt. Thom zeigte, dass in der anderen Richtung der Isomorphismus durch das Cup-Produkt mit einer gewissen, später als Thom-Klasse bezeichneten, relativen Kohomologieklasse u\in H^k(Th(E)) gegeben ist. Die Einschränkung der Thom-Klasse auf die einzelnen Fasern gibt jeweils deren Fundamentalklasse. Durch Anwendung der Steenrod-Kohomologieoperationen auf u – in der Kohomologie mit Z/2Z-Koeffizienten – bekommt man die Stiefel-Whitney-Klassen des Bündels als w_i(E)=\Phi(Sq^i(u)).

Als nächstes bearbeitete er die Frage, welche Homologieklassen in der Homologie einer Mannigfaltigkeit X sich durch eine Untermannigfaltigkeit realisieren lassen, oder allgemeiner als das stetige Bild einer Mannigfaltigkeit. (Letzteres heißt das Steenrod-Problem und ist auch von Interesse für die Auflösung von Singularitäten in der algebraischen Geometrie.) Die Resultate veröffentlichte er 1952 in mehreren kurzen Ankündigen in den Comptes Rendus de l‘Académie des Sciences und 1954 in der Arbeit „Quelques propiétés des variétés différentiables“ in Commentarii Mathematici Helvetici.

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Kommentare (8)

  1. #1 Fluffy
    13. November 2020

    Die Photos sind immer cool.

  2. #2 Echt?
    14. November 2020

    Jaaaaaaa!

  3. #3 Physik Schelm
    14. November 2020

    Thilo 18.03.2008 physik-topologie-logik-und-berechenbarkeit
    Eine ‘Hose’ ist ein Kobordismus zwischen einem einzelnen Kreis und einem Paar von Kreisen.

    Hinweis 1: Kashaev-Vermutung-Link und Giraud-Link sind ungültig.

    Hinweis 2: Die Zahl 20 ist falsch und muss durch 38 ersetzt werden:

    Die formale Übertragung der quantenfeldtheoretischen Methoden auf die Topologie ist seit 38 Jahren ein sehr aktives Forschungsgebiet, auch wenn wirklich überzeugende Anwendungen in der Topologie noch ausstehen.

    Hinweis 3: Formalizing the Panarchy Adaptive Cycle with the Cusp Catastrophe von Martin Zwick und Joshua Hughes überzeugt mit 53 Downloads niemand, sich näher mit Rene Thom’s Mathematik zu beschäftigen.

    Bordism von Rene Thom:

    Diese Mathematik beschreibt die mathematische Grenze, die zwischen Algebra und Geometrie liegt.

    Cosmological Catastrophy Theory von Rene Thom von einem Schelm interpretiert:

    Das Universum ist eine abgeschlossene kompakte 3dimensionale Manigfaltigkeit, in der die Algebra der Quantenphysik herrscht.
    Zeit ist keine Dimension, sondern ein Operator, der mit dem Parameter t Punkte transloziert, wobei ein Punkt als beliebiges komplexes Objekt definiert wurde.
    Die kosmologische Konstante (10^-52) ist gleich 0, weil die beschränkte Algebra der Quanten-Physik nur von bis 10^-34 (E=h*v bzw. Frequenz v ist Element der beschränkten Physik-Menge {1, …, Materiekondensation) bis 10^+100 zählt.
    Jenseits der Grenze der abgeschlossenen kompakten geordneten Mannigfaltigkeit wird die kosmologische Konstante aus Gründen betragsmäßig größer als 0.
    Die Differenz der kosmologischen Konstanten bildet eine Potenzialmulde, in die grenznahe Galaxien hineinfallen und somit von uns weg beschleunigt werden.

    Dunkle Energie existiert nicht, wenn einem Schelm geglaubt wird, der in einem begrenzten beschränkten Physik-Universum ein Abbruch-Kriterium für infinitesimale mathematische Zahlen einführt und zu kleine Zahlen als 0 definiert!
    Aus Forschungsgeld-Gründen wurde in der extrem geldabhängigen Wissensdiktatur DUNKLE ENERGIE postuliert, die im Gegensatz zu einem unglaublich weit entfernten Rand-Phänomen hypothetisch ausbeutbar ist.

    Fundamentalsatz

    In einer Wissensdiktatur gibt es wegen diktatorischen Gruppenzwangs keine Alternativen.

    Aus dem Fundamentalsatz folgt, dass
    – in keinem Forschungsministerium ehrliche Asperger-Autisten arbeiten, weil sie wegen ADS-Link-Hopping Daten alternativ verknüpfen.
    – keine Arbeitsagentur einem Asperger-Autist eine Bewerbung bei einem Ministerium aufzwingen oder vorschlagen darf.

