Theorema Magnum MCMLIV: der Einbettungssatz von Nash

Von Thilo / 26. November 2020 / 12 Kommentare

John Nash wurde 1950 in Princeton mit einem Thema aus der Spieltheorie promoviert. Er hatte mittels eines Fixpunktsatzes aus der Funktionalanalysis einen eleganten Existenzbeweis für Gleichgewichte in Mehrpersonenspielen und damit ein brauchbares Modell für Verhandlungen zwischen zwei Personen gefunden.
Die Spieltheorie war mit dem 1944 von Oskar Morgenstern und John von Neumann veröffentlichten Buch “The Theory of Games and Economic Behavior” begründet worden. Trotz von Neumanns Prestige stieß sie bei vielen Mathematikern auf wenig Interesse. Nashs Mentoren hatten eigentlich erwartet, dass er ein wirklich schwieriges Problem auf einem abstrakten Gebiet wie der Topologie lösen würde.
Fast gleichzeitig mit seinem Gleichgewichtsresultat für n-Personen-Spiele gelang ihm aber eine Entdeckung über Mannigfaltigkeiten: er bewies, dass sich jede Mannigfaltigkeit als reelle algebraische Varietät realisieren läßt, also als Nullstellenmenge reeller Polynome. Technisch war der wichtigste Schritt, dass er jede differenzierbare Abbildung zwischen reell-algebraischen Mengen approximieren konnte durch Abbildungen, die gleichzeitig algebraisch und reell-analytisch sind. Diesen 1952 in den Annals of Mathematics veröffentlichten Beweis sah er später als seine beste Arbeit an.

Nash hielt nichts davon, Mannigfaltigkeiten abstrakt über Karten und Atlanten zu definieren. Er fragte bei zahlreiche Professoren schriftlich an, ob es ein lohnendes Problem wäre zu beweisen, dass jede Riemannsche Mannigfaltigkeit isometrisch in einen euklidischen Rⁿ eingebettet werden kann. Nachdem ihm dies bestätigt wurde, behauptete er, eine Lösung modulo Details zu haben. Er wollte darüber sogar in Harvard vortragen. Dann erkundigte er sich bei Norman Levinson nach einer bestimmten Differentialgleichung. Der meinte, die wäre sehr schwer – offensichtlich hatte Nash nur vage Vorstellungen. Die beiden trafen sich dann jede Woche und Levinson erklärte Nash jedesmal, was mit seinen jeweils neuen Ansätzen nicht funktioniere. Am Ende, nachdem Nash zwei Jahre mit verbissener Zähigkeit an dem Problem gearbeitet hatte, war er dann mit seinem Argument aber doch zufrieden. Nash hielt dann Vorträge über seinen Beweis des Einbettungssatzes, nach denen aber trotzdem noch niemand an die Richtigkeit seiner Argumente glaubte. Doch der Gutachter Herbert Federer war begeistert und redigierte mit Nash in mehrmonatiger Arbeit das Manuskript.
Tatsächlich war der Beweis nicht nur neuartig, sondern auch sehr mysteriös, eine geheimnisvolle Reihe seltsamer Ungleichungen kam zusammen. Technisch ging es vor allem um die Lösung bestimmter partieller Differentialgleichungen, a-priori-Abschätzungen ohne Ableitungen und ein Analogon des Satzes über implizite Funktionen in gewissen topologischen Vektorräumen. Der Satz über implizite Funktionen besagt ja in seiner einfachsten Form, dass man für eine Funktion mit f(0)=0 und f’(0)≠0 zu jedem hinreichend kleinen y ein kleines x mit f(x)=y finden kann; man kann ihn mit dem Newtonschen Iterationsverfahren beweisen: die Folge konvergiert gegen x. Analog beweist man den Satz auch im Rⁿ und allgemein in Banach-Räumen. In Nashs Anwendung (auf einem gewissen Funktionenraum) hatte man aber das Problem, dass die Inverse des Differentials kein beschränkter Operator war. Mit jedem Iterationsschritt verlor sie eine Differenzierbarkeitsstufe und im Grenzwert war die Lösung x keine differenzierbare Funktion mehr. Er umging dieses Problem nun, indem er in jedem Iterationsschritt einen Glättungsoperator vorschaltete. Das sah eigentlich zu einfach aus, als dass es hätte funktionieren können. Er schaffte es aber, alle technischen Probleme zu überwinden. Sein neues Iterationsverfahren wurde später von Jürgen Moser in einer allgemeineren Fassung weiterentwickelt und in der Himmelsmechanik angewendet.
Überraschender als der allgemeine C^∞-Einbettungssatz war sein C¹-Einbettungssatz. Er bewies dort nämlich zusätzlich, dass es eine isometrische C¹-Einbettung nicht nur in einen Rⁿ, sondern dort sogar in eine Kugel von beliebig kleinem Radius gibt. Das ist sehr erstaunlich, denn man kann mit Hilfe der Prinzipalkrümmungen leicht beweisen, dass es keine isometrischen C²-Einbettungen einer gegebenen Mannigfaltigkeit in beliebig kleinen Kugeln geben kann. Klassisches Beispiel: für eine Einbettung einer Fläche in eine Kugel vom Radius ε muss in einem Extrempunkt die Krümmung mindestens 1/ε² sein. Weil Krümmung nach dem Theorema Egregium eine Invariante unter Isometrien ist, kann es also für kleine ε keine solche Einbettung der Einheitssphäre geben. Dieses Argument funktioniert nur für C²-Einbettungen, weil die Definition der Krümmung zweite Ableitungen der Metrik verwendet. Für C¹-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert. Man hatte wohl erwartet, dass dies ein technischer Punkt ist und man den Beweis auch ohne zweimalige Differenzerbarkeit noch verallgemeinern könnte. Dementsprechend hätte man nicht damit gerechnet, dass es solche Einbettungen für C⁰ oder C¹ dann doch gibt. Die mit Nashs Einbettungssatz erhaltenen nichtglatten Einbettungen waren Monstrositäten, die unmögliches ermöglichten wie das Zusammenfalten eines Tischtennisballs ohne ihn zu verformen, oder die Konstruktion eines perfekt flachen Torus im R³. Im Nachhinein verstand man sie als Beispiel des Phänomens, dass nichtlineare partielle Differentialgleichungen unterhalb einer gewissen Regularitätsschranke unvorhersehbar werden.
Der C¹-Einbettungssatz war zwar sehr überraschend, aber nicht das Hauptresultat seiner Arbeit. Technisch sehr viel schwieriger war der Beweis, dass es isometrische C^k-Einbettungen für alle k≥2 gibt. (Erst für diesen Beweis hatte er die mit Levinson diskutierten analytischen Resultate benötigt.) Sein Beweis für unendlich oft differenzierbare Einbettungen entwickelte die allgemeinste Form des Perturbationsarguments.

