Man untersucht Gruppen gerne durch ihre Wirkungen auf mathematischen Objekten, insbesondere durch ihre linearen Darstellungen, d.h., ihre Homomorphismen nach GL(n,C) oder in andere lineare Gruppen.
Die endlich-dimensionalen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen wurden 1913 von Élie Cartan klassifiziert, es gibt von ihnen nur abzählbar viele. Beispielsweise hat SL(2,C) für jedes n eine, bis auf Konjugation in GL(n,C) eindeutige, irreduzible n-dimensionale Darstellung.
Die Frage nach der Deformierbarkeit der Darstellungen diskreter Gruppen wurde erst seit Ende der 50er Jahre untersucht. Für eine endlich präsentierte Gruppe Γ und eine algebraische Gruppe G bilden die Darstellungen Hom(Γ,G) eine algebraische Menge. Der Quotient nach der G-Wirkung durch Konjugation – wo also äquivalente Darstellungen identifiziert werden – ist keine algebraische Varietät, man kann aber die sogenannte Charaktervarietät bilden, wo Darstellungen identifiziert werden, wenn sie dieselben Charaktere haben. (Dies paßt in die allgemeine Konstruktion von Modulräumen in der bald danach von David Mumford entwickelten geometrischen Invariantentheorie. Die „meisten“ Charaktere entsprechen nur einer Äquivalenzklasse von Darstellungen.)
André Weil hatte in zwei 1960 in den Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeiten „On discrete subgroups of Lie groups. I, II“ die in den 40er Jahren entwickelten Methoden der algebraischen Geometrie benutzt, um den Tangentialraum (im Sinne Zariskis) der Charaktervarietät im Charakter einer Darstellung ρ zu bestimmen: er läßt sich (falls G halbeinfach ist) beschreiben als Gruppenkohomologie H1(Γ,Ad.ρ). (Der Tangentialraum an Hom(Γ,G) entspricht den Kozykeln und der Tangentialraum an den G-Orbit der Konjugation den Korändern.) Wenn diese Gruppenkohomologie verschwindet, ist der Tangentialraum trivial, der Charakter also ein isolierter Punkt in der Charaktervarietät. Man hat dann also lokale Starrheit der Darstellung, d.h. die Darstellung läßt sich (außer durch Konjugation in G) nicht stetig deformieren.
Diese lokale Starrheit hatte Selberg dann für kokompakte Gitter in SL(n,R) und Calabi für kokompakte Gitter in der Isometriegruppe des hyperbolischen Raumes bewiesen, in beiden Fällen mit der Ausnahme von SL(2,R) bzw. Isom(H2), für die die Teichmüller-Theorie oder auch bereits die Arbeiten Frickes aus den 1890er Jahren die Deformationen diskreter Darstellungen beschrieben.
Danach hatte man begonnen, neben diesen lokalen Starrheitseigenschaften auch nach globaler Starrheit zu fragen: sind die nicht-deformierbaren Gitter auch global starr in dem Sinne, dass es bis auf die Konjugierten keine weiteren isomorphen Gitter in der umgebenden Gruppe gibt?
Für kokompakte Gitter (zunächst im hyperbolischen Raum und dann auch in symmetrischen Räumen nichtkompakten Typs mit Ausnahme der hyperbolischen Ebene) hatte Mostow diese globale Starrheit bewiesen mit einem Beweis, der die Ergodentheorie auf dem Rand im Unendlichen des symmetrischen Raumes benutzte: zwei isomorphe Gitter entsprechen homöoomorphen Quotienten-Mannigfaltigkeiten, die wegen der Kompaktheit quasi-isometrisch sein müssen. Die Quasi-Isometrie läßt sich zu einer Quasi-Isometrie des symmetrischen Raumes heben und induziert eine quasi-konforme Abbildung des Randes im Unendlichen. Diese quasi-konforme Abbildung ist äquivariant bezüglich der Wirkung des Gitters. Man kann aber zeigen, dass die Wirkung des Gitters auf dem Rand im Unendlichen ergodisch (sogar auf den Paaren unterschiedlicher Punkte) ist und daraus herleiten, dass die quasi-konforme Abbildung konform sein muß. (Außer im Fall der hyperbolischen Ebene, wo es auf dem 1-dimensionalen Rand keinen sinnvollen Begriff von konformer Abbildung gibt.) Wenn die Abbildung auf dem Rand konform ist, dann ist sie aber im Inneren eine Isometrie und die beiden Gitter sind vermittels der Isometrie zueinander konjugiert.
Gopal Prasad, ein Student Raghunathans am Tata Institute hatte diesen Starrheitssatz dann für beliebige Gitter, wo also die Quotientenmannigfaltigkeit endliches Volumen hat, aber nicht kompakt sein muß, verallgemeinert. Anders als Mostows geometrischer Beweis war dieser Beweis eine algebraische Tour de Force, die Vieles aus der Theorie der Lie-Gruppen benutzte. (Im Spezialfall von Gittern im hyperbolischen Raum gab Gromov später einen topologischen Beweis mit Hilfe des simplizialen Volumens.)
