Seit Weierstraß weiß man, dass sich jede stetige Abbildung durch Polynome und damit durch differenzierbare Abbildungen beliebig gut annähern läßt. Das überträgt sich auch auf Mannigfaltigkeiten, wo man stetige Abbildungen mittels beliebig kleiner Homotopien in differenzierbare deformieren kann. Das legt eigentlich nahe, dass Topologie von Mannigfaltigkeiten in der differenzierbaren Kategorie nicht anders sein sollte als in der stetigen.
Veblen und Whitehead hatten in ihrem 1933 erschienenen Lehrbuch der Differentialgeometrie erstmals Mannigfaltigkeiten durch Kartenwechsel und Atlanten definiert. Hassler Whitney hatte dann in den 30er Jahren die Grundlagen der Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten entwickelt, zum Beispiel hatte er seinen Einbettungssatz bewiesen und technische Hilfsmittel wie die Existenz von Tubenumgebungen oder von Zerlegungen der Eins. Er bewies, dass eine Ck-Mannigfaltigkeit mit k>0 auch auf eindeutige Weise eine C∞-Mannigfaltigkeit ist.
Es war deshalb eine große Überraschung, als John Milnor 1956 die Existenz exotischer 7-Sphären ankündigte, also unterschiedlicher C∞-Strukturen auf der topologischen 7-Sphäre. (Er bekam dafür 1962 die Fields-Medaille.) Milnor hatte sich eigentlich mit (n-1)-zusammenhängenden 2n-Mannigfaltigkeiten befaßt. In Dimension 8 gibt es viele D4-Bündel über S4, deren Rand oft eine Homotopiesphäre ist. Wenn der Rand eine Sphäre ist, kann man zwei solche Mannigfaltigkeiten verkleben und bekommt eine geschlossene 8-Mannigfaltigkeit. Aber die sich dabei ergebenden Pontrjagin-Klassen widersprachen den Ergebnissen von Thom und Hirzebruch. Also sollte der Rand wohl keine Sphäre sein, sondern nur eine Homotopiesphäre. Doch mit Morse-Theorie gelang Milnor dann ein einfacher Beweis, dass er doch eine Sphäre ist: er bewies, dass es eine Funktion mit zwei kritischen Punkten gibt und daraus folgt leicht die Homöomorphie zur Sphäre. Der Punkt mußte also sein, dass die charakteristischen Klassen von der differenzierbaren Struktur abhängen und der Rand des D4-Bündels nur homöomorph, aber nicht diffeomorph zur 7-Sphäre ist.
Aus Smales Beweis des h-Kobordismus-Satzes folgt, dass in Dimension ≥ 5 h-kobordante Mannigfaltigkeiten durch Chirurgien auseinander hervorgehen. Mit solchen Chirurgien klassifizierten Kervaire und Milnor 1963 die exotischen Sphären in allen Dimensionen ≥ 5 und konnten auch allgemeiner hoch-zusammenhängende Mannigfaltigkeiten untersuchen. Die Chirurgie-Theorie wurde dann von verschiedenen Autoren weiterentwickelt und beispielsweise von Novikov zum Beweis der topologischen Invarianz der Pontrjagin-Klassen verwendet, wofür er 1970 die Fields-Medaille erhielt.
In Dimension 3 hatte Edwin Moise schon 1952 bewiesen, dass jede Mannigfaltigkeit eine eindeutige Differentialstruktur hat, und in Dimension 2 wurde das 1955 von Munkres bewiesen, es folgt aber auch aus Morse-Theorie. (Ähnlich, aber einfacher, wie in Smales Beweis der höherdimensionalen Poincaré-Vermutung.)
In Dimension 4 hingegen stößt die Chirurgie-Theorie auf ein Hindernis, weil sich der in Smales Beweis des h-Kobordismus-Satzes verwendete Whitney-Trick dort nicht anwenden läßt, d.h. 2-dimensionale Kreisscheiben lassen sich in einfach zusammenhängenden 4-Mannigfaltigkeiten nicht immer so einbetten, dass die algebraischen Schnittzahlen realisiert werden.
