Theorema Magnum MCMLXXIV: die Weil-Vermutungen

Die Riemannsche Vermutung ist eines der bekanntesten offenen Probleme der Mathematik. Sie besagt, dass die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der „kritischen Geraden“ Re(s)=1/2 liegen. Riemann selbst ebenso wie Hadamard und de La Vallée Poussin, die mit Hilfe der Zetafunktion den Primzahlsatz bewiesen, hatten einen rein analytischen Ansatz. In Retrospekt drückte die Vermutung jedoch wirklich zahlentheoretische Eigenschaften von Zahlkörpern aus. Das erkannte man aber erst durch die Analogie mit Funktionenkörpern, wo Weils Beweis der analogen Vermutung für die Zetafunktion von Kurven erkennen ließ, dass die Riemann-Vermutung eine wesentlich arithmetische, jedoch in Teilen algebrogeometrische Eigenschaft ist.

André Weil hatte 1940 das Analogon der Riemannschen Vermutung für Funktionenkörper von Kurven (statt des Körpers der rationalen Zahlen) bewiesen, danach aber noch sechs Jahre gebraucht, um die für den Beweis benötigten Grundlagen der algebraischen Geometrie zu sichern. Sein Buch Foundations of Algebraic Geometry erschien 1946. In seinem zwei Jahre später erschienenen Buch Variétés abéliennes et courbes algébriques ging er dann noch weit über das hinaus, was er für den Beweis benötigt hatte. Er konstruierte die Jacobi-Varietät und baute eine Theorie abelscher Varietäten über beliebigen Körpern analog zur analytischen Theorie über den komplexen Zahlen auf. Damit öffnete er die Tür für eine arithmetische Untersuchung abelscher Varietäten und in den nächsten zwanzig Jahren wurden fast alle wichtigen Resultate für elliptische Kurven auf abelsche Varietäten verallgemeinert. 
Sein spektakulärstes Resultat betraf den „durch Potenzieren mit p“ definierten Frobenius-Automorphismus auf einer abelschen Varietät über F_p. Der Endomorphismenring einer solchen Varietät kann mit dem Ganzheitsring eines Zahlkörpers identifizert werden, der Frobenius-Automorphismus also mit einer algebraischen Zahl. Weil bewies den überraschenden Satz, dass die Norm dieses Elements stets √p ist. Daraus folgt, dass die Nullstellen der Zetafunktion alle auf der kritischen Geraden liegen, also das Analogon der Riemannschen Vermutung für abelsche Varietäten (statt zuvor nur Kurven) über endlichen Körpern.

Analog zum Fall von Kurven definiert man die Zeta-Funktion einer Varietät über F_p durch , wobei N_m die Anzahl der Punkte über F_q, q=p^m, ist. Für den affinen Raum A^d ist und für den projektiven Raum P^d bekommt man . Später erzählte Weil, dass er in Chicago gelangweilt und depressiv gewesen sei und begonnen habe, die klassischen Arbeiten von Gauß über biquadratische Reste zu lesen. Eine dieser Arbeiten behandelt die Gleichung ax⁴-by⁴=1 in F_p mittels sogenannter Gauß-Summen. Im Prinzip war es dieselbe Methode, wie sie Gauß in den Disquisitiones Aritmeticae für den Exponenten 3 statt 4 verwendet hatte. Weil bemerkte, dass ähnliche Prinzipien für ax^m+byⁿ+cz^r=0 anwendbar sind und die Riemannsche Vermutung für diese Kurven implizieren und allgemeiner auch für projektive Varietäten mit Gleichungen der Form über F_p.

