Gabriels Horn (Toricellis Trompete)

Von Thilo / 19. Februar 2021 / 36 Kommentare

Gabriels Horn (oder Toricellis Trompete) ist ein Körper, der unendliche Oberfläche, aber ein endliches Volumen besitzt. Wie man das beweist ohne das Integral auszurechnen, erklärt Tom Crawford im neuen Numberphie-Video.

Kommentare (36)

#1 Marc Nardmann
19. Februar 2021

“endliche Oberfläche, aber ein unendliches Volumen”: andersrum
#2 Thilo
19. Februar 2021

Ja, natürlich. Ist korrigiert.
#3 rolak
19. Februar 2021

Eine schicke Abschätzung, so naheliegend und doch so überraschend…

Fortunately, ‘phie’ and ‘fie‘ are only phonetically similar, but an additional ‘l’ would be nice ;•)
#4 Fluffy
19. Februar 2021

Schönes Video, vor allem die Animationen, alles gut verständlich und schön nachvollziehbar erklärt.
Das aus meiner Sicht Verblüffende ist aber, dass die Kurve 1/x von 1 bis ∞ zwar eine unendliche Fläche aber bei Rotation eine endliches Volumen hat.

Aber

Eine schicke Abschätzung,

eigentlich zeigt er, dass
∞>∞
Bei der Matheolympiade müssen wir leider ½ Punkt abziehen.
#5 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

@Fluffy

Hi Fluffy!
Ein bisschen mehr Fantasie! Ein Punkteabzug ist hier fehl am Platz und unangebracht.
Worum geht’s hier?
Natürlich ist die Trompete unendlich lang.
Wir ordnen jetzt der Trompete ein Maß zu.
Ein Maß, welches wir Oberfläche nennen und ein Maß welches wir Volumen nennen.
Interessant ist, dass das Volumen-Maß der Trompete endlich ist, während seine Oberfläche unendlich ist.
So und auf diesen Schock trinke ich jetzt ein Maß Bier. 🙂
#6 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

@Fluffy

Und dann gibt es ja noch das Paradoxon. Wie kommt es zum Paradoxon? 😉
#7 rolak
20. Februar 2021

eigentlich zeigt er, dass ∞>∞

Sebstverständlich nicht. Wenn Du es unbedingt in Alltagsbildern formuliert haben möchtest, dann zeigt er, daß das Eine ‘schneller’ bzw ‘intensiver’ Richtung ∞ wächst als das Andere.
#8 Fluffy
20. Februar 2021

Wenn Du es unbedingt in Alltagsbildern formuliert haben möchtest…

Nein, möchte ich nicht. Da wächst nämlich nichts.
Im Video steht bei 14:55 am Ende
S.A > $2 \pi \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx$
Und da S.A = ∞ , … siehe oben
Natürlich ist die Aussage vom Video richtig, aber sobald man anfängt mit Unendlichkeiten zu rechnen ist Aufmerksamkeit angebracht.

Von wegen Alltagsbild erinnere ich mal an den vorletzten Blogeintrag über das Gegenbeispiel von Kolmogorow zur Konvergenz von Fourierreihen L¹ – integrabler Funktion. Leider finde ich im Netz keine Beschreibung dieser Funktion.
#9 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

@Fluffy

Und schon wieder falsch.
f(x) =1/x
Die Integrationsgrenzen sind von 1 bis ∞.
Ich denke ich werde da ein paar Punkte abziehen. 😉
#10 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

√(1+1/x⁴) >= 1.
1/x • √(1+1/x⁴) >= 1/x für x>=1
Es genügt zu zeigen, dass
∫1/x dx mit den Grenzen 1 bis ∞ unendlich ist.
Damit ist auch ∫(1/x • √(1+1/x⁴)) dx mit den Grenzen 1 bis ∞ gleich unendlich.
So was ist trivial, oder habe ich da einen Denkfehler lieber Fluffy?
#11 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