Michael Freedman veröffentlichte 1982 eine topologische Klassifikation einfach zusammenhängender, geschlossener 4-Mannigfaltigkeiten: sie werden klassifiziert durch ihre Schnittform sowie die Kirby-Siebenmann-Invariante, die 0 oder 1 ist, je nachdem ob die Mannigfaltigkeit eine stückweise lineare Struktur besitzt oder nicht. Insbesondere erhielt er damit die 4-dimensionale Poincaré-Vermutung: jede einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit der Homologie der Sphäre ist homöomorph zur S4. Neben Homöomorphismen zwischen Mannigfaltigkeiten, deren Homöomorphie bisher nicht bekannt gewesen war, bekam er mit seinem Resultat auch Konstruktionen bisher unbekannter Mannigfaltigkeiten. Zum Beispiel folgte aus seiner Arbeit, dass es eine einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeit mit der Schnittform E8 gibt: durch „Klempnern“ von acht Kopien des zu T*S2 assoziierten Kreisscheibenbündels über S2 entlang des Graphen E8 erhält man zunächst eine Mannigfaltigkeit, deren Rand eine Poincaré-Homologiesphäre ist, und er konnte beweisen, dass man dort einen Homologieball einkleben kann, so dass man eine geschlossene Mannigfaltigkeit mit Schnittform E8 erhält.
Technisch war das Hauptresultat, dass er in der topologischen (statt differenzierbaren) Kategorie den 4-dimensionalen h-Kobordismussatz bewies. Während in der differenzierbaren Kategorie der Whitney-Trick für 4-Mannigfaltigkeiten nicht funktioniert, konnte er in der topologischen Kategorie dieses Problem auflösen. Gegeben zwei immersierte 2-dimensionale Kreisscheiben, die sich nicht so einbetten lassen, dass ihre algebraischen Schnittzahlen realisiert werden, betrachtet man die von ihren transversalen Doppelpunkten gebildete Kurve. Falls diese Kurve eine eingebettete Kreisscheibe berandet, kann das Problem eliminiert werden. “Pushing the problem away” führt dann zu einem Turm immersierter Kreisscheiben. Dieser Prozeß mit aufgedickten Kreisscheiben gibt sogenannte Casson-Henkel. Freedman bewies überraschend, dass die Casson-Henkel Standardhenkel sein müssen. Das ist falsch in der differenzierbaren Kategorie und man sieht das auch gut im Beweis. Freedmans Beweis gab also nur eine topologische Klassifikation und für die Klassifikation der Differentialstrukturen auf einer topologischen 4-Mannigfaltigkeit hatte man weiterhin keinen Ansatz.
Neue Methoden zum Verständnis von Differentialstrukturen kamen dann überraschend aus der mathematischen Physik.
1954 hatten Yang und Mills eine Verallgemeinerung der seit Maxwell bekannten einheitlichen Theorie des Elektromagnetismus vorgeschlagen, mit der die starke und schwache Wechselwirkung beschrieben werden sollte. Während man, etwa in der Quantenelektrodynamik, bisher kommutative Eichgruppen verwendet hatte, ging es nun um nichtkommutative Eichgruppen wie SU(n).
Die physikalischen Theorien verwendeten Prinzipalbündel, deren mathematische Theorie erst entwickelt wurde. Man verglich den Status der Theorie mit dem in den Frühzeiten der Infinitesimalrechnung, als korrekte und verwendbare Ergebnisse erhalten wurden bevor es überhaupt rigorose Definitionen gab. Yang und Mills benutzten die Krümmungsform F eines Prinzipalbündels, um das Wirkungsfunktional als
Für SU(2)-Bündel über einer 4-Mannigfaltigkeit kann man den Raum der 2-Formen in die +1- und -1-Eigenräume des *-Operators zerlegen und hat dann eine Zerlegung der Instantonen in selbstduale und anti-selbstduale Instantonen. Wegen der Bianchi-Identität dF=0 folgt aus F=*F oder F=-*F bereits die Gleichung d*F=0. Man kann also die selbstdualen bzw. anti-selbstdualen Instantonen betrachten und hat statt einer Gleichung zweiter Ordnung jetzt Gleichungen erster Ordnung. Ihre Lösungen sind absolute Minima (statt nur kritische Punkte) des Funktionals.
