Theorema Magnum MCMLXIII: der Atiyah–Singer–Indexsatz

Die Dirac-Operatoren D sind selbstadjungiert und haben deshalb Index 0. Um einen nichttrivialen Index zu bekommen, braucht man noch eine Z/2Z-Wirkung auf dem Vektorbündel, die mit D antikommutiert. Dann bildet D den +1-Eigenraum auf den -1-Eigenraum ab (und umgekehrt) und man betrachtet den Index für diesen eingeschränkten Operator.

Viele klassische elliptische Differentialoperatoren erster Ordnung auf Vektorbündeln lassen sich als Dirac-Operator D zu einer Wirkung der Clifford-Algeba Cl(n) und einem geeigneten Zusammenhang ∇ interpretieren:
– für das äußere Bündel (das Bündel der Differentialformen) hat man die Cl(n)-Wirkung c(a)=e(a)-e(a)*, wobei e(a) die äußere Multiplikation meint. Der Operator ist dann d+d*. Sein Kern sind die harmonischen Formen, nach dem Satz von Hodge isomorph zur Kohomologie. Als Index (für die offensichtliche Z/2Z-Wirkung durch Multiplikation mit (-1)^grad) bekommt man also die Euler-Charakteristik χ(M).
– ähnlich funktioniert es für die Kohomologie der Garbe holomorpher Differentialformen, die sich nach dem Satz von Dolbeault berechnen läßt als Kohomologie des Dolbeault-Operators auf komplexen Differentialformen. Man bekommt die holomorphe Euler-Charakteristik und damit den Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch.
– auf einer 4n-dimensionalen Mannigfaltigkeit bekommt man mit demselben Operator d+d*, aber einer anderen Z/2Z-Wirkung, nämlich Multiplikation mit (-1)ⁿe₁…e_4n, als Index des Dirac-Operators die Differenz der Dimensionen der +1- und -1-Eigenräume dieser Wirkung; das ist die Signatur von M, die nach dem Signatursatz von Hirzebruch durch Anwendung einer gewissen Kombination charakteristischer Klassen auf die Fundamentalklasse berechnet werden kann.

Aus der K-Theorie folgt, dass solche Operatoren in gewisser Weise alle elliptischen Operatoren erzeugen. Warum waren Dirac-Operatoren vorher kaum studiert worden? Es war wohl, weil Spinoren keine natürliche geometrische Interpretation haben, anders als Differentialformen. Und in der für die Physik eigentlich interessanten Raum-Zeit waren Dirac-Operatoren hyperbolisch, gehörten also nicht in die Theorie elliptischer Operatoren. Insofern war die Physik beim Atiyah-Singer-Indexsatz weit weg.

Der Satz, den Atiyah und Singer mit kräftiger Hilfe der Analytiker, besonders Nirenberg, bewiesen, besagte dann, dass der Index des Dirac-Operators gerade das Â-Geschlecht ist, die Auswertung der Â-Klasse auf der Fundamentalklasse (bzw. in der Version für verallgemeinerte Dirac-Operatoren einer kompliziertere charakteristische Klasse). Das hatte Hirzebruch mit einer Charakterformel für Spinordarstellungen nahegelegt und das erklärte jetzt, warum das Â-Geschlecht für Spinmannigfaltigkeiten immer eine ganze Zahl war, und auch warum – nach einem geometrisch bewiesenen Satz von Rochlin – die Signatur von 4-dimensionalen Spinmannigfaltigkeiten immer durch 16 teilbar ist.

André Lichnerowicz, Professor für Relativitätstheorie am Pariser Collège de France, hatte eine Formel bewiesen, die die Wirkung von D² auf Spinoren als Summe aus einem positiv definiten Operator – dem Analogon von Δ – und einem skalaren Vielfachen der Identität (nämlich 1/4 der Skalarkrümmung) darstellte. (Der Beweis dieser Formel war eine naheliegende Rechnung und sie war schon Weitzenböck bekannt gewesen.) Eine offensichtliche Anwendung der Formel betraf Metriken positiver Krümmung: weil es bei positiver Skalarkrümmung wegen positiver Definitheit keine Lösungen von Du=0 geben kann, war als Anwendung des Indexsatzes das Â-Geschlecht bei Spinmannigfaltigkeiten also ein Hindernis für positive Krümmung. Lichnerowiczs Formel folgte einem Ansatz von Bochner, der ähnliche Formeln hergeleitet hatte um beispielsweise das Verschwinden gewisser Homologiegruppen unter gewissen Krümmungsschranken zu beweisen. Mit diesem Ansatz hatten Bochner und Yano bewiesen, dass Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung nur endlich viele Isometrien haben können: andernfalls würde man durch Anwenden der Formel auf das Tangentialfeld der Wirkung einer differenzierbaren Gruppenwirkung einen Widerspruch erhalten. In den 60er Jahren nutzten Earle und Eells die Formel um die Existenz eindeutiger harmonischer Abbildungen in jeder Homotopieklasse von Abbildungen zwischen negativ gekrümmten Mannigfaltigkeiten zu beweisen. Aus der Lichnerowicz-Weitzenböck-Formel entwickelte sich später eine elaborierte Theorie von Hindernissen für Metriken positiver Skalarkrümmung.

Allgemein definieren die höchsten homogenen Terme eines Operators ein Symbol, mit dem man Elliptizität definieren kann, und das ein Element in topologischer K-Theorie bestimmt. Der Chern-Charakter von der K-Theorie in die Kohomologie gibt dann ein Element, das man noch mit Td multiplizieren kann um eine Kohomologieklasse zu erhalten, deren Auswertung auf der Fundamentalklasse eine rationale Zahl ist. Diese Zahl nannten Atiyah und Singer den topologischen Index und sie bewiesen dann ihren Indexsatz für elliptische Differentialoperatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten, demzufolge der topologische Index mit dem Index ind(D)=dim(ker D)-dim(koker D) übereinstimmt. Damit bekamen sie neue Beweise sowohl für Hirzebruchs allgemeines Riemann-Roch-Theorem als auch für den Signatursatz. Numerisch bedeutete ihr allgemeines Resultat, dass der Index des mit dem Bündel E getwisteten Operators D^E sich durch Anwendung von ch(E).Â(M) auf die Fundamentalklasse von M ergibt, wobei ch(M) der Chern-Charakter, eine gewisse Kombination von Chern-Klassen, ist.