Thoms Ansatz zum Steenrod-Problem war ein geometrisches Verständnis von Dualitätssätzen und der klassifizierenden Abbildung. Wenn eine Homologieklasse durch eine Untermannigfaltigkeit
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Um diese Frage zu beantworten, untersucht er dann mit den von Cartan und Serre eingeführten Methoden die Kohomologie von MSO. Serre hatte zuvor mit den von Steenrod eingeführten Kohomologie-Operationen die Kohomologie der Eilenberg-MacLane-Räume K(Z/2Z,n) berechnet. Für Thoms Problem folgt aus Arbeiten von Serre ein Isomorphismus
Aus Informationen über die Kohomologie der Graßmann-Mannigfaltigkeit und die Kohomologie-Operationen erhielt Thom manche unmittelbaren Hindernisse für Repräsentierbarkeit von Homologieklassen durch Mannigfaltigkeiten. Beispielsweise gelten für die Thom-Klasse die Gleichungen
Es stellte sich heraus, dass die stabilen Homotopiegruppen von MSO gerade die „Kobordismengruppen“ sind. Diese sind eine einfachere Variante der gerahmten Kobordismusgruppen. Zwei orientierte k-Mannigfaltigkeiten M und N heißen kobordant, wenn sie (mit entgegengesetzten Orientierungen) den Rand einer orientierten (k+1)-Mannigfaltigkeit bilden. Die k-te Kobordismusgruppe Ωk ist dann die Gruppe der orientierten, geschlossenen k-Mannigfaltigkeiten modulo Kobordismen. Mit dem Produkt von Mannigfaltigkeiten bekommt man den Kobordismusring. Diese Definition sieht eigentlich zu einfach aus, als dass man von ihr etwas nützliches erwarten würde.
Aus der Kenntnis der Homologiegruppen von MSO und mit Serres mod-C-Theorie – die in gewisser Weise Homotopiegruppen bis auf Torsion berechnet – kann Thom, was später als das Hauptresultat der Arbeit angesehen werden wird, den torsionsfreien Anteil des Kobordismusrings zu berechnen. Er wird von den komplex-projektiven Räumen CP2k, k=1,2,3,… erzeugt. Insbesondere haben Mannigfaltigkeiten genau dann dieselben Pontrjagin-Zahlen, wenn ihre Differenz in der Bordismusgruppe Torsion ist.
Thom veröffentlichte diese Ergebnisse 1952 in den Comptes Rendus und zwei Jahre später unter dem Titel „Quelques proprietes globales des varietes differentiables“ in den Commentarii Mathematici Helvetici.
Einen aufmerksamen Leser fand die Ankündigung unmittelbar nach Erscheinen am Institute for Advanced Study. Hirzebruch, der dort mit Spencer und Kodaira zusammenarbeitete, hatte sich mit der Signatur von 4n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten beschäftigt, also der Signatur der quadratischen Form, die man durch die (inzwischen über das Cup-Produkt definierte) Schnittform auf der Kohomologie H2n erhielt. Hermann Weyl hatte mal in einer wenig beachteten, auf spanisch verfaßten Arbeit gemeint, dass dies eine interessante Invariante sein sollte. Hirzebruch wollte die Signatur aus den charakteristischen Klassen des Tangentialbündels berechnen. Er wußte, dass die Signatur von Rändern verschwindet, die Signatur also einen wohldefinierten Homomorphismus des Kobordismusring in die ganzen Zahlen definiert. Mit Thoms Berechnung mußte er jetzt nur noch die Signaturen der Erzeuger CP2k berechnen und das war völlig trivial und er hatte das natürlich schon längst berechnet. Unmittelbar nach Kenntnisnahme von Thoms Resultat durch eine Ankündigung in den Comptes Rendus hatte er damit den von ihm vermuteten Signatursatz bewiesen. Entsprechend euphorisch schrieb er an Thom: “Ich danke Ihnen vielmals für die Nachdrucke, die Sie mir geschickt hatten. Gestern waren die letzten Comptes Rendus im Institut erhältlich, und Borel machte mich auf Ihre Notiz aufmerksam. Ich interessiere mich sehr für diese Notiz, aus Gründen, die ich jetzt erklären möchte. Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir bald einen Nachdruck dieser letzten Arbeit senden würden. Ich werde jetzt einige meiner jüngsten Ergebnisse und sehr neue Ergebnisse im Anschluss an Ihren starken Satz 7 anführen. Ich muss sagen, dass ich Borel für sehr wertvolle Gesprächen zu danken habe.”
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