Theorema Magnum MCMLXX: die Jacquet-Langlands-Korrespondenz

Neben den klasssischen auf der hyperbolischen Ebene definierten Modulformen waren in der Zahlentheorie auch die Hilbert-Blumenthal-Modulformen (auf dem Produkt hyperbolischer Ebenen) und die Siegelschen Modulformen (auf dem mittels symplektischer Matrizen definierten Siegelschen Halbraum) nützlich gewesen. Diese verallgemeinerten Modulformen kann man jeweils als Funktionen mit gewissen Eigenschaften auf Γ\G für die jeweilige Lie-Gruppe G ansehen. Auf dem ICM 1962 in Stockholm hatte Israel Gelfand einen Vortrag “Automorphic functions and the theory of representations” gehalten. Dort erklärte er den Begriff einer verallgemeinerten Spitzenform und seine Arbeiten mit Graev und Piatetski-Shapiro, mit denen er das Spektrum der Algebra invarianter Differentialoperatoren untersuchen konnte. Die verallgemeinerten Spitzenformen entsprechen den “kuspidalen” Darstellungen, die in einem durch Bedingungen in den Spitzen definierten invarianten Unterraum vorkommen, und sie sind Teil des diskreten Spektrums. Das kontinuierliche Spektrum wird im Fall G=SL(2,R) durch Eisenstein-Reihen beschrieben. Die Struktur des Spektrums ist zweistufig. Es ist zunächst in Teile aufgeteilt, die durch eine parabolische Untergruppe P parametrisiert sind. Jeder dieser Teile hat als Dimension den Rang von P und entspricht einer Familie verallgemeinerter Spitzenformen zu einem Faktor von P. Langlands bewies die Fortsetzbarkeit der zugeordneten automorphen Funktionen und bekam damit die Spektralzerlegung von L²(Γ\G) für Quotienten endlichen Volumens beliebiger reduktiver Gruppen. Das kontinuierliche Spektrum bekam er mit den Eisenstein-Reihen, deren Spektrum aber außerhalb des Konvergenzbereichs liegt, so dass ihre analytische Fortsetzbarkeit wesentlich wurde. Die Fortsetzbarkeit dieser „Eisenstein-Reihen“ zu meromorphen Funktionen bewies er mit einem Wechselspiel von Spektraltheorie und dem Kalkül höherer Residuen. Damit konnte er das kontinuierliche Spektrum mittels der diskreten Spektra in niedrigeren Dimensionen bestimmen.

Eine weitere Reformulierung der klassischen Theorie der Modulformen war die Verwendung adelischer Sprache. Obwohl diese nicht so naheliegend war, macht sie doch viele der Operationen auf automorphen Formen letztlich stromlinienförmiger. Adele waren ursprünglich von Chevalley eingeführt worden, um die Klassenkörpertheorie zu vereinheitlichen. In John Tates Dissertation waren Heckes Arbeiten über L-Funktionen in dieser Sprache formuliert worden. Die Theorie der automorphen Formen auf Γ\SL(2,R) für eine beliebige Kongruenzgruppe Γ wird in adelischer Sprache Teil des allgemeinen Problems, für den Adelering die unitäre Darstellung von SL(2,A) auf L²(SL(2,Q)\SL(2,A)) in irreduzible Darstellungen zu zerlegen. Aus dem starken Approximationssatz für SL(2) folgt, dass dieses Problem tatsächlich das Vorhergehende umfaßt. Dieser Zugang behandelt die Theorie simultan für alle Gewichte und alle Kongruenzgruppen, er verwendet rationale Matrizen statt ganzzahliger, und vor allem zeigt er die Bedeutung der Darstellungstheorie p-adischer Gruppen, die der eigentliche Hintergrund der Hecke-Operatoren ist: die Eigenwerte der Hecke-Operatoren parametrisieren die irreduziblen Darstellungen von SL(2,Q_p), die in dem Sinne unverzweigt sind, dass ihre Einschränkung auf die maximal-kompakte Untergruppe SL(2,Z_p) die triviale Darstellung enthält.
Mit diesem Ansatz ergab sich die naheliegende Verallgemeinerung, nämlich die Frage nach den irreduziblen Summanden der unitären Darstellung von G(A) auf L²(G(Q)\G(A)) für eine beliebige zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe G. Das wurde das Thema des Langlands-Programms.

Auch den heiligen Gral der Klassenkörpertheorie, das Artinsche Reziprozitätsgesetz, kann man in diesem Kontext in adelischer Sprache als Bijektion zwischen irreduziblen 1-dimensionalen Darstellungen einerseits und irreduziblen, zulässigen Teildarstellungen von GL(1,A) in L²(GL(1,Q)\GL(1,A)) andererseits formulieren. Der Beweis ergibt sich daraus, dass die Artinsche L-Reihe der 1-dimensionalen Galois-Darstellung mit der Hecke-L-Funktion des assoziierten Hecke-Charakters, der von Langlands als Darstellung von GL(1,A) interpretiert wird, übereinstimmt. Bei seinem Versuch, die Selbergsche Spurformel zu verallgemeinern, stieß Langlands auf die Notwendigkeit einer allgemeineren Definition von L-Funktionen für automorphe Darstellungen, also Darstellungen von GL(n,A).

Zu einer holomorphen Spitzenform hat man ihre Mellin-Transformierte . Hecke bewies, dass L(f,s) ganzrational ist und einer Funktionalgleichung für das Gewicht k der Spitzenform genügt. Umgekehrt ist jede Dirichlet-Reihe, die ganzrational ist und der Funktionalgleichung genügt, die L-Reihe einer holomorphen Spitzenform vom Gewicht k. Diese Theorie wurde von Maaß auf nicht-holomorphe Formen und von André Weil für gewisse Kongruenzuntergruppen von SL(2,Z) verallgemeinert.
Die L-Funktionen sollten motivisch sein, also den L-Funktionen eines Motivs entsprechen, was für Modulformen vom Gewicht 2 aus den Arbeiten von Eichler und Shimura zum Zusammenhang von Modulformen und elliptischen Kurven folgt, während Serre und Deligne Ende der 60er Jahre am allgemeinen Fall arbeiteten.