Den Beweis konnten sie mit Thoms Berechnung des Kobordismusrings darauf reduzieren, die Gleichheit für die erzeugenden Bordismusklassen nachzurechnen und die Änderung unter Kobordismen zu beschreiben. Letzteres benötigte die Erweiterung der elliptischen Randwerttechniken auf singuläre Integraloperatoren, also den Ausbau der von Calderón und Zygmund entwickelten Theorie. Kontakte mit Nirenberg und Hörmander waren dabei eine wichtige Hilfe. Auch die Analytiker anerkannten die Bedeutung ihrer Arbeit. Später fanden sie dann noch einen mehr am Beweis des Satzes von Grothendieck-Riemann-Roch ausgerichteten, K-theoretischen Beweis. Er benutzte eine Einbettung der Mannigfaltigkeit in einen Rn und die Konstruktion eines direkten Bildes. Dieser Beweis funktionierte in einem rein K-theoretischen Kontext und vermied rationale Kohomologie. Der Indexsatz für Familien war eine einfache Konsequenz des neuen Beweises.
Einen „lokalen“ Beweis des Indexsatzes mittels des Wärmeleitungsflusses fand zwanzig Jahre später Ezra Getzler. Er benutzte, dass sich die Superspur von e-tDD* mit t nicht ändert und für t gegen unendlich gegen den Index von D konvergiert. Für t gegen 0 konnte Getzler die Superspur aber durch Rechnungen in lokalen Koordinaten bestimmen und erhielt die lokalen Ausdrücke der Pontrjagin-Klassen, die in der Definition des Â-Geschlechts verwendet werden.
Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Atiyah-Hirzebruch_crop.jpegund
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