Die Differentialgeometer bevorzugten aber weiterhin den intrinsischen Standpunkt. Die Geometrie von hochdimensionalen Mannigfaltigkeiten wurde nicht einfacher, wenn man sie in einen Rⁿ einbettet. Viel wichtiger wurde Nashs Arbeit für die Analysis, wo seine Methoden im Beweis des C^k-Falls für k≥2 einen Durchbruch in der Theorie partieller Differentialgleichungen darstellten.

In den folgenden Jahren beschäftigte sich Nash mit der Regularität der Lösungen parabolischer Differentialgleichungen mit meßbaren elliptischen Koeffizienten, die er mit a-priori-Abschätzungen und einem neuen Entropiebegriff bewies. Er zeigte, dass L²-Lösungen Hölder-stetig sind und eine Harnack-Ungleichung max(u)≤Cmin(u) erfüllen. Gleichzeitig bewies Ennio de Giorgi analoge Ungleichungen für gewisse elliptische Differentialgleichungen. Es stellte sich heraus, dass die beiden Resultate äquivalent zueinander waren, wenngleich die Beweise unterschiedliche Methoden benutzten. Im elliptischen Fall folgte die Lösung für eines der Hilbertschen Probleme: die Minimierer des Integrals sind immer glatt, wenn F glatt und streng konvex ist. Im parabolischen Fall konnte man zeigen, dass Gradientenflußgleichungen mit streng konvexer Energie glatte Lösungen haben.

Bild: https://library.princeton.edu/special-collections/topics/nash-john-1928-2015

Kommentare (12)

#1 Frank Wappler
27. November 2020

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

Ist dadurch verhindert, für je drei verschiedene Punkte $A, B, C$ der einzubettenden Menge (Längenraum $\mathcal M$ ), und für jede umkehrbare Abbildung

$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$

(also insbesondere auch für jede Einbettung, durch jeweils die intrinsische und die extrinsische Länge jeder eingebetteten Kurve gleich sind) die entsprechende extrinsische Krümmung des Umkreises der drei Bildpunkte $f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ]$ zu ermitteln:

$\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ] \mapsto$

$\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 c^2} - \frac{b^2}{a^2 c^2} - \frac{c^2}{a^2 b^2} }$

mit
$a := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$b := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$c := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2;$

und sogar zu untersuchen, ob und für welche Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ die entsprechende Folge von Umkreiskrümmungen konvergiert ?
#2 Frank Wappler
https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle#Other_properties
27. November 2020