Grigori Margulis galt damals als das größte Talent der Moskauer Mathematik, seit seiner Promotion (bei Sinai über ein Thema der Ergodentheorie) arbeitete er aber am Institut für Informationsübertragung. Eigentlich aus der Theorie dynamischer Systeme kommend, beschäftigte er sich dort mit diskreten Untergruppen von Lie-Gruppen. Noch als Student hatte er mit seinem Kommilitonen Dimitri Kazhdan eine Vermutung Selbergs bewiesen, dass nicht-kokompakte Gitter stets unipotente Elemente haben müssen. Sie bewiesen dabei auch ein elementares, aber sehr nützliches (und im Fall von Matrizengruppen bereits als „Lemma von Zassenhaus“ bekanntes) Lemma über die dünnen Enden der Quotientenmannigfaltigkeit, nämlich dass die zugehörige Untergruppe des Gitters fast-nilpotent sein muß.
Arithmetische Gruppen sind grob gesagt Untergruppen einer Lie-Gruppe G(R), die (modulo kompakter Gruppen) zu G(Z) kommensurabel sind. Im reell- oder komplex-hyperbolischen Raum gibt es viele nicht-arithmetische Gitter. Dagegen vermuteten Selberg und Piatetski-Shapiro, dass Gitter in nichtkompakten symmetrischen Räumen von höherem Rang (also Rang größer 1) stets arithmetisch sind. Sie hatten einen Ansatz vorgeschlagen, um die Arithmetizität zu beweisen; dieser Ansatz nutzte die unipotenten Elemente in nicht-kokompakten Gittern und eine Nichtdivergenzeigenschaft für Wirkungen unipotenter Gruppen auf dem Raum aller Gitter.
Mit diesem Ansatz bewies Margulis dann den Superstarrheitssatz, der den Starrheitssatz von Mostow-Prasad wesentlich verbesserte: sei G(R) eine Lie-Gruppe vom Rang > 1, Γ ein Gitter in G(R), H(R) eine weitere Lie-Gruppe und ρ:Γ—>H(K) – mit K=R, C oder Qp – ein Homomorphismus mit Zariski-dichtem Bild, dann kommt ρ entweder von einem stetigen Homomorphismus G—>H oder hat beschränktes Bild. (Die Möglichkeit beschränkter Bilder kann man hier nicht ausschließen: Selberg hatte bewiesen, dass die Gitter residuell endlich sind, also notwendigerweise viele Homomorphismen auf endliche Gruppen haben.) Der Superstarrheitssatz verbessert den Mostowschen Starrheitssatz, indem er nicht nur eine Aussage über Abbildungen eines Gitters
Mit dem Superstarrheitssatz konnte Margulis dann die vermutete Arithmetizität von Gittern in symmetrischen Räumen G/K vom Rang > 1 beweisen. Dafür benötigte er den Superstarrheitssatz nicht nur für die Gitter selbst (in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang größer 1), sondern auch noch für Gitter in p-adischen Lie-Gruppen. Tatsächlich war die Arithmetizität in Margulis‘ Arbeiten das Hauptresultat und der Superstarrheitssatz nur ein Hilfsmittel zum Beweis. (In einer anderen Richtung fand er auch noch eine von Piatetski-Shapiro und Shafarewitsch vermutete Charakterisierung arithmetischer Gruppen durch die Dichtheit des Kommensurators in der umgebenden Gruppe.)
Der Beweis des Superstarrheitssatzes war vor allem eine Arbeit in Ergodentheorie und benutzte die von Kazhdan eingeführte Eigenschaft T (jede fast-triviale Darstellung ist trivial) für Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang größer 1
Unter dem Einfluß von Furstenbergs sehr ähnlichen Arbeiten über Ergodentheorie im Unendlichen konnte er für diese Gitter dann auch noch einen bemerkenswerten Satz über Normalteiler beweisen: Normalteiler in diesen Gittern sind entweder endlich oder haben endlichen Index. Auch hier benutzte der Beweis Eigenschaft T: er konnte zeigen, dass für einen unendlichen Normalteiler N der Quotient Γ/N mittelbar sein muss, was aber wegen Eigenschaft T nur für endliche Quotienten möglich ist.
Eine andere Anwendung der Eigenschaft T war die Konstruktion von Expandergraphen. Hier geht es darum, Familien von Graphen (mit gegen Unendlich divergierender Knotenzahl) zu finden, deren Expansionskonstante oberhalb einer positiven Konstanten bleibt. Anschaulich bedeutet eine kleine Expansionskonstante, dass man den Graphen durch Entfernen einer relativ kleinen Zahl von Kanten in zwei nicht miteinander zusammenhängende Komponenten annähernd gleicher Größe zerlegen kann.
Zwar sind aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht fast alle Graphen Expander, aber Margulis war der erste, dem eine explizite Konstruktion von Expandergraphen gelang. Damit hatte er zum ersten Mal eine Forschungsarbeit, die er in Bezug zu seinem Arbeitgeber, dem Institut für Informationsübertragung, setzen konnte.
Bild: http://math4school.ru/medal_fildsa
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