Farbe: Ich bestreiche die Oberfläche der Trompete aussen und benötige dafür unendlich viel Farbe. Das bringt mich auf die Idee die Farbe in die Trompete reinzuschütten. Endliches Volumen, endlich viel Farbe. Wo liegt der Denkfehler. 😉
#12 rolak
20. Februar 2021

ist Aufmerksamkeit angebracht

Dann lasse sie auch walten, Fluffy – oder zitierst Du etwa trollabsichtlich falsch? Denn dort ist zu lesen

S.A.>2πInt(1,∞,dx/x)=[ln(x)](1,∞)→∞

also nichts von “=∞”, doch selbst wenn, ignorierst Du zwei Dinge völlig: einerseits Aussagen wie [9:19..], daß nur die erfreulich einfachen Ergebnisse langwieriger und komplizierter Rechnungen gezeigt werden (also Alltagsbilder, auch Kinderlügen genannt wie zB jene: unvollständig bis falsch, aber sinnvoll), andererseits, daß Integrale ins Unendliche keinen Wert haben, sondern ein Grenzwert sind. Und ausschließlich dann, wenn dieser Grenzwert endlich ist (wie beim Volumen), ist die Aussage ‘Int(,,)=Wert’ sinnvoll (Ohne allerdings korrekt zu sein, das wäre immer noch irgendwas in der Art ‘Int(,,) hat als Grenzwert Wert’). Und deswegen sind Textstellen von Dir wie zB “Und da S.A = ∞” völlig sinnleer.

Wo liegt der Denkfehler

Im Nirvana, KH. Erklärt bei 2:17 mit “It’s called a paradox, because…”. Real existierende Denkfehler sind dagegen so Sachen wie die von Fluffy hier so unelegant vorgeturnten.
#13 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

@Fluffy

Der Gedanke daran, dass Fluffy eine Prüfungsarbeit korrigiert und nach seinem Ermessen einfach Punkte abzieht, lässt mich erschaudern. Es sieht nicht so aus, dass Fluffy sich einsichtig zeigt. 🙁
#14 Fluffy
20. Februar 2021

@Karl-Heinz #9
Ja, es sollte heißen
$2 \pi \int_1^{\infty } \frac{1}{x} \, dx$
Es war spät, ich musste mir das in Latex übersetzen lassen und in der Hitze der Nacht kann (mir) sowas schon mal passieren. Aber mehr als 2¼ Punkte würde ich dafür nicht abziehen.
(Und ich habe keine Vorschau)
——-

S.A.> $2 \pi \int_1^{\infty } \frac{1}{x} \, dx$ = [ln(x)](1,∞)→∞

Ja da steht … →∞, aber wofür denn?
für x →∞? Für ∞→∞. Alles Quatsch.
Aber wenn du schon anschaulich mit Unendlichkeiten rechnen möchtest, kann es auch passieren, dass du ganz schnell mal bei
1+2+3+… = -1/12 landest.
#15 Fluffy
20. Februar 2021

Folgendes könnte bei den Lesern schnell mal zu einer gewissen Verwirrung führen:
int = $\int_0^x F(x) \, dx$
Differenziere int nach x.
Im diskreten Fall würde es so aussehen:
sum = $\sum _{i=0}^i F(i)$

Zum Vergleich:
int = $\int_0^x F(x,y) \, dy$
Differenziere int nach x.
#16 Karl-Heinz
Graz
20. Februar 2021

@Fluffy

Ab und zu versuche ich jemanden aus der Reserve zu locken, meine es aber niemals böse.
Ich hätte da noch ein paar Anmerkungen, im Moment aber leider keine Zeit.
Vielleicht später. 😉
#17 Fluffy
21. Februar 2021

Ab und zu versuche ich jemanden aus der Reserve zu locken, meine es aber niemals böse

Kein Problem, alles o.k. 🙂

Ich hätte da noch ein paar Anmerkungen,

Nur zu, heute muss ich nicht arbeiten, nur mein Zimmer aufräumen.
#18 Karl-Heinz
Graz
21. Februar 2021