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

Ist dadurch verhindert, für je drei verschiedene Punkte $A, B, C$ der einzubettenden Menge (Längenraum $\mathcal M$ ), und für jede umkehrbare Abbildung

$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$

(also insbesondere auch für jede Einbettung, die jede Kurve stetig abbildet und sicherstellt, dass deren intrinsische und extrinsische Länge jeweils gleich sind) die entsprechende extrinsische Krümmung des Umkreises der drei Bildpunkte $f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ]$ zu ermitteln:

$\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ] \mapsto$

$\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} }$

mit
$a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2;$

und sogar zu untersuchen, ob und für welche Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ die entsprechende Folge von Umkreiskrümmungen konvergiert ?
#3 Thilo
28. November 2020

Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats? Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist, also wenn verschiedene Einbettungen dieselbe Metrik geben, ob dann diese Formel dieselbe Krümmung definieren würde.
#4 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#3, 28. November 2020):
> Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats?

Die Formel aus meinem obigen Kommentar (in beiden Versionen, #1 und #2),
$ $\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \tag{FW1},$ $
stellt das Inverse der bekannten Formel dar, die den Umkreisradius eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.
(Der Link, den ich zur Verdeutlichung beizufügen versuchte, enthält immerhin die Formel, die den Umkreisdurchmesser eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.)

Zu beachten ist allerdings, dass diese Formel $(FW1)$ auch dann einen Wert liefert (nämlich: $0$ ), falls das betreffende Dreieck zu einer “(doppelt belegten) Geraden” degeneriert wäre; und sich deshalb weder strikt von “dessen Umkreis”, noch vom “Radius dieses Umkreises”, und deshalb auch nicht vom “Kehrwert dieses Radius'” sprechen ließe.

> Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist […]

???
Die anfangs zitierte Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog …

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

… bezieht sich doch sicherlich auch nicht auf “Krümmung” als eine intrinsische Größe — oder etwa doch?

Zusammen mit den Setzungen aus meinem obigen Kommentar …

>>> […] für jede umkehrbare Abbildung
$ $f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n \tag{FW2}$ $
>>> (also insbesondere auch für jede Einbettung, […])

und (in Version #2 meines Kommentars korrigiert, und hier — hoffentlich endlich — lesbar dargestellt)

>>> […] mit
$ $a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2; \tag{FW3}$ $

… ergibt sich jedenfalls die Definition einer Größe, die keine intrinsische Größe (des abgebildeten bzw. eingebetteten “Längenraumes $\mathcal M$ “) ist, und die ganz ausdrücklich auch keine sein soll. Das dürfte auch durch die Bezeichnung dieser Größe und ihrer Argumente als “Umkreiskrümmung $\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$ ” verdeutlicht sein.

Die konkrete Setzung $(FW3)$ ist dabei mit der Annahme aus dem obigen ScienceBlog-Artikel verbunden, dass die Menge $\mathbb R^n$ in Setzung $(FW2)$ kartesische Koordinaten eines $n$ -dimensionalen Euklidisch-flachen Raumes bezeichnet. (Demgegenüber sind i.A. natürlich auch andere Varianten denkbar.)

Verschiedene umkehrbare Abbildungen bzw. Einbettungen
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ und, z.B.,
$h : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ ,
mit $h \not\equiv f$ ,
können also i.A. ungleiche Werte
$\kappa[ \, \{ h[ \, A \, ], h[ \, B \, ], h[ \, C \, ] \} \, ] \neq \kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$
hinsichtlich ein-und-des-selben Tripels $(A, B, C)$ von Punkten aus $\mathcal M$ haben.

p.s.
Zusammen mit ausdrücklich intrinsischen Setzungen lassen sich durch Formel $(FW1)$ auch ausdrücklich intrinsische Größen definieren; insbesondere, sofern Menge $\mathcal M$ als Bestandteil eines Längenraumes $(\mathcal M, d)$ gegeben ist:

$ $\kappa[ \, \{ A, B, C \} \, ] \mapsto \sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \tag{FW4}$ $
mit
$ $a^2 := (d[ \, B, C \, ])^2, \qquad b^2 := (d[ \, A, C \, ])^2, \qquad c^2 := (d[ \, A, B \, ])^2. \tag{FW5}$ $

Deren Werte könnten wiederum von Interesse sein, um (die am Ende meines vorausgegangenen Kommentars genannten) bestimmte Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ festzulegen.
#5 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#3, 28. November 2020):
> Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats?

