Theorema Magnum MCMLXXXIII: die Mordell-Vermutung

Die Shafarewitsch-Vermutung war eine arithmetische Version des auf Kodaira zurückgehenden Problems, die Familien glatter Kurven gegebenen Geschlechts über einer (nicht notwendig vollständigen) Basiskurve zu studieren, sie vielleicht zu klassifizieren. In der Sprache der Schemata ist der Ganzheitsring eines Zahlkörpers ein 1-dimensionales reguläres Schema von endlichem Typ über Z, eine Kurve über einem Zahlkörper also eine Art Kurvenfamilie über einer Basiskurve.

Durch Übergang zur Jacobi-Varietät kann man (mit Hilfe eines Satzes von Torelli) die Shafarewitsch-Vermutung für Kurven vom Geschlecht g>1 darauf zurückführen, dass es über K nur endlich viele prinzipal polarisierte, g-dimensionale, abelsche Varietäten geben soll, die nur modulo der Ideale in S schlechte Reduktion haben.

1968 zeigte Alexei Parschin, dass man die Mordell-Vermutung auf die Schafarewitsch-Vermutung zurückführen kann. Grob gesagt war Parschins Idee wie folgt. Für eine Kurve X vom Geschlecht g > 1 und einen K-rationalen Punkt P konstruiert er eine Überlagerung Y–>X, die nur über P verzweigt ist, und der Definitionskörper wie auch ihre schlechten Primzahlen in Abhängigkeit von g und dem Definitionskörper und schlechten Primzahlen von X beschränkt sind. Weil Y das Paar (X,P) bis auf endlich viele Möglichkeiten festlegt, folgt aus Schafarewitschs Vermutung (endlich viele Y) und dem klassischen Torelli-Theorem (die Jacobi-Varietät Jac(X) als prinzipal polarisierte abelsche Varietät legt X fest) dann die Mordell-Vermutung (endlich viele P). Mit dieser Methode bekäme man auch einen neuen und völlig anderen Beweis für den Satz von Siegel über die Endlichkeit ganzzahliger Punkte auf elliptischen Kurven.

Im Funktionenkörperfall bewies Parschin diese Endlichkeitsvermutung modulo einer technischen Hypothese und gab daneben noch einen davon unabhängigen Beweis der von Manin und Grauert bewiesenen Mordell-Vermutung für Funktionenkörper. Die technische Hypothese wurde dann von Arakelow bewiesen.

Mit dem Ziel, eine Übertragung des Beweises vom Funktionenkörperfall auf den Fall von Zahlkörpern zu versuchen, entwickelte Arakelow die später nach ihm benannte Arakelow-Theorie. Er metrisierte Objekte über Spec(Z), wobei die Metrik der Struktur an der unendlichen Stelle von Q (also R) entspricht. An den unendlichen Stellen von Q (also Q_p) verwendet man bekannte Modelle. Doch viele Dinge wie die Hodge-Theorie harmonischer Formen, die Deformationstheorie von Kodaira und Spencer oder auch der in Charkateristik p vorhandene Frobenius-Automorphismus haben kein Analogon für Zahlkörper. Arakelow entwickelte dafür eine umfangreiche Theorie, insbesondere Schafarewitsch folgend eine Schnittheorie für die Chow-Gruppe arithmetischer Flächen. Nachdem er an Schizophrenie erkrankte, konnte er seine Arbeit nicht fortsetzen. Eine höherdimensionale Variante, also eine Schnittheorie und eine Version des Satzes von Grothendieck-Riemann-Roch für arithmetische Varietäten (Varietäten über Dedekind-Ringen), wurde später von Gillet und Soulé entwickelt.

Die Mordell-Vermutung bewies 1983 Gerd Faltings, was sofort großes Aufsehen erregte. Er hatte sowohl Arakelows als auch Manins Methode auf Zahlkörper zu übertragen versucht, erfolgreich war er letztlich mit der schon im Funktionenkörperfall erfolgreichen Methode von Manin und unter Verwendung von Parschins Ansatz, zunächst eine geometrischere Frage zu beantworten, nämlich Schafarewitschs Vermutung, die sich mittels der Beziehung von X und Jac(X) darauf reduzieren läßt zu zeigen: es gibt nur eine endliche Zahl abelscher Varietäten fester Dimension über einem festen Zahlkörper, deren Néron-Modelle eine gute Reduktion außerhalb einer festen endlichen Menge von Primidealen im Zahlkörper hat. Faltings bewies diese Vermutung und eine andere grundlegende arithmetische Frage, eine zwanzig Jahre alte Vermutung von John Tate, derzufolge eine abelsche Varietät über einem Zahlkörper K bis auf Isogenie bestimmt wird durch die natürliche Wirkung der Galois-Gruppe des algebraischen Abschlusses von K auf Hom(Q_l,A_l(K)), wobei A_l(K) die Gruppe der Punkte von l-Potenz-Ordnung in der abelschen Varietät A (über dem algebraischen Abschluß von K) bezeichnet.
Der Beweis benutzte zahlreiche mathematische Themen, darunter die Theorie der Höhen, die Theorie der p-teilbaren Gruppen, und de Franchis’ Theorem, demzufolge es nur endlich viele nichtkonstante analytische Abbildungen Y–>Z zwischen Kurven vom Geschlecht g>1 gibt. Ein wesentliches Ingredient war ein neuer Höhenbegriff für (prinzipal polarisierte) abelsche Varietäten. Er bewies eine Abschätzung für die Änderung dieser Höhe unter Isogenien und er setzte seine Höhe in Beziehung zum klassischen Höhenbegriff, wie er etwa implizit bei Fermat in der Methode des Unendlichen Abstiegs vorkommt, womit er erhielt, dass es nur endlich viele g-dimensionale prinzipal-polarisierte semistabile abelsche Varietäten beschränkter Höhe geben kann. Damit genügt es für den Beweis der Schafarewitsch-Vermutung, die Beschränktheit der Höhen der zu den Kurven assoziierten Jacobi-Varietäten zu zeigen. Mit der ebenfalls von Faltings mittels der Beschränktheit der Höhen bewiesenen Tate-Vermutung kann man das darauf zurückführen, nur isogene Kurven zu betrachten. Faltings nutzte seine Formel für die Änderung der Höhe unter Isogenien, zusammen mit dem Satz von Raynaud und den Weil-Vermutungen, um die Beschränktheit der Höhe und damit die Schafarewitsch-Vermutung und die Mordell-Vermutung zu zeigen.