SO(2)-Bündel über M werden durch H2(M;R) klassifiziert, also durch harmonische 2-Formen, die den Eichklassen von Zusammenhängen mit harmonischer Krümmungsform entsprechen. Ähnlich werden SU(2)-Bündel über einer 4-Mannigfaltigkeit wegen π3SU(2)=Z durch die zweite Chern-Klasse c2 in H2(M;R) klassifiziert. Zu jedem solchen SU(2)-Bündel will man dann den Modulraum der Lösungen der Yang-Mills-Gleichung bestimmen.
Mathematiker unterstützten die Physiker bei der Suche nach Lösungen dieser Gleichung. Atiyah, Singer und Hitchin konnten die Dimension des Lösungsraums von F=*F durch eine einfache Anwendung des Indexsatzes bestimmen (in Abhängigkeit von der Chern-Klasse des Bündels und den Betti-Zahlen der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit), was gleichzeitig auch Albert Schwarz in Moskau gelungen war und zur Popularisierung des Atiyah-Singer-Indexsatzes unter mathematischen Physikern beitrug.
Die Berufung des Physikers Roger Penrose nach Oxford, den Atiyah noch aus seiner Studentenzeit als algebraischer Geometer in Cambridge kannte, ermöglichte lange Diskussion über Twistortheorie, die für Atiyah einfache Mathematik war – im Wesentlichdn Felix Kleins Theorie der Geraden im P3, mit der er sich als Student beschäftigt hatte – für die Physiker aber mysteriös. Mit Penroses Studenten Richard Ward nutzte Atiyah die Twistortheorie, um Lösungen der Instantonengleichung zu konstruieren: ein selbstdualer Zusammenhang auf S4 hebt sich zu einem algebraischen Bündel über CP3 mit einer reellen Struktur. Kaum waren sie mit der Arbeit fertig, erhielten sie schon Preprints von Physikern, die mit anderen Methoden dieselben Lösungen entdeckt hatten. Atiyah bezeichnete das später als erste Erfahrung des anderen Tempos, mit dem sich in der theoretischen Physik neue Ideen verbreiteten und die Produktion von Preprints in großem Stil stimulierten.
Mit der Twistorkonstruktion war die Suche nach Lösungen freilich nicht beendet, sondern nur auf ein Problem der algebraischen Geometrie zurückgeführt, nämlich die Konstruktion bestimmter Vektorbündel über CP3. Für die gab es jedoch schon Methoden und Atiyah und Hitchin gelang es damit, die Lösungen explizit zu beschreiben. Unmittelbar, nachdem sie fertig waren, erhielten sie einen Brief von Manin, der mit Drinfeld im wesentlichen dieselbe Beschreibung der selbstdualen Instantonen auf S4 gefunden hatte. Die vier veröffentlichten diese Ergebnisse 1978 als gemeinsame Arbeit „Construction of Instantons“ in den Physical Letters A. Der Lösungsraum ist eine 5-dimensionale Kugel B5, ihr (nicht zum Modulraum gehörender) „Rand“ S4 entspricht Familien von Instantonen, die sich mehr und mehr in einem Punkt konzentrierten.
Spezielle Instantonen auf dem R4 waren zuvor von den Moskauer Physikern Belavin, Polyakov, Schwarz und Tyupkin gefunden wurden. Polyakov bezeichnete die ADHM-Klassifikation der Instantonen auf der S4 später als das erste Mal, das abstrakte moderne Mathematik von irgendeinem Nutzen gewesen wäre.
