Theorema Magnum MCMLX: der meßbare Riemannsche Abbildungssatz

Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass man jedes einfach zusammenhängende Gebiet konform auf die Einheitskreisscheibe abbilden kann. Der 1960 von Ahlfors und Bers bewiesene meßbare Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass man für jede durch 1 beschränkte, meßbare Funktion μ eine Lösung der Differentialgleichung findet, dass diese Lösung eindeutig ist, sobald man die Bilder dreier Punkte festlegt, und dass mit dieser Festlegung die Lösung stetig von μ abhängt.
Konforme Abbildungen sind holomorph, genügen also der Differentialgleichung . Trotz des Namens ist der meßbare Abbildungssatz keine direkte Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes, für μ=0 erhält man aus dem meßbaren Abbildungssatz lediglich die elementar zu beweisende Tatsache, dass eine konforme Abbildung durch die Bilder dreier Randpunkte bereits eindeutig festgelegt ist. (Man kann den Riemannschen Abbildungssatz aber geschickt aus der meßbaren Version herleiten.)

Teichmüller hatte Ende der 30er Jahre bewiesen, dass der Modulraum komplexer Strukturen auf einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht g die komplexe Dimension 3g-3 hat und seine universelle Überlagerung eine Vollkugel im R^6g-6 ist. Sein Beweis galt als unvollständig, er enthielt zwar alle wesentlichen Ideen, aber nicht alle Details. Der wesentliche Schritt seines Beweises war ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz für extremale quasikonforme Abbildungen. Im weiteren hatte er dann behauptet, dass man zu jedem holomorphen quadratischen Differential eine extremale quasikonforme Abbildung findet. Das läßt sich darauf zurückführen, zu gegebenem μ eine Lösung der Gleichung zu finden.
Diese Gleichung war schon von Gauß im Zusammenhang mit der Konstruktion isothermischer Koordinaten betrachtet worden, sie heißt Beltrami-Differentialgleichung. Es gab verschiedene Ansätze zu ihrer Lösung unter verschiedenen Voraussetzungen an μ, etwa Hölder-Stetigkeit (Korn und Lichtenstein) oder Stetigkeit (Lawrentjew). Das Problem war aber, dass man in der Teichmüller-Theorie nur voraussetzen konnte, dass μ meßbar und beschränkt ist. Die Lösbarkeit der Gleichung unter dieser Annahme folgt aus den 1938 von Morrey bewiesenen Existenzsätzen für quasi-lineare elliptische Differentialgleichungen, was allerdings erst in den 50er Jahren bemerkt wurde. Damit bewiesen Ahlfors und Bers dann 1960 den meßbaren Riemannschen Abbildungssatz, zunächst für die Riemannsche Zahlenkugel und als Korollar für die hyperbolische Ebene. Er ermöglicht eine Parametrisierung quasikonformer Abbildungen (die sie anders als Grötzsch und Teichmüller nicht mehr stetig differenzierbar voraussetzten) und ist damit wesentlich für die Teichmüller-Theorie.

Bers hatte auf dem ICM 1958 die Frage aufgeworfen, ob man den Teichmüller-Raum einer Fläche als beschränktes Gebiet holomorph in einen C^N einbetten könne. Bald danach veröffentlichte er einen fehlerhaften Beweis, dass dies nicht möglich sei. Die Korrektur, die nur eineinhalb Seiten lang war, betrachtete er später als seine beste Arbeit. Er benutzte die Lösbarkeit der Beltrami-Gleichung, um eine Einbettung des Teichmüller-Raums in den Vektorraum der quadratischen Differentiale zu konstruieren.
Diese Einbettung war eine infinitesimale Form eines anderen Einbettungssatzes. Für diesen bewies Bers zunächst den „Satz über simultane Uniformisierung“, demzufolge für eine Fläche S der Raum der quasifuchsschen Strukturen auf Sx[0,1] isomorph zum Produkt zweier Kopien des Teichmüller-Raums ist. Insbesondere bewies Bers damit die Einbettung des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Strukturen. Der Rand dieser Einbettung, heute als Bers-Schnitt bezeichnet, hat eine sehr fraktale Struktur.

Mit dem Einbettungssatz von Bers bekommt man auf dem Teichmüller-Raum wie auch auf dem Modulraum die Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit.
Man kann auch fragen, ob er eine algebraische Varietät ist. Der Riemannsche Modulraum der komplexen Kurven gegebenen Geschlechts ist durchaus ein feiner Modulraum im Sinne Grothendiecks, er trägt ein universelles Flächenbündel, was schon Teichmüller bekannt war. Tatsächlich beeinflußte diese Idee wohl Grothendieck bei der Entwicklung des funktoriellen Zugangs zur algebraischen Geometrie, insbesondere eben dem Konzept des feinen Modulraums. (Der feine Modulraum M eines Funktors F ist dadurch definiert, dass es eine Bijektion F=Hom(.,M) gibt. Dabei ist F ein Funktor von der Kategorie der Schemata in die Kategorie der Mengen, der jedem Schema B die Menge der Familien gewisser geometrischer Objekte mit Basis B zuordnet.) Die klassische algebraische Geometrie hatte nicht genug Werkzeuge, um ein algebraisches Modell des Riemannschen Modulraums als universelles eine komplexe Struktur tragendes Objekt zu konstruieren. Für Grothendieck zeigte das die Notwendigkeit einer Neufassung der analytischen Geometrie, inspiriert von der Theorie der Schemata, die sich für Modulprobleme komplexer Kurven und andere Modulprobleme als nützlich erwies. Die von Mumford in den nächsten Jahren entwickelte geometrische Invariantentheorie realisierte viele Modulräume als algebraische Varietäten bzw. gab die präzisen Bedingungen, auf die man sich einschränken mußte. Für die weitere Entwicklung der Teichmüller-Theorie und die Arbeiten von Ahlfors und Bers spielte dieser algebraische Zugang aber keine Rolle, ihr Ansatz war analytisch und geometrisch.

Ahlfors und Bers entwickelten die Teichmüller-Theorie für Flächen weiter zu einer Theorie der (geometrisch endlichen) hyperbolischen Strukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten. Bers’ Satz über simultane Uniformisierung konnten sie für beliebige 3-Mannigfaltigkeiten M (statt nur M=Sx[0,1]) verallgemeinern: sie zeigten, dass der Raum der geometrisch endlichen hyperbolischen Strukturen auf M dem Teichmüller-Raum des Randes von M entspricht. Weiter betrachtete Ahlfors für endlich erzeugte, diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes ihre Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen und bewies, dass der Quotient des Diskontinuitätsbereichs eine Fläche endlichen Typs ist. Bers gab einige Jahre später eine Abschätzung für ihren hyperbolischen Flächeninhalt.
Teichmüller-Theorie und die Arbeiten von Ahlfors und Bers wurden später wesentlich für Thurstons geometrischen Zugang zu 3-Mannigfaltigkeiten und die Theorie Kleinscher Gruppen.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lars_Ahlfors_-_MFO.jpg