Für elliptische Kurven über F_p hatte Hasse bewiesen, dass es algebraische Zahlen a,b vom Betrag √p gibt, so dass Z(T)=(1-aT)(1-bT)/(1-T)(1-pT) ist. (Aus dieser Formel folgte unmittelbar, dass die Nullstellen von ζ(s) den Betrag 1/2 haben.) Er hatte bemerkt und auch im Beweis benutzt, dass der Nenner von Z(T) das charakteristische Polynom des Frobenius-Automorphismus ist. Trotzdem kam Weils Vermutung aus heiterem Himmel. In seiner Arbeit „Numbers of solutions of equations in finite fields“ (1949 im Bulletin of the American Mathematical Society) berechnete er zunächst in großer Ausführlichkeit die Anzahl der Lösungen für das sehr spezielle Beispiel a₀x₀ⁿ+a₁x₁ⁿ+…+a_rx_rⁿ=b, nur um dann zum Abschluß auf der letzten Seite zu formulieren, dass „dieses und andere hier nicht diskutierte Beispiele die nun folgende Vermutung unterstützen“ würden: die Funktion Z(T) ist von der Form  mit und für 1≤h≤2n-1, wobei die α_hi algebraische Zahlen vom Betrag p^h/2 sind. Letzteres ist das Analogon der Riemann-Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion, und auch die Rationalität der Zetafunktion und eine von Weil vermutete Funktionalgleichung wären direkte Verallgemeinerungen des von Weil bewiesenen Satzes für Kurven. Die überraschende Neuigkeit war Weils (vermutete) topologische Interpretation der Zahlen b_h: wenn die durch ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten definierte Varietät über C keine Singularitäten hat, soll b_h gerade ihre h-te Betti-Zahl, also die Dimension ihrer h-ten Homologiegruppe sein. (Diese Vermutung formulierte er allgemein für Varietäten über Zahlkörpern.)
Die Vermutung besagt also, dass man die Anzahl der Lösungen einer polynomiellen Gleichung modulo einer Primzahlpotenz p^m bestimmen kann, wenn man die algebraische Topologie der Lösungsmenge derselben Gleichung über den komplexen Zahlen kennt. Zum Beispiel ist es nicht einfach, die Anzahl der Lösungen von x³+y³+z³=0 modulo einer Primzahlpotenz zu berechnen. (Das ist ein Spezialfall des von Weil berechneten Beispiels und es ist natürlich auch ein Spezialfall der von Hasse untersuchten elliptischen Kurven.) Über den komplexen Zahlen ist diese Kurve in der komplex-projektiven Ebene CP² aber einfach ein Torus. Die Dimensionen der Homologiegruppen sind also b₀=1,b₁=2,b₂=1. Mit den Weil-Vermutungen bekommt man dann beispielsweise 9 Lösungen modulo 7, 63 Lösungen modulo 7², 324 Lösungen modulo 7³ und eine allgemeine Formel für die Lösungen modulo 7^m. Allgemein erhält man für ein homogenes Polynom vom Grad d in n+2 Variablen für die Anzahl N der Lösungen in F_p die Ungleichung , wobei die Betti-Zahl b_n nur von n und d, aber nicht vom konkreten Polynom abhängt.

Als weitere Evidenz für seine Vermutung, neben dem von ihm berechneten Beispiel, erwähnte Weil in seinem Artikel noch kurz die Graßmann-Varietät, also die Varietät der k-dimensionalen Unterräume des Cⁿ. Ein einfacher Spezialfall davon ist der projektive Raum: für diesen benutzt man seine Zerlegung in je eine Kopie der projektiven Räume niedrigerer Dimension.
Sei q=p^m die Potenz einer Primzahl. Die Anzahl der Punkte im projektiven Raum X=P^dF_q ist N_m(X)=1+pm+p²m+…+p^dm. Der Koeffizient von pⁱm ist 1, was gerade die Dimension der i-ten Homologie von P^dC ist. Das ist kein Zufall. Die Dimension der i-ten Homologie entspricht gerade der Anzahl der Zellen – nämlich 1 – die man an P^i-1C ankleben muss, um PⁱC zu bekommen. Und pⁱm ist die Anzahl der Punkte, die man zu P^i-1F_q hinzunehmen muss, um PⁱF_q zu bekommen. 
Dieses Argument funktioniert nicht nur für projektive Räume, sondern auch für Fahnenmannigfaltigkeiten um mit Hilfe der Zellenzerlegung den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Punkte und der Dimension der Homologiegruppen zu bekommen. Diese Art von Zerlegungen einer Varietät (über unterschiedlichen Körpern) war später dann die Idee hinter Grothendiecks Konzept der Motive.

Die Weil-Vermutungen wurden die größte offene Frage der algebraischen Geometrie. Dabei erläuterte Weil erst fünf Jahren nach seinem Artikel, auf seinem Vortrag beim ICM 1954 in Zürich, einige konzeptionelle Gründe, warum die Vermutung stimmen sollte und wie man an sie herangehen könnte. Die zugrundeliegende Idee ist, dass F_p die Fixpunktmenge des Frobenius-Automorphismus Frob_p im algebraischen Abschluß von F_p ist und man also N_m, die Anzahl der Lösungen in F_q für q=p^m als Anzahl der Fixpunkte von (Frob_p)^m berechnen kann. In der Topologie kennt man Lefschetzs Fixpunkt-Formel, mit der man unter geeigneten Voraussetzungen die Anzahl der Fixpunkte einer Abbildung f als Wechselsumme über die Spuren der von f auf den Kohomologiegruppen (mit rationalen Koeffizienten) definierten linearen Abbildungen berechnen kann. Diese Formel erkennt man in der von Weil für Kurven bewiesenen Formel wieder. Man bräuchte also eine Kohomologietheorie, auf der die Spuren von (Frob_p)^m gerade die gewünschten Werte geben. Weil selbst arbeitete aber nie ernsthaft daran, eine solche Kohomologietheorie zu konstruieren.