    Jeder arbeitslos gemeldete Asperger-Autist, dem es in der Arbeitsagenturfortbildungsschleife zu langweilig wird, kann das Kanzleramt und deren Ministerien nach zigtausend erfolglosen Bewerbungen, die von arbeitenden Bürgern des deutschen Staats bezahlt werden, wegen Diskriminierung verklagen.

  4. #4 Mathe Trauertag
    16. November 2020

    – On the morning of May 30, 1832 Évariste Galois had been shot once in the stomach and died in Cochin Hospital the next day. He was only 20.

    – In 1924 Pavel (Paul) Urysohn drowned. in the rough waters of the Atlantic Ocean. He was only 26.

    – Sofja Wassiljewna Kowalewskaja starb im Alter von 40 in Stockholm wegen einer Pleuropneumonitis am Dienstag den 10ten Februar Morgens 4 Uhr.

    – On 14 July 2017, Mirzakhani died of breast cancer at the age of 40.

    – …

    Warum zeigt Thilo in seinem Blog keine pathologischen Fotos, in denen sich duplizierende Hosenbeine (oder Hirschörner) einander umschlingen (Alexander’s horned sphere).
    Weil Anschauung Hochschulprofessoren stört.

    Topologie kann mit POVRAY anschaulich gemacht werden.
    An Illustrated Introduction to Topology and Homotopy by Sasho Kalajdzievski
    Aber niemand, auch kein*e Bildungsminister*in, kann mathematische Hochschulprofessoren zwingen, ihre Text-Skripte mit POVRAY-Illustrationen zu bereichern.

    Thilo glaubt, dass unser Universum keine null-kobordante Sphäre ist, sondern aus 2 kobordanten Hosenbeinen M und N besteht, in denen Materie und Anti-Materie getrennt voneinander strömen.
    Wegen Hugh-Everett’s mathematischen Multiversum-Modell dürfen sich Hosenbeine duplizieren.

  5. #5 Fort Bildungsschleife
    16. November 2020

    Ein Ring ist ein Ding, welches Gruppenaxiomen gehorcht.
    Zum Beispiel bildet die Menge der oberen Dreiecksmatrizen einen Ring, dessen Elemente (obere Dreiecksmatrizen) Gruppenalgebra-(Rechen-)Regeln gehorchen: Addition, Subtraktion, neutrales Element.
    A – Rotations-Matrizen, die ein Objekt auf sich selber abbilden, bilden einen Ring.
    B – Die Elektronen zugeordneten Spin-Matrizen bilden auch einen Ring.
    C- Unitäre Matrizen bilden einen Ring.
    D – …
    …

    Homologie (altgriechisch homos, „ähnlich, gleich“, und logos, „Verhältnis, Analogie, Proportion“[) ist Mathematik, die eine Reihe von algebraischen Objekten z.B. abelsche Gruppen, Ringe oder Module verknüpft, um ein anderes mathematisches Objekt zu erhalten z.B. einen topologischen Raum namens UNIVERSUM, welches angeblich aus unglaublich vielen homologischen Mannigfaltigkeiten (komplizierte Räume: zum Beispiel gewunden-verschlungene Hosenbeine) bestehen, in denen Löcher innerhalb der Hosenbeine fundamentale Physik erzwingen.

    Cobordism ist eine Ring-Sequenz einer (inneren) Homologie.
    (Ring-Sequenz: A,B,C,D)

    Anschaulich:

    Physik ist das Wirken von Operatoren auf Ring-Sequenzen, die in der Homologie verankert sind.

    Ist völlig klar, weil ein Spin-Wechsel innerhalb einer Atomschale nicht von Homologie (komplexer Raum) sondern von einer geordneten (kausalen) Menge von Ringen in der Homologie verursacht werden muss, und diese Ringe werden (statistisch) zur Matrix-Multiplikation aufgefordert, wenn zum Beispiel Stern-Gerlach-Atome auf die Beobachtungswand knallen und ein erheblicher statistischer Anteil der aufgeschlagenen Atome den Spin wechselt.

    Dequalifizierende Fortbildungsschleife:

    Thilo führt uns mit diesem Artikel zurück in die 80er zum eleganten Universum, das aus Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten zusammengesetzt sein soll, die wiederum aus Löcher einschließenden Mannigfaltigkeiten (komplizierte Räume) bestehen, in denen Physik erzeugt wird, wenn mathematische Operatoren auf mathematische Cobordims einwirken.

