Theorema Magnum MCMLXIII: der Atiyah–Singer–Indexsatz

Ob eine partielle Differentialgleichung lösbar ist und welche Dimension der Lösungsraum hat, hängt oft von topologischen Bedingungen ab. Klassisches Beispiel ist der Satz von Riemann-Roch, der zum Beispiel die Dimension des Raums der Lösungen von mit vorgegebenen Nullstellen aus dem Geschlecht der zugrundeliegenden Riemannschen Fläche berechnet. Der Satz von de Rham setzt die Dimension des Raums der „nichttrivialen“ Lösungen von dω=0 mit der Dimension der Homologiegruppen der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit gleich; der Satz von Hodge besagt, dass die Dimension der Homologiegruppen auch die Dimension des Lösungsraums von Δω=0 ist.

Elliptische Operatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten sind Fredholmsch: sie haben einen endlich-dimensionalen Kern und Kokern und man kann ihren Index definieren als dim(ker)-dim(koker). Israel Gelfand, dessen Seminar lange das Zentrum des mathematischen Lebens in Moskau war, stellte Ende der 50er Jahre in einer Reihe von Beispielen mit seinen Mitarbeitern fest, dass dieser Index für elliptische Operatoren homotopieinvariant ist. Er sollte sich also durch topologische Größen ausdrücken lassen. Analytiker begannen dann, mit neuen Methoden aus der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren das Indexproblem anzugehen. Sie hatten zwar die analytischen Techniken, aber wußten nicht, welche topologische Formel sie eigentlich beweisen wollten. Ein eher elementares Beispiel, das auch schon Fritz Noether bekannt gewesen war, hatten Gochberg und Krein ausgearbeitet: L²(S¹) hat einen Unterraum H₀ aufgespannt von 1,z,z²,… Multiplikation mit einer stetigen Funktion f:S¹——>S¹ gefolgt von Projektion auf H₀ definert einen Operator H₀——->H₀, der endlichdimensionalen Kern und Kokern hat. Sein Index ist minus die Umlaufzahl von f, also eine topologische Invariante. Aber für weniger elementare Beispiele hatte man keine plausiblen Vermutungen.

Durch Stephen Smale, der in Moskau Gelfands Seminar besucht hatte, wurde diese Fragestellung auch im Westen bekannt, insbesondere auch in Oxford, wo Atiyah und Singer bereits am Beweis ihres Indextheorems arbeiteten.
Hirzebruchs Signatursatz hatte die Konsequenz, dass eine gewisse Kombination von Pontrjagin-Klassen, die L-Klasse – ausgewertet auf der Fundamentalklasse einer 4n-dimensionalen Mannigfaltigkeit – immer eine ganze Zahl ergab, nämlich die Signatur (des Cupprodukts als quadratische Form auf der Homologie in Grad 2n). Hirzebruch und Atiyah war auch aufgefallen, dass es noch eine andere Kombination von Pontrjagin-Klassen, die Â-Klasse, gab, die diese Eigenschaft zumindest für Spin-Mannigfaltigkeiten hatte. (Und im allgemeinen nur für diese, das Â-Geschlecht von CP² ist -1/8.) Hirzebruch hatte die Ganzzahligkeit des Â-Geschlechts schon 1954 vermutet und 1960 in einer Arbeit mit Borel mit formalen Argumenten – unter Verwendung einer neuen von Milnor entwickelten Theorie komplexer Kobordismusgruppen – bewiesen, die neu entwickelte K-Theorie gab eine natürliche Interpretation dieser ganzen Zahl. Atiyah meinte aber, dass es für diese Ganzzahligkeit einen tieferen Grund geben müsse, was ihn letztlich mit Singer zur Konstruktion des Dirac-Operators auf Spin-Mannigfaltigkeiten führte.

Spin-Strukturen interessierten die Physiker, weil man in der relativistischen Version der Quantenmechanik die Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator auf der Raum-Zeit ziehen will. Das kann man machen, weil man eine gewisse Struktur auf dem Tangentialraum hat, nämlich die von den Basisvektoren e_i mit den Relation e_ie_j+e_je_i=-2δ_ij erzeugte „Clifford-Algebra“ Cl(n). Dann kann man den Dirac-Operator D=e₀.d/dt+e₁.d/dx₁+e₂.d/dx₂+e₃.d/dx₃ betrachten und erhält die gewünschte Quadratwurzel des Laplace-Operators Δ. Auf Mannigfaltigkeiten hat man eine solche Wirkung der Clifford-Algebra, wenn sie eine Spin-Struktur haben. Man definiert dann genauso einen Dirac-Operator D, allerdings unterscheiden sich D² und Δ dann noch um einen Krümmungsterm.

Die Clifford-Algebren ermöglichten auch eine neue Interpretation der K-Theorie und der Bott-Periodizität. Moduln über Cl(n) entsprechen stabilen Vektorbündeln über Sphären, also Elementen in reeller K-Theorie des Punktes, und vermittels der Verklammerungs-Konstruktion dann Elementen der stabilen Homotopiegruppe der orthogonalen Gruppe O, analog im komplexen Fall. Bott-Periodizität folgte dann in einer Arbeit von Atiyah-Bott-Shapiro daraus, dass man Cl(n+8) bzw. im komplexen Fall Cl(n+2) aus Cl(n) bzw. Cl(n) durch Tensorieren mit Cl(8) bzw. Cl(2) erhält und man Moduln über Cl(n+8) bzw. Cl(n+2) aus Moduln über Cl(n) bzw. Cl(n) durch Tensorieren mit einem Cl(8)- bzw. Cl(2)-Modul bekommen kann.
Die Algebra Cl(n) enthält eine Gruppe Spin(n), die eine 2-fache Überlagerung der SO(n) ist; eine Spin-Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ist eine Hebung des Rahmenbündels als SO(n)-Bündel zu einem Spin(n)-Bündel. Den irreduziblen Darstellungen der Clifford-Algebra entsprechen assoziierte Vektorbündel, die sogenannten Spinorbündel. Auf den Schnitten dieser Vektorbündel über Spin-Mannigfaltigkeiten kann man den Dirac-Operator in lokalen Koordinaten durch (für einen gegebenen kompatiblen Zusammenhang ∇) definieren. Obwohl Dirac, der diese Operatoren in der Physik verwendet hatte, und Atiyahs Doktorvater Hodge, auf den die als Erweiterung des elektromagnetischen Formalismus entwickelte Theorie harmonischer Formen mit ihren zahlreichen Anwendungen in der algebraischen Geometrie zurückging, Kollegen in Cambridge waren, war es Hodge nie eingefallen, den Dirac-Operator in der Geometrie zu verwenden. Das lag sicher auch daran, dass Spinoren (die Schnitte des Spinor-Bündels) keine so naheliegende geometrische Interpretation wie die Differentialformen haben.