Bei der Suche nach einer passenden Kohomologietheorie stieß Alexander Grothendieck auf die etale Kohomologie, deren Grundlagen er dann mit Michael Artin entwickelte. Nachdem Bernard Dwork schon 1959 mit elementareren p-adischen Methoden die erste der Weil-Vermutungen, die Rationalität der Zetafunktion, bewiesen hatte, bewies Grothendieck mit etaler Kohomologie die Funktionalgleichung der Zetafunktion und den Zusammenhang mit den Betti-Zahlen der zugehörigen Varietät über C, und auch noch einmal die Rationalität der Zetafunktion. Für das Analogon der Riemann-Vermutung, also dass die Nullstellen von P_k(q^-s) auf der Geraden mit Realteil k/2 liegen, konnte er zeigen, dass es aus den „Standardvermutungen“ folgen würde. Diese Vermutungen besagen, dass man auf der Gruppe algebraischer Zykel modulo homologischer Äquivalenz (in einer gegebenen Varietät) Poincaré-Dualität, den schweren Lefschetz-Satz und die Hodge-Riemann-Relationen hat. Diese Eigenschaften waren für Kähler-Mannigfaltigkeiten bekannt und sie sollten nach Grothendiecks Vermutung auch für projektive Varietäten über endlichen Körpern gelten. Diese Standard-Vermutungen würden aus der Hodge-Vermutung folgen und Grothendieck postulierte diesen Ansatz als den richtigen Weg zum Beweis der Weil-Vermutungen. Bewiesen waren die Standardvermutungen freilich nur in wenigen Fällen, etwa für abelsche Varietäten in Charakteristik 0.

Die ursprünglich für Kähler-Mannigfaltigkeiten (insbesondere also für komplexe projektive Varietäten ohne Singularitäten) entwickelte Hodge-Theorie harmonischer Formen ließ sich auf komplexe projektive Varietäten mit Singularitäten übertragen, was wesentlich Hironakas Auflösung der Singularitäten verwendete. Allerdings waren die Ergebnisse etwas schwächer. Statt der reinen Hodge-Struktur, wo man eine Zerlegung der Kohomologie H*(M,C) als direkte Summe der H^p,q (mit der Zusatzbedingung, dass H^q,p das komplex konjugierte zu H^p,q ist) hat, hat man im Fall von Varietäten mit Singularitäten jetzt als schwächere Struktur nur noch zwei Filtrierungen des Z-Moduls H*(M,Z): die Gewichtsfiltrierung (eine aufsteigende Filtrierung auf dem Tensorprodukt mit Q) und die Hodge-Filtrierung (eine absteigende Filtrierung auf dem Tensorprodukt mit C). Ein solches Datum, das noch eine Kompatibilitätsbedingung und die Verträglichkeit mit komplexer Konjugation erfüllt, bezeichnete Deligne als gemischte Hodge-Struktur.
Bei seinem Vortrag auf dem ICM 1970 in Nizza stellte Deligne dieses Konzept vor, als Quellen nannte er eine frühere Arbeit Serres sowie Grothendiecks vermutete Theorie der Motive. Als Ziel nannte er ein Wörterbuch zwischen l-adischer Kohomologie und der Theorie der harmonischen Differentialformen in der komplexen Kategorie. Die gemischten Hodge-Strukturen sollten über C das Analog zu den in der l-adischen Kohomologie vorkommenden Moduln über Galois-Gruppen von Körpererweiterungen sein.

Aus Delignes Vermutung würde folgen, dass die l-adische Kohomologie Hⁱ(X,Z_l) einer glatten projektiven Varietät als Modul über der absoluten Galois-Gruppe eine reine Hodge-Struktur vom Gewicht i haben sollte. Aufgrund gewisser Analogien erwartete Deligne, dass man für beliebige Schemata endlichen Typs über C eine gemischte Hodge-Struktur haben sollte. Das bewies er zunächst für glatte Schemata. Die Konstruktion war algebraisch, aber er benötigte die klassische Theorie harmonischer Formen auf komplexen Mannigfaltigkeiten um zu beweisen, dass sie funktioniert. Die Hauptidee war, die Varietät so in eine vollständige Varietät einzubetten, dass das Komplement ein Divisor mit Normalkreuzungen ist. Die Gewichtsfiltrierung ergab sich dann aus der Spektralsequenz. Die andere Filtrierung erhält man aus einer Filtrierung der logarithmischen Differentialformen. Als Anwendung erhielt er beispielsweise, dass für eine glatte projektive Abbildung f:X—>Y das Bild von H*(X,Q) in H*(f^-1(y),Q) gerade der monodromie-invariante Unterraum ist.