Die Formel aus meinem obigen Kommentar (in beiden Versionen, #1 und #2),
$ $\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW1)},$ $
stellt das Inverse der bekannten Formel dar, die den Umkreisradius eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.
(Der Link, den ich zur Verdeutlichung beizufügen versuchte, enthält immerhin die Formel, die den Umkreisdurchmesser eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.)

Zu beachten ist allerdings, dass diese Formel $\text{(FW1)}$ auch dann einen Wert liefert (nämlich: $0$ ), falls das betreffende Dreieck zu einer “(doppelt belegten) Geraden” degeneriert wäre; und sich deshalb weder strikt von “dessen Umkreis”, noch vom “Radius dieses Umkreises”, und deshalb auch nicht vom “Kehrwert dieses Radius'” sprechen ließe.

> Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist […]

???
Die anfangs zitierte Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog …

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

… bezieht sich doch sicherlich auch nicht auf “Krümmung” als eine intrinsische Größe — oder etwa doch?

Zusammen mit den Setzungen aus meinem obigen Kommentar …

>>> […] für jede umkehrbare Abbildung
$ $f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n \qquad \text{(FW2)}$ $
>>> (also insbesondere auch für jede Einbettung, […])

und (in Version #2 meines Kommentars korrigiert, und hier — hoffentlich endlich — lesbar dargestellt)

>>> […] mit
$ $a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2; \qquad \text{(FW3)}$ $

… ergibt sich jedenfalls die Definition einer Größe, die keine intrinsische Größe (des abgebildeten bzw. eingebetteten “Längenraumes $\mathcal M$ “) ist, und die ganz ausdrücklich auch keine sein soll. Das dürfte auch durch die Bezeichnung dieser Größe und ihrer Argumente als “Umkreiskrümmung $\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$ ” verdeutlicht sein.

Die konkrete Setzung $\text{(FW3)}$ ist dabei mit der Annahme aus dem obigen ScienceBlog-Artikel verbunden, dass die Menge $\mathbb R^n$ in Setzung $\text{(FW2)}$ kartesische Koordinaten eines $n$ -dimensionalen Euklidisch-flachen Raumes bezeichnet. (Demgegenüber sind i.A. natürlich auch andere Varianten denkbar.)

Verschiedene umkehrbare Abbildungen bzw. Einbettungen
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ und, z.B.,
$h : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ ,
mit $h \not\equiv f$ ,
können also i.A. ungleiche Werte
$\kappa[ \, \{ h[ \, A \, ], h[ \, B \, ], h[ \, C \, ] \} \, ] \neq \kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$
hinsichtlich ein-und-des-selben Tripels $(A, B, C)$ von Punkten aus $\mathcal M$ haben.

p.s.
Zusammen mit ausdrücklich intrinsischen Setzungen lassen sich durch Formel $(FW1)$ auch ausdrücklich intrinsische Größen definieren; insbesondere, sofern Menge $\mathcal M$ als Bestandteil eines Längenraumes $(\mathcal M, d)$ gegeben ist,

$ $\kappa[ \, \{ A, B, C \} \, ] \mapsto \sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW4)}$ $
mit
$ $a^2 := (d[ \, B, C \, ])^2, \qquad b^2 := (d[ \, A, C \, ])^2, \qquad c^2 := (d[ \, A, B \, ])^2. \qquad \text{(FW5)}$ $

Deren Werte könnten wiederum von Interesse sein, um (die am Ende meines vorausgegangenen Kommentars genannten) bestimmte Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ festzulegen.
#6 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#3, 28. November 2020):
> Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats?

Die Formel aus meinem obigen Kommentar (in beiden Versionen, #1 und #2),
$\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW1)},$
stellt das Inverse der bekannten Formel dar, die den Umkreisradius eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.
(Der Link, den ich zur Verdeutlichung beizufügen versuchte, enthält immerhin die Formel, die den Umkreisdurchmesser eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.)

Zu beachten ist allerdings, dass diese Formel $\text{(FW1)}$ auch dann einen Wert (nämlich: $0$ ) liefert, falls das betreffende Dreieck zu einer “(doppelt belegten) Geraden” degeneriert wäre; und sich deshalb weder strikt von “dessen Umkreis”, noch vom “Radius dieses Umkreises”, und deshalb auch nicht vom “Kehrwert dieses Radius'” sprechen ließe.

> Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist […]

???
Die anfangs zitierte Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog …

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

… bezieht sich doch sicherlich auch nicht auf “Krümmung” als eine intrinsische Größe — oder etwa doch?