#Jolly

Zum Nachdenken
Gegeben sei die Reihe
S_0 = 1 = 1
S_1 = 1 – 1 = 0
S_2 = 1 – 1 + 1 = 1
S_3 = 1 – 1 + 1 – 1 = 0
…
S_n = 1 Wenn n gerade
S_n = 0 Wenn n ungerade

Man beachte, dass S_∞ keinen eindeutigen Wert zugewiesen werden kann.
Weiters gilt und ist auch richtig:
S_n + S_(n+1) = 1

Manche Mathematiker finden es lustig, wenn sie jemanden auf den Arm nehmen können.
Diese Ausdruck mag ja noch symbolisch stimmen, wenn man voraussetzt das beide Unendlichkeiten immer den gleichen Zahlenwert annehmen sollen.
S_∞ + S_(∞+1) = 1

!Aber das ist vollkommen falsch!
S_∞ + S_∞ = 1
2 • S_∞ = 1
S_∞ = 1/2

Und genau dieser falscher Ansatz wird verwendet um zu beweisen, dass 1+2+3+… = -1/12.
#19 Karl-Heinz
Graz
21. Februar 2021

@Jolly

Funktion f(x)
F(x) + C := ∫f(x)dx … unbestimtes Integral

∫f(x)dx mit den Grenzen von a bis b := F(b) – F(a) … bestimmtes Integral.

• Beispiel I:
Fläche unter der Kurve von 1/x² mit den Grenzen von 1 bis +∞
f(x) = 1/x²
∫1/x² dx = -1/x + Konstante
Mit den Grenzen von 1 bis +∞:
F(+∞) – F (1) = 0 – (-1) = 1.
Die Fläche unter der Kurve 1/x² mit den Grenzen 1 bis +∞ ist 1.

• Beispiel II:
Fläche unter der Kurve von 1/x mit den Grenzen von 1 bis +∞
f(x) = 1/x
∫1/x dx = ln(x) + Konstante
Mit den Grenzen von 1 bis +∞:
F(+∞) – F (1) = ln(∞) – ln (1) = ln(∞) – 0 = ∞
Die Fläche unter der Kurve 1/x mit den Grenzen 1 bis +∞ ist ∞.
#20 Karl-Heinz
Graz
21. Februar 2021

Wer kann das Paradoxon mit eigenen Worten, also ohne viel Mathematik auflösen.

Die Wandstärke der Trompete von Gabriel sei unendlich dünn. Bemahle ich das Horn von aussen benötige ich dafür unendlich viel Farbe, da die Oberfläche ja unendlich groß ist.
Schüttel ich die Farbe jedoch in das Horn, benötige ich nur eine endliche Menge an Farbe, da das Volumen endlich ist.
Da die Wandung der Trompete unendlich dünn ist, ist die Oberfläche im Inneren gleich groß wie aussen. Wo mache ich da einen Gedankenfehler?
#21 Jolly
21. Februar 2021

@Karl-Heinz

Manche Kommentatoren finden es lustig, wenn sie jemanden auf den Arm nehmen können.

Sie setzen @Fluffy = @Jolly

!Aber das ist vollkommen falsch!

PS.
Das mit dem Farbe ins Horn schütten klappt in der Praxis nicht, weil die Farbe unendlich lange Zeit benötigen würde, um bis zu Ende des Horns zu fließen.
#22 Fluffy
21. Februar 2021

14:55
#23 Fluffy
21. Februar 2021

15:05
#24 Thilo
21. Februar 2021

Was willst Du uns sagen?
#25 pederm
22. Februar 2021

@K.-H.
“Wer kann das Paradoxon … auflösen”
Niemend, deswegen ja Paradoxon und kein Denkfehler.

