Theorema Magnum MCMLXX: die Jacquet-Langlands-Korrespondenz

Langlands automorphe L-Funktionen waren das analytische Gegenstück zu Artins nichtkommutativen L-Funktionen so wie Heckes L-Reihen das analytische Gegenstück zu Artins kommutativen L-Funktionen waren. Ein neuer Aspekt waren aber die dualen Darstellungen. Für diese benötigte er nicht die duale Gruppe, sondern das Langlands-Dual, dessen Wurzeln gerade die Kowurzeln der ursprünglichen Gruppe sind. (Zum Beispiel ist SO(n+1,C) Langlands-dual zu Sp(n,C).) Charakteristische Polynome halbeinfacher Konjugationsklassen im Langlands-Dual hatten analoge Eigenschaften zu gewissen in der Konstruktion der Artin-L-Funktion verwendeten charakteristischen Polynomen und wurden dementsprechend von Langlands zur Definition seiner automorphen L-Funktionen verwendet.

Die (vermutete) Verallgemeinerung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes wurde bei Langlands dann die Langlands-Funktorialität, eine Identität zwischen den beiden Typen von L-Funktionen: die von ihm definierte L-Funktion einer automorphen (d.h. in der Darstellung auf L²(Γ\G(R)) vorkommenden) Darstellung von G(R) sollte mit einer Artin-L-Funktion übereinstimmen. Weiterhin sollte natürliche algebraische Konstruktionen ihr analytisches Gegenstück haben. Zu einem Homomorphismus der Langlands-Duals von G und G’ soll man eine die L-Funktion erhaltende Abbildung zwischen automorphen Darstellungen haben. Auch Tensorprodukt, Induktion und Einschränkung sollen analytische Gegenstücke haben.

Wenn man das Artinsche Reziprozitätsgesetz als Bijektion zwischen irreduziblen 1-dimensionalen Darstellungen einerseits und irreduziblen, zulässigen Teildarstellungen von GL(1,A) in L²(GL(1,Q)\GL(1,A) andererseits interpretiert, stellt sich natürlich die Frage, ob das analog auch für GL(2) stimmt. Der Weg geht über die L-Funktion zu einer Darstellung von GL(2,A), als die man die L-Reihe einer Darstellung realisieren möchte. Diese Darstellung bekommt man als eine gewisse automorphe, also zu einer (nicht notwendig holomorphen) Spitzenform assoziierte, Darstellung. Die Irreduzibilität ist gleichbedeutend damit, dass die Spitzenform eine Eigenform ist. Für Darstellungen in GL(n,C) stellen sich die Dinge dann analog dar: man betrachtet dann gewisse cuspidale Darstellungen statt der Spitzenformen, setzt also die die Rang-r-Darstellungn der absoluten Galois-Gruppe mit den kuspidalen automorphen Darstellungen von GL(r,A) in Beziehung. Langlands Ansatz verallgemeinert damit die globale Klassenkörpertheorie, wenn man diese als Korrespondenz zwischen den Charakteren endlicher Ordnung der absoluten Galois-Gruppe einerseits und der Idelklassengruppe andererseits versteht, in einem nichtabelschen Kontext. Die allgemeine Funktorialität soll dann besagen: Homomorphismen zwischen L-Gruppen reduktiver Gruppen über F induzieren Relationen zwischen automorphen Darstellungen der ursprünglichen Gruppen. Das würde Artins Vermutung über die Holomorphie der L-Funktionen der Darstellungen von implizieren.

Langlands hatte diese Ideen erstmals 1967 in einem Brief an André Weil entwickelt. Mit Hervé Jacquet, einem Postdoktoranden am Institute for Advanced Study, bewies er 1970 sein Funktorialitätsprinzip zunächst für G=GL(2). Ihre Arbeit benutzte die Selbergsche Spurformel und verallgemeinerte die von John Tate zwanzig Jahre zuvor in seiner Dissertation für G=GL(1) entwickelten Lokal-Global-Methoden, die wiederum Heckes inzwischen mehr als fünfzig Jahre zurückliegende Arbeit verallgemeinert hatte. Obwohl die Selbergsche Spurformel schon schon seit mehr als zehn Jahren bekannt war, wurde ihre wahre Bedeutung erst durch diese Arbeit ersichtlich. Die Formel bildet ein Analogon zur Theorie der Charaktere der Darstellungen endlicher Gruppen und kann dazu verwendet werden, die Menge der automorphen Darstellungen zweier verschiedener Gruppen zu vergleichen.

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