Arithmetische Gruppen sind grob gesagt Untergruppen einer Lie-Gruppe G(R), die (modulo kompakter Gruppen) zu G(Z) kommensurabel sind. Im reell- oder komplex-hyperbolischen Raum gibt es viele nicht-arithmetische Gitter. Dagegen vermuteten Selberg und Piatetski-Shapiro, dass Gitter in nichtkompakten symmetrischen Räumen von höherem Rang (also Rang größer 1) stets arithmetisch sind. Sie hatten einen Ansatz vorgeschlagen, um die Arithmetizität zu beweisen; dieser Ansatz nutzte die unipotenten Elemente in nicht-kokompakten Gittern und eine Nichtdivergenzeigenschaft für Wirkungen unipotenter Gruppen auf dem Raum aller Gitter.
Mit diesem Ansatz bewies Margulis dann den Superstarrheitssatz, der den Starrheitssatz von Mostow-Prasad wesentlich verbesserte: sei G(R) eine Lie-Gruppe vom Rang > 1, Γ ein Gitter in G(R), H(R) eine weitere Lie-Gruppe und ρ:Γ—>H(K) – mit K=R, C oder Qp – ein Homomorphismus mit Zariski-dichtem Bild, dann kommt ρ entweder von einem stetigen Homomorphismus G—>H oder hat beschränktes Bild. (Die Möglichkeit beschränkter Bilder kann man hier nicht ausschließen: Selberg hatte bewiesen, dass die Gitter residuell endlich sind, also notwendigerweise viele Homomorphismen auf endliche Gruppen haben.) Der Superstarrheitssatz verbessert den Mostowschen Starrheitssatz, indem er nicht nur eine Aussage über Abbildungen eines Gitters
Mit dem Superstarrheitssatz konnte Margulis dann die vermutete Arithmetizität von Gittern in symmetrischen Räumen G/K vom Rang > 1 beweisen. Dafür benötigte er den Superstarrheitssatz nicht nur für die Gitter selbst (in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang größer 1), sondern auch noch für Gitter in p-adischen Lie-Gruppen. Tatsächlich war die Arithmetizität in Margulis‘ Arbeiten das Hauptresultat und der Superstarrheitssatz nur ein Hilfsmittel zum Beweis. (In einer anderen Richtung fand er auch noch eine von Piatetski-Shapiro und Shafarewitsch vermutete Charakterisierung arithmetischer Gruppen durch die Dichtheit des Kommensurators in der umgebenden Gruppe.)
Der Beweis des Superstarrheitssatzes war vor allem eine Arbeit in Ergodentheorie und benutzte die von Kazhdan eingeführte Eigenschaft T (jede fast-triviale Darstellung ist trivial) für Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang größer 1
Unter dem Einfluß von Furstenbergs sehr ähnlichen Arbeiten über Ergodentheorie im Unendlichen konnte er für diese Gitter dann auch noch einen bemerkenswerten Satz über Normalteiler beweisen: Normalteiler in diesen Gittern sind entweder endlich oder haben endlichen Index. Auch hier benutzte der Beweis Eigenschaft T: er konnte zeigen, dass für einen unendlichen Normalteiler N der Quotient Γ/N mittelbar sein muss, was aber wegen Eigenschaft T nur für endliche Quotienten möglich ist.
Eine andere Anwendung der Eigenschaft T war die Konstruktion von Expandergraphen. Hier geht es darum, Familien von Graphen (mit gegen Unendlich divergierender Knotenzahl) zu finden, deren Expansionskonstante oberhalb einer positiven Konstanten bleibt. Anschaulich bedeutet eine kleine Expansionskonstante, dass man den Graphen durch Entfernen einer relativ kleinen Zahl von Kanten in zwei nicht miteinander zusammenhängende Komponenten annähernd gleicher Größe zerlegen kann.
Zwar sind aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht fast alle Graphen Expander, aber Margulis war der erste, dem eine explizite Konstruktion von Expandergraphen gelang. Damit hatte er zum ersten Mal eine Forschungsarbeit, die er in Bezug zu seinem Arbeitgeber, dem Institut für Informationsübertragung, setzen konnte.
Bild: http://math4school.ru/medal_fildsa
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