Tom Crawford macht’s übrigens unötig umständlich. Wenn er gleich dx als untere Schranke für ds nimmt und nicht den Weg über Pythagoras nimmt, erspart er sich das komische Integral und landet auch bei S.A. > unendlich.
#26 alex
22. Februar 2021

@Karl-Heinz:
Deine Farbe ist ein dreidimensionales Objekt, denn sonst könntest du ja nicht über das Volumen der Trompete argumentieren. Also wird beim Bestreichen der Trompete mit Farbe (egal ob von innen oder von außen) eine Schicht mit endlicher Dicke > 0 aufgetragen. Die passt aber ab irgend einer Stelle nicht mehr ins Innere der Trompete, weil dessen Durchmesser ja beliebig klein wird.

(Es sei denn du bestreichst die Trompete so, dass die Dicke der Farbe nicht konstant ist und sie im Unendlichen auch beliebig klein wird. Aber dann ist das Argument “die Fläche ist unendlich groß, also wird unendlich viel Volumen Farbe benötigt” nicht gültig.)
#27 Karl-Heinz
Graz
22. Februar 2021

@alex
Ich bin voll deiner Meinung.
@all
Danke für das Feedback.
#28 horst
23. Februar 2021

@alex “dicke” farbe ist frei erfunden, so kann man sich auch prima selbst belügen. bei unendlich dünner wandung darf auch unendlich kleine viskosität angenommen werden.

im video ist ebenfalls ein selbstbelügen zu sehen: das volumen wird anhand unendlich dünner slices berechnet, die oberfläche aber mit einem dreidimensionalen object. das object mit welchem die oberfläche berechnet wird, besitzt jedoch immer ein volumen, ergo ist das volumen ebenfalls unendlich. die frage ist immer nur in welche richtung/dimension unendlich.
#29 horst
23. Februar 2021

Gesamtbetrachtung zu o.g. Video: Das Rechnen mit Unendlichkeiten ist bei solchen Dingen wie einem dreidimensionalen Horn kompletter Nonsense, egal ob der Mathematiker das kann oder nicht. Informatiker haben es da wesentlich einfacher, denn wir erkennen ziemlich schnell ob eine Rechnung schlicht ungültig ist, im Falle der gezeigten Rechenspielerei des Mathematikers nicht, denn er definiert unendlich offensichtlich nicht als illegal, weil ihm die definition als illegal abhanden kommt, oder er sie umdefiniert wie es gerade passt. Fügt man auch nur die Plancklänge in solche Spielereien ein, bemerkt man schnell das Verschwinden des vermeintlichen Paradoxes.

Eine Division durch Null ist bspw. in der praktischen Informatik schlicht illegal, muss es aber nicht. Ich kann genauso definieren das ein Dividieren durch *nichts* ein Nicht-Dividieren ist, also *kein* Teilen, wonach der Eingangswert schlicht der bleibt der er ist. Dies ist schlicht eine Frage *wie* etwas definiert wird.
Das o.g. “Paradox” ist demnach keines, es ist schlicht eine Rechnung mit ungültigem Wert und aus praktischer Sicht für die Mülltonne. Selbst als Forschungsobjekt theoretischer Natur taugt es nicht.
#30 alex
24. Februar 2021

@horst:

bei unendlich dünner wandung darf auch unendlich kleine viskosität angenommen werden.

Wenn die Farbe beliebig dünn aufgetragen werden kann, was bitteschön soll denn dann daran paradox sein, dass man mit einem endlichen Volumen an Farbe eine unendlich große Fläche bestreichen kann? Du hast also offenbar noch nicht einmal verstanden, was hier das Paradoxon ist.

im video ist ebenfalls ein selbstbelügen zu sehen: das volumen wird anhand unendlich dünner slices berechnet, die oberfläche aber mit einem dreidimensionalen object. das object mit welchem die oberfläche berechnet wird, besitzt jedoch immer ein volumen, ergo ist das volumen ebenfalls unendlich. die frage ist immer nur in welche richtung/dimension unendlich.