    Verfassungslemma

    Staatlich subventionierte Dequalifikation ist verfassungswidrig.

    Aus dem Verfassungslemma folgt, dass Schüler und Agenturfortbildungsschleifenopfer das Aufzwingen einer zweiten Wiederholung einer Maßnahme als dequalifizierende berufsverhindernde Demenz-Brandmarkung vor Gericht anfechten dürfen.
    Überhört das Gericht Schulfverweisfakten und das Dequalifikationsurteil des Bundesverfassungsgerichts kann nach der überhörten Anhörungsrüge durch den Subsidiaritätsbruch zeitlos schnell zum Bundesverfassungsgericht gesprungen werden.

    Schüler dürfen nicht bis zur Rente in staatlichen Schulen bleiben und jedes Jahr das gleiche lernen.
    Das gleiche Recht gilt für Agenturfortbildungsschleifenopfer

  6. #6 Aspie Path
    17. November 2020

    Kobordismus – Eine komplizierte, Löcher enthaltene Geometrie einer homologischen (oder homotopischen) Mannigfaltigkeit (z.B. Calabi-Yau) induziert eine Ring-Algebra in der homologischen (oder homotopischen) Mannigfaltigkeit. Die Induktion erzeugt somit eine innere Homologie. Geometrie und Algebra (z.B. die Ring-Algebra der Quanten-Matrizen) werden verknüpft.

    Querverweis – Der Stokes’scher Satz gilt nur für mathematische Ränder C, die eine Kreisscheibe einschließen, wenn um Nullpunkte einer nicht unbedingt geraden Null-Achse integriert wird, und nicht für simple Kurven K.

    Stringtheorie – Der 1-dimensionaler Elektron-String hat (sieh Querverweis) in einer homotopischen Manigfaltigkeit (z.B. Hosenbein) in einer geschlossenen 2-dimensionalen Kreisscheibe, die ein Loch der nicht unbedingt geraden Loch-Achse des Hosenbeins umrandet, nur 2 mathematische Flussrichtungsmöglichkeiten, die nach einem messenden Experiment von unitären Matrizen (beobachtenden messenden Physikern) in 2 beobachtbare Spin-Freiheitsgrade umgewandelt wurde.

    Wenn das alles so einfach ist, warum hat Lubos Motl nicht längst einen Nobelpreis erhalten?
    Weil Rants und Pranks viel befriedigender sein können als ein Nobelpreis.

    Querverweis – Ein Nobelpreis sollte so nobel sein, dass sich ein Gewinner ein nobles Tesla-Elektrokraftfahrzeug im Wert von 160.000 Euro kaufen kann.

    Dr. Sabine Hossenfelder retweeted am 14.11.2020 @stefihane, die aus dem englischen Wikipedia-Artikel über Sabine Hossenfelder falsch zitiert, indem sie [citation needed] ausradierte.

    Hossenfelder posits that a universe (and its particle model) is ugly if it cannot be described by a mathematical (beautiful) Great Unifying Theory that explains how particles gravitate. [citation needed]

    Dr. Sabine Hossenfelder kann [citation needed] nicht mit einem Zitat aus ihrem Buch füllen, weil das von Stefani Hane gezwitscherte Zitat im Buch „Das hässliche Universum“ nicht vorkommt. Ihren Blog darf Hossenfelder wegen der Anti-Eigenwerbung-Regel der regeldurchtränkten Wikipedia nicht als Zitat-Quelle benutzen.
    Was kann Hossenfelder tun?
    Sie kann dieses Zitat in einer von der Wikipedia anerkannten Online-Fachzeitschrift erwähnen und dann [citation needed] mit dem zwingend notwendigen Online-Artikel-Link retrokausal füllen.

    Das quantenmechanische Tunneln ist nicht alternativlos und kann anders interpretiert werden: Der topologische Raum besteht nicht aus perfektoiden Mannigfaltigkeiten und ein Quant tunnelt nicht, sondern thunbergt, wenn es sich durch ein Hosenbeinepfad bewegt, indem wegen eines gewollten oder zufälligen Mangels kein Element eines Potenzialwalls existiert.
    #Greta_Thunberg

  7. #7 Roger Krewer
    8. Januar 2021

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  8. #8 Theorema Magnum – Mathlog
    13. Februar 2021

    […] Simplex-Verfahren Das WKS-Abtasttheorem Adelische Poisson-Summation Der Vergleichssatz von Rauch Die Berechnung des Kobordismusrings Die Endlichkeit der Homotopiegruppen von Sphären Der Einbettungssatz von Nash Serre-Dualität Die […]