Theorema Magnum MCMLXXXIV: der Satz über wandernde Gebiete

Komplexe Dynamik befasst sich mit der Iteration einer Funktion auf der komplexen Zahlenebene. Zu einer Funktion f betrachtet man, wie sich komplexe Zahlen z bei wiederholter Anwendung von f verhalten; es geht also um die Folge . Wenn zum Beispiel iteriert wird, wird diese Folge bei einem Startwert z innerhalb des Einheitskreises gegen Null konvergieren, und bei einem Startwert außerhalb des Einheitskreises gegen Unendlich. Bei einem Startwert auf dem Rand des Einheitskreises kann man nach endlich vielen Schritten in 1 landen (wenn man mit einer Einheitswurzel der Ordnung n^k startet), man kann für andere z auf dem Einheitskreis aber auch eine eine dichte Bahn bekommen. Für Punkte auf dem Einheitskreises führt eine geringe Störung des Startwertes zu einem gänzlich anderen Verhalten der Iteration.

Die Theorie der Iteration komplexer Funktionen wurde nach dem ersten Weltkrieg von Fatou und Julia und später von Siegel entwickelt. Man hat in der komplexen Ebene stets eine Dichotomie zwischen Punkten, deren Bilder gegen einen anziehenden Fixpunkt (evtl. Unendlich) konvergieren und in deren Umgebungen die Iterierten eine normale Familie bilden – die Fatou-Menge – und andererseits Punkten, in denen das nicht der Fall ist und in denen die Dynamik sensitiv gegenüber Störungen des Startwertes ist, die Julia-Menge. Im Beispiel f(z)=zⁿ ist der Einheitskreis die Julia-Menge, das Innere und Äußere bildet die Fatou-Menge. Die mathematischen Probleme konzentrierten sich auf die Julia-Menge.

Schon bevor es Computerbilder gab, bemerkte man, dass Julia-