Theorema Magnum MCMLXX: die Jacquet-Langlands-Korrespondenz

Ein klassisches Thema der Zahlentheorie sind die Modulfunktionen für Γ=SL(2,Z) und allgemeiner für Fuchssche Gruppen. Man kann sie als Funktionen auf der hyperbolischen Fläche Γ\H² ansehen und sie sind dort Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators Δ. Hans Maaß definierte 1949 (nicht notwendig holomorphe) automorphe Funktionen als Eigenfunktionen von Δ.
In der klassischen harmonischen Analysis will man Funktionen aus L²(R) als Integrale trigonometrischer Reihen zerlegen, also von Eigenfunktionen von Δ. Atle Selberg erkannte in den 50er Jahren, dass man mit dem analogen Ansatz das Klassifikationsproblem für Modulformen angehen kann. Wenn f eine Modulform vom Gewicht k ist, dann ist die auf SL(2,R) definierte Funktion eine Eigenfunktion von Δ zu einem von k abhängenden Eigenwert. Für Kongruenzgruppen in SL(2,R) konnte Selberg das kontinuierliche Spektrum des Laplace-Operators durch Eisenstein-Reihen beschreiben, also durch Eigenfunktionen von Δ. Das diskrete Spektrum wiederum ging er mit seiner Spurformel an und konnte so letztlich alle quadratisch integrierbaren automorphen Formen auf Γ\SL(2,R), also die Spektralbasis für Δ, bestimmen. Man hatte sich gefragt, ob die mit sehr unterschiedlichen Methoden von Siegel und Maaß konstruierten Eigenfunktionen nur Anomalien oder bereits alle Eigenfunktionen waren. Selberg beantwortete das positiv mit seiner Spurformel.

Die Theorie der Modulformen wird damit Teil der Darstellungstheorie, konkret des Problems: zerlege die unitäre Darstellung von SL(2,R) auf L²(Γ\SL(2,R)) in irreduzible Darstellungen. (Aus Schurs Lemma folgt, dass Δ auf jeder irreduziblen Darstellung als Multiplikation mit einem Skalar wirkt.) Um die Modulformen vom Gewicht 2k zu finden, betrachtet man in L²(Γ\SL(2,R)) den irreduziblen Unterraum zum entsprechenden Eigenwert von Δ und betrachtet dort den kleineren Unterraum, auf dem Winkel θ aus SO(2) als Multiplikation mit e^-2kiθ wirken. Das alles war in Borels Überblicksartikel in den Proceedings der Konferenz von Boulder (1965) erklärt, die ein systematischer Versuch gewesen waren, die aufstrebende Theorie der automorphen Formen einem breiteren Kreis zugänglich zu machen.

Die Theorie der automorphen Formen war also mit der Darstellungstheorie verknüpft, die in den 60er Jahren vor allem durch Arbeiten von Harish-Chandra Fortschritte erzielte. Nachdem die endlich-dimensionalen Darstellungen von Cartan (für halbeinfache Lie-Gruppen) und Weyl (für kompakte Gruppen) klassifiziert worden waren, hatte Eugene Wigner noch vor dem Krieg unendlich-dimensionale unitäre Darstellungen der Poincaré-Gruppe untersucht. Das wurde von Harish-Chandra in seiner Dissertation 1947 zunächst auf die Lorentz-Gruppe ausgedehnt. In den weiteren Arbeiten Harish-Chandras ging es in den folgenden Jahrzehnten dann um (unendlich-dimensionale) Darstellungen reduktiver (nichtkompakter) Lie-Gruppen oder algebraischer Gruppen.
Man unterscheidet in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen die diskrete und die kontinuierlichen Serie von Darstellungen. Die diskrete Serie bilden die Äquivalenzklassen derjenigen Darstellungen, die als Unterdarstellung in der regulären Darstellung von G auf L²(G) vorkommen.
Für kompakte Gruppen gehören alle Darstellungen zur diskreten Serie. Bei halbeinfachen Gruppen ist das nicht der Fall, wie Bargmann 1947 für SL(2,R) entdeckt hatte. Dort gab es zwei Hauptserien parametrisiert durch eine reelle Zahl v und eine diskrete Serie parametrisiert durch eine natürliche Zahl n>1 und komplexe Konjugation. Die Existenz der diskreten Serie folgt in diesem Fall aus der Existenz von Modulformen hinreichend großen Gewichts, die man mittels des Riemann-Roch-Theorems durch eine Dimensionsberechnung beweist.
Zuvor hatten Gelfand und Naimark den Fall G=SL(2,C) untersucht und recht explizit konstruierte Hauptserien angegeben. Für komplexe Gruppen hat man tatsächlich nur das kontinuierliche Spektrum. Diskrete Serien gibt es nur für diejenigen halbeinfachen Gruppen, deren Rang mit dem ihrer maximal kompakten Untergruppe übereinstimmt, zum Beispiel SL(n,R).
Für reelle halbeinfache Gruppen konnte Harish-Chandra schon in den 50er Jahren mit einem induktiven Verfahren – der Philosophie der Spitzenformen – die Bestimmung der kontinuierlichen auf die Bestimmung der diskreten Serien zurückführen. Die Konstruktion der diskreten Serie gelang ihm erst ein Jahrzehnt später, indem er explizit ihre Charaktere konstruierte. Für SL(2,R) war sie aus der Arbeit von Bargmann bekannt, im allgemeinen Fall war die Schwierigkeit der Beweis des Regularitätssatzes für invariante Eigendistributionen, demzufolge jeder Charakter lokal integrierbar ist.
In der harmonischen Analysis will man die reguläre Darstellung von G auf L²(G) in irreduzible Darstellungen zu zerlegen. Die Zerlegung ist ein Integral über die duale Gruppe, also den Raum der unitären irreduziblen Darstellungen von G. Das ist ein topologischer Raum, wo die Menge der nicht-trennbaren Punkte relativ klein ist. Einer Funktion auf G entspricht eine operatorwertige Funktion auf diesem Raum, und man hat auch ein Maß, so dass die Integrale übereinstimmen in Analogie zur Plancherel-Formel für G=R. Harish-Chandra gelang es nach langer Arbeit in den 60er Jahren, das Plancherel-Maß (und seinen Träger) auf dem Raum der irreduziblen Darstellungen explizit zu beschreiben, wobei der Regularitätssatz und die Konstruktion der diskreten Serie die Ecksteine dieser Formel wurden. Weiter gelang Harish-Chandra der Beweis einer Charakterformel für die Darstellungen aus der diskreten Serie in Analogie zu der für kompakte Gruppen bekannten Weylschen Charakterformel.