Weil veröffentlichte 1974 einen Artikel in L’Enseignement Mathématique, in dem er darstellte, was seiner Meinung nach analytische Zahlentheorie als Analysis klassifiziere – genauer als Analysis angewandt auf eine spezielle Art von Problemen, wo arithmetische Begriffe wie “Primzahl” häufig vorkommen: es handele sich bei der analytischen Zahlentheorie hauptsächlich um Ungleichungen und asymptotischen Auswertungen. Als Beispiel nannte er die Ramanujan-Vermutung über die Diskriminante aus der Theorie der Modulfunktionen. Man kann die Diskriminante in eine Potenzreihe entwickeln und mit denselben Koeffizienten die Dirichlet-Reihe Σa_nn^-s betrachten. Diese Reihe hatte Ramanujan (bewiesen von Mordell) als ein gewisses Euler-Produkt über Primzahlen p zerlegt und dann vermutet, dass für jedes p die Nullstellen des im Produkt vorkommenden quadratischen Polynoms P_p den Betrag p^11/2 haben. Das ist auf offensichtliche Weise äquivalent zu einer Ungleichung für die Koeffizienten. “We seem to have drifted into one of the back-waters of mathematics” hatte Hardy damals kommentiert. Für Weil war das nun ausdrücklich nur eine weitere Ungleichung und er fand es kurios, dass sich jemand dafür interessieren könnte.

Die Weil-Vermutungen wurden 1974 von Deligne bewiesen. Er benutzte aber statt der Standardvermutungen explizitere Methoden der Zahlentheorie (Modulformen), mit denen sich Grothendieck nicht im Geringsten auskannte. (Er benutzte die Weil-Vermutungen später aber, um immerhin eine der Standardvermutungen daraus herzuleiten, nämlich die Zerlegbarkeit der Kohomologie.) Grothendieck beschwerte sich später bitter darüber, dass seine Arbeit von seinen Schülern nicht fortgesetzt worden sei und diese die Schwierigkeiten einfach “umgangen” hätten.
Delignes Arbeit benutzte durchaus die Methoden aus Grothendiecks Eléments de Géométrie Algébrique, aber noch eine Reihe weiterer Ingredienzien, darunter einen von Kazhdan und Margulis bewiesenen Satz über die Monodromiegruppen von Lefschetz-Büscheln, eine Methode Rankins für Abschätzungen von Ramanujans Tau-Funktion, Arbeiten Grothendiecks über gewisse L-Funktionen, die klassische Invariantentheorie der symplektischen Gruppen, Spektralsequenzen und einen Trick, der mit Tensorpotenzen Abschätzungen beweist.

Aus dem Beweis erhielt Deligne auch die von Ramanujan vermutete Ungleichung für die Tau-Funktion, also ebenjenes Problem, das Weil ein Jahr zuvor als völlig uninteressant bewertet hatte. (Weil konnte noch rechtzeitig vor Drucklegung eine Fußnote in seinem Text unterbringen.) Tatsächlich bewies Deligne, dass für jede holomorphe Spitzenform vom Gewicht k für eine Kongruenzuntergruppe von Γ(N) – Ramanujans Vermutung betraf den Fall N=1 – die Koeffizienten in einer beliebigen Spitze von der Ordnung für alle ε>0 sind. Für N=2 gibt das eine sehr genaue Approximation für die Anzahl r_n der Darstellungen von n als Summe von k Quadraten, den Koeffizienten der Thetareihe in einer Spitze von Γ(2). Deligne selbst meinte, dass ein Beweis dieser scheinbar elementaren Ungleichung, aufgeschrieben für einen Nicht-Experten in algebraischer Geometrie, zweitausend Seiten lang wäre.

Deligne fand für die Weil-Vermutungen später noch einen anderen Beweis – mit dem er auch eine der Standardvermutungen bewies – mit Methoden ähnlich denen in den klassischen Beweisen des Primzahlsatzes. Ein elementarer Beweis, wie ihn der Moskauer Zahlentheoretiker Stepanov in einigen Spezialfällen von Kurven gefunden hatte, wurde für die Weil-Vermutungen aber nicht gefunden.

Bild: https://www.simonsfoundation.org/event/celebrating-the-mathematics-of-pierre-deligne-october-5-2013/