Die Spannung zwischen Expansionseigenschaften (wenn der Grad der iterierten Polynome gegen Unendlich geht) und Kontraktioneigenschaften (um die kritischen Punkte) wird in der komplexen Dynamik durch die Konzentration auf die chaotische Dynamik auf der Julia-Menge aufgelöst. Auf dem Rest der Sphäre ist die Abbildung kontrahierend. (Der bestverstandene Fall war der der Konvergenz zu attrahierenden Zyklen. Für hyperbolische Abbildungen streben die kritischen Punkte zu anziehenden periodischen Zykeln. Die Hyperbolizität erkennt man auch im Apfelmännchen.) Ein ähnliches Bild hatte man für hyperbolische 3-Manigfaltigkeiten, also für die Wirkung ihrer Fundamentalgruppe auf der Sphäre im Unendlichen. Hier konzentriert sich die chaotische Dynamik auf die Limesmenge, während die (bereits von Ahlfors und Bers untersuchte) Wirkung auf dem Komplement der Limesmenge eigentlich diskontinuierlich ist.
Sullivan faßte die zahlreichen Analogien in einem Wörterbuch zusammen, in dem eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen 3-Raumes der Iteration einer quadratartigen Abbildung auf der komplexen Ebene entsprechen sollte. Der von Bers betrachtete Modulraum soll dem Apfelmännchen entsprechen; die Abbildung, deren Fixpunkt man für die Hyperbolisierung benötigt, soll dem Renormalisierungsoperator entsprechen; Ahlfors’ Endlichkeitssatz, demzufolge der Quotient des Diskontinuitätsbereichs unter der Gruppenwirkung eine Fläche endlichen Geschlechts mit endlich vielen Spitzen ist, sah er als Analogon des Satzes über wandernde Gebiete. (Er konnte die Analogie nutzen, um auf der anderen Seite des Wörterbuchs einen neuen, analytisch einfacheren Beweis für Ahlfors’ Endlichkeitssatz zu geben.) Er hatte noch eine lange Liste von sich unter der Analogie entsprechenden Konzepten. Thurstons Endenlaminierungsvermutung, mit der er geometrisch unendliche Strukturen auf Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten klassifizieren wollte, sollte dem (vermuteten) lokalen Zusammenhang des Apfelmännchens entsprechen.
Bild: https://www.ihes.fr/en/professeur/dennis-sullivan-2/
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