Zusammen mit den Setzungen aus meinem obigen Kommentar …

>>> […] für jede umkehrbare Abbildung
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n \qquad \text{(FW2)}$
>>> (also insbesondere auch für jede Einbettung, […])

und (in Version #2 meines Kommentars korrigiert, und hier — hoffentlich endlich — lesbar dargestellt)

>>> […] mit
$a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] - x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2; \qquad \text{(FW3)}$

… ergibt sich jedenfalls die Definition einer Größe, die keine intrinsische Größe (des abgebildeten bzw. eingebetteten “Längenraumes $\mathcal M$ “) ist, und die ganz ausdrücklich auch keine sein soll. Das dürfte auch durch die Bezeichnung dieser Größe und ihrer Argumente als “Umkreiskrümmung $\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$ ” verdeutlicht sein.

Die konkrete Setzung $\text{(FW3)}$ ist dabei mit der Annahme aus dem obigen ScienceBlog-Artikel verbunden, dass die Menge $\mathbb R^n$ in Setzung $\text{(FW2)}$ kartesische Koordinaten eines $n$ -dimensionalen Euklidisch-flachen Raumes bezeichnet. (Demgegenüber sind i.A. natürlich auch andere Varianten denkbar.)

Verschiedene umkehrbare Abbildungen bzw. Einbettungen
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ und, z.B.,
$h : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ ,
mit $h \not\equiv f$ ,
können also i.A. ungleiche Werte
$\kappa[ \, \{ h[ \, A \, ], h[ \, B \, ], h[ \, C \, ] \} \, ] \neq \kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$
hinsichtlich ein-und-des-selben Tripels $(A, B, C)$ von Punkten aus $\mathcal M$ haben.

p.s.
Zusammen mit ausdrücklich intrinsischen Setzungen lassen sich durch Formel $\text{(FW1)}$ auch ausdrücklich intrinsische Größen definieren; insbesondere, sofern Menge $\mathcal M$ als Bestandteil eines Längenraumes $(\mathcal M, d)$ gegeben ist:

$\kappa[ \, \{ A, B, C \} \, ] \mapsto \sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW4)}$
mit
$a^2 := (d[ \, B, C \, ])^2, \qquad b^2 := (d[ \, A, C \, ])^2, \qquad c^2 := (d[ \, A, B \, ])^2. \qquad \text{(FW5)}$

Deren Werte könnten wiederum von Interesse sein, um (die am Ende meines vorausgegangenen Kommentars genannten) bestimmte Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ festzulegen.
#7 Thilo
30. November 2020

Ja sorry, Umkreisquadrat sollte natürlich Umkreisradius heißen.
#8 Thilo
30. November 2020

Die Krümmung ist jedenfalls eine intrinsische Größe, das ist der Inhalt von Gauß’ Theorema Egregium.
#9 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#8, 30. November 2020):
> Die Krümmung ist jedenfalls eine intrinsische Größe […]

Man interpretiere diese Aussage hinsichtlich des (häufig affirmativ zu verstehenden) Auftretens des Begriffs “extrinsische Krümmung (ist …)” bzw. (noch häufiger) “extrinsic curvature (is …)” im Allgemeinen;
sowie im Besonderen hinsichtlich der Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog (Thilo, 26. November 2020):
“[…] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.”.
#10 Thilo
1. Dezember 2020

Das große Resultat des Theorema Egregijm ist gerade, dass die extrinsische Gaußsche Krümmung dann eben doch eine intrinsische Größe ist, obwohl sie ursprünglich nicht als solche definiert wurde.
#11 Frank Wappler
1. Dezember 2020

Thilo schrieb (#10, 1. Dezember 2020):
> Das große Resultat des Theorema E[…] ist gerade, dass die extrinsische Gaußsche Krümmung dann eben doch eine intrinsische Größe ist, obwohl sie ursprünglich nicht als solche definiert wurde.

Von Gaußscher Krümmung war im obigen ScienceBlogs-Beitrag jedoch gar nicht ausdrücklich die Rede …
Und es gibt eben nicht nur den Begriff der Gaußschen Krümmung, um die Einbettung einer Fläche (oder allgemeiner: eines Längenraumes) extrinsisch zu charakterisieren; und z.B. “eine ebene Einbettung einer intrinsischen Ebene” von “einer zylindrischen Einbettung einer intrinsischen Ebene” zu unterscheiden.

Sofern es ausdrücklich und ausschließlich um die Gaußsche Krümmung ginge, hätte sich im obigen ScienceBlog-Artikel ja stattdessen schreiben lassen:
“Für C1-Einbettungen ist die Gaußsche Krümmung nicht definiert.“
#12 Theorema Magnum – Mathlog
31. Januar 2021

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