Vielleicht solltest du noch mal ein bisschen Infinitesimalrechnung und/oder Maßtheorie wiederholen. Es ist immer ganz hilfreich wenigstens die Grundlagen zu kennen, bevor man andere des “selbstbelügens” bezichtigt.
#31 Karl-Heinz
Graz
24. Februar 2021

@horst

Der Alex hat schon recht. 🙂

Ich versuche das Ganze mal in einfache Worte zu fassen. Wenn man Farbe auf eine Fläche aufträgt, hat die aufgetrage Farbe in der Praxis immer eine bestimmte Schichtdicke. Im Prinzip trägt man auf eine Fläche immer ein Volumen als Farbe auf. In unserem Fall wird die Trompete, wenn man sich in Richtung Mundstück bewegt, sehr schnell dünn. Die aussen aufgetragen Farbe hat nach einger Zeit die Form eines unendlich langen Zylinder mit der Schichtdicke als Radius.
Im Inneren muss theoretisch die Schichtdicke abnehmen, da die Wandungen sie begrenzen.
#32 horst
24. Februar 2021

@alex
>Wenn die Farbe beliebig dünn aufgetragen werden kann, was bitteschön soll denn dann daran paradox sein, dass man mit einem endlichen Volumen an Farbe eine unendlich große Fläche bestreichen kann? Du hast also offenbar noch nicht einmal verstanden, was hier das Paradoxon ist.

lass es mich nochmal einfach erklären: das Paradox findet nur in deinem Kopf statt, denn das Weglassen von Definitionen, hier der “dicke” wie du es in Laienform ausdrücktest ist nicht definiert, insofern ist auch bei einem “endlichen” Volumen eine unendlich kleine Viskosität weder verboten noch unzulässig, sondern gar immanent, genauso wie hier das Volumen anhand unendlich dünner slices ermittelt wird und ein endliches Volumen mit unendlich kleiner Viskosität kann demnach problemlos eine unendliche Oberfläche bedecken. Nicht zu vergessen die Antwort auf die Frage was mit der Oberfläche der Innenseite einer unendlich dünnen Wandung sei. Man erkennt deutlich, dass nur da vermeintliche Paradoxen auftreten, wo man sie durch Eingangsdefinitionen zulässt. Das Ganze kann schlussendlich mehr als ein philosophisches Problem betrachtet werden, was mit “selbstbelügen” gemeint ist, je nachdem wie man sich das zurechtdenkt.

Die ganze Zahlenspielerei dazu ist schlicht gut fürs Entertainment, sonst nichts.
#33 HelmutK
25. Februar 2021

Sowass kann man auch mit einer Dimension weniger machen:
Die Fläche unterhalb der Funktion y = 1/x^2 von x=1 bis x=unendlich wird mit dem Integral 1/x^2 dx in den Grenzen x=1 bis X=unendlich errechnet. Das ergibt eine Fläche von 1 bei unendlicher Länge der Kurve.
#34 HelmutK
25. Februar 2021

Hoppela, ich hätte wohl alles vorher lesen sollen. Das hat @Karl-Heinz bereits in @19 geschrieben.
#35 HelmutK
25. Februar 2021

@horst
Paradox ist daran ja auch nichts. Es widerspricht nur dem “Gesunden Menschenverstand”, wenn eine unendliche Fläche ein endliches Volumen einschliessen soll. Wie im Video gezeigt, lösst sich das Paradoxon in Wohlgefallen auf, wenn man das eingeschlossene Volumen als Aufsummierung der Querschnitts-Kreisfläche * dx betrachtet.

Mit V = 4*Pi*dx/x^2 fällt ab x>2 der Volumenzuwachs kleiner als der Flächenzuwachs A = 2*Pi*dx/x aus.

Wenn die Trompete auf die Länge 1 gekürzt und bei x=0 anfängt, dann ist beides Fläche und Volumen unendlich groß.
#36 HelmutK
25. Februar 2021

Mit V = 4*Pi*dx/x^2 fällt ab x>2 der Volumenzuwachs kleiner als der Flächenzuwachs A = 2*Pi*dx/x aus.

Ähm, das ist falsch, dV/A müsste dx sein?

Gabriels Horn (Toricellis Trompete)

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