Nachdem man die Instantonen auf der S4 parametrisiert hatte, lag es nahe, andere 4-Mannigfaltigkeiten zu betrachten. Anders als etwa bei den harmonischen i-Formen auf einer Mannigfaltigkeit M, deren Parameterraum ja ebenfalls eine topologische Invariante ist, als linearer Vektorraum aber die Dimension als einzige Invariante hat (die die Betti-Zahl bi(M) gibt), hat man für die Instantonen auf einer Mannigfaltigkeit M einen nichtlinearen Lösungsraum und es stellt sich heraus, dass der Lösungsraum seinerseits eine topologisch interessante Mannigfaltigkeit ist. Arbeiten von Taubes und Uhlenbeck bewiesen zunächst die Existenz, Regularität und Konvergenzsätze für Instantonen auf Mannigfaltigkeiten. So konnte man Instantonen nun als geometrisches Werkzeug zum Studium von 4-Mannigfaltigkeiten benutzen und das ist, was Donaldson, ein Student Atiyahs im zweiten Jahr seiner Graduiertenstudien dann in einer analytisch sehr anspruchsvollen Arbeit realisierte.
Er zeigte, analog zur S4, dass auf einer allgemeinen 4-dimensionalen Mannigfaltigkeit M der Modulraum auch wieder einen solchen der Ausgangsmannigfaltigkeit M entsprechenden „Rand“ hat. Aber außerdem hat er noch Singularitäten, deren Umgebung jeweils ein Kegel über einer komplexen projektiven Ebene ist.
Nicht jede 4-Mannigfaltigkeit ist Rand einer 5-dimensionalen Mannigfaltigkeit, manche sind kobordant zu einer endlichen Vereinigung komplexer projektiver Ebenen CP2 – das wußte man seit Thoms Berechnung der Kobordismusgruppen vor fast dreißig Jahren. Und auch, dass die Signatur der Schnittform invariant unter Kobordismen war und also der (mit Vorzeichen nach Orientierung gezählten) Anzahl der komplexen projektiven Ebenen entspricht.
Aber Donaldson bekam mehr als diese bekannten (und sehr anspruchsvollen) topologischen Resultate. Wenn die Schnittform positiv oder negativ definit ist, dann folgt aus seinen Berechnungen, dass sie nicht nur dieselbe Signatur hat, sondern wirklich identisch ist zu der Schnittform der endlichen Vereinigung der CP2s.
Die Schnittform einer komplexen projektiven Ebene CP2 ist einfach die 1×1-Matrix (1), für eine endliche Vereinigung bekommt man also im positiv definiten Fall die Einheitsmatrix. Donaldson bewies also, dass eine positiv oder negativ definite Schnittform diagonalisierbar sein muss.
Nun hatte aber Freedman ja bewiesen, dass es zu jeder quadratischen Form eine einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Form als Schnittform gibt. Später würde kolportiert werden, Donaldson habe geglaubt, einen algebraischen Satz bewiesen zu haben, nämlich dass jede positive definite quadratische Form diagonalisierbar sei. Tatsächlich gibt es aber im positiv definiten Fall astronomisch viele über Z nicht äquivalente Formen. Aus Donaldsons Arbeit folgt also, dass die zu diesen nicht-diagonalisierbaren Formen nach Freedman gehörenden topologischen 4-Mannigfaltigkeiten keine differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sein können. (Donaldsons Arbeit betraf nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten, denn nur für diese kann man den Modulraum der selbstdualen Instantonen definieren.)
Wieviele 4-Mannigfaltigkeiten ohne differenzierbare Struktur es gibt, wird durch die Klassifikation unimodularer, symmetrischer Bilinearformen klar. Indefinite Formen sind gut verstanden, sie werden nach Serre durch Rang, Signatur und Parität klassifiziert. (Diese Klassifikation beruhte auf dem Lemma, dass es für eine indefinite Form ein x mit x.x=0 gibt. Das kann man aus dem Lokal-Global-Prinzip herleiten, es war aber schon vor diesem bekannt.) Definite Formen gibt es dagegen sehr viel mehr. Man kann ihre Anzahl mit einer Formel von Siegel berechnen. (Dort werden die Formen mit einer Masse gewichtet, weshalb die Anzahl eventuell unterschätzt wird.) So hat man in Dimension 24 genau 24 definite Formen, in Dimension 32 hat man 80 Millionen und in Dimension 40 mindestens 1051, wahrscheinlich aber viel mehr.
Donaldson bekam mit seiner Bestimmung des Modulraums also keinen neuen algebraischen Satz, stattdessen sehr viele topologische 4-Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare Struktur besitzen können. Einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeiten mit definiter, nichtdiagonalisierbarer Schnittform – also die meisten – können keine differenzierbare Struktur haben. Nicht-differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind in Dimension 4 also so etwas wie der Normalfall. Aus Donaldsons Arbeit folgte auch, dass (anders als in der topologischen Kategorie von Freedman bewiesen) in der differenzierbaren Kategorie der h-Kobordismus-Satz für h-Kobordismen zwischen 4-Mannigfaltigkeiten nicht gilt und dass Casson-Henkel in der differenzierbaren Kategorie im Allgemeinen keine Standardhenkel sind.
Das einfachste Beispiel einer nicht diagonalisierbaren, positiv definiten Form ist die Form E8. Die einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform wird mit demselben Namen bezeichnet, man kann sie durch Klempnern (und Einkleben eines Homologie-Balls in die als Rand der geklempnerten Mannigfaltigkeit entstehenden Homologiesphäre) konstruieren. Sie ist also die einfachste Mannigfaltigkeit, die keine differenzierbare Struktur besitzt.
Casson führte eine mittels SU(2)-Darstellungsvarietäten definierte Invariante ein, mit der er direkt beweisen konnte, dass E8 auch nicht triangulierbar ist – was aber auch aus der Nicht-Differenzierbarkeit folgt.
Dass diese Mannigfaltigkeit keine differenzierbare Struktur trägt, folgt auch schon aus einem Satz von Rochlin, dem zufolge eine glatte Spin-4-Mannigfaltigkeit Signatur 0 hat, womit die Schnittform E8 ausgeschlossen ist. (Aber erst durch Freedman wußte man, dass es eine topologische 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform gibt.) Allgemeiner bekommt man, dass für eine glatte 4-Mannigfaltigkeit ohne 2-Torsion (z. B. einfach zusammenhängend) eine Schnittform mE8+nH (für die sogenannte hyperbolische Ebene H) nur für gerade m vorkommen kann. Bemerkenswerterweise stellte sich eine von Rochlin in diesem Kontext eingeführte Invariante als Reduktion modulo 2 der neuen Casson-Invariante heraus.
Stallings hatte 1961 bewiesen, dass in Dimensionen mindestens 5 der Rn nur eine Differentialstruktur hat. In Dimensionen höchstens 3 war das ebenfalls bekannt. Freedman fiel aber auf (was dann von Gompf aufgeschrieben wurde), dass es mit Donaldsons Arbeit exotische Differentialstrukturen auf dem R4 geben muß.
Aus Donaldsons Arbeit folgt, dass es keine differenzierbare, einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform E8+E8 gibt. Andererseits gibt es die K3-Fläche mit Schnittform E8+E8+H, wobei H die hyperbolische quadratische Form vom Rang 6 ist, also die Schnittform von (S2xS2)#(S2xS2)#(S2xS2). Der Summand H der Schnittform läßt sich realisieren durch eine Einbettung einer Teilmenge X von (S2xS2)#(S2xS2)#(S2xS2). Für das Komplement von X in S2xS2)#(S2xS2)#(S2xS2) folgt durch eine Anwendung von Freedmans „eigentlichem h-Kobordismus-Satz“, dass es homöomorph zu R4 ist. Sein Ende ist S3xR, kann aber nicht diffeomorph zu S3xR sein: es enthält keine das Ende abtrennende differenzierbare S3, weil man andernfalls innerhalb der K3-Fläche einen glatten 4-Ball einkleben und so eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Schnittform E8+E8 bekommen könnte.
Die Existenz exotischer R4s zeigt, dass es keine Chirurgie-Theorie für differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten geben kann und auch kein Analogon zur Glättungstheorie, mit der Differentialstrukturen auf einer höherdimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten gezählt werden können. Es wurden später weitere Konstruktionen exotischer Differentialstrukturen auf dem R4 gefunden, Taubes bewies, dass es sogar unendlich viele von ihnen gibt.
Bild: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Donaldson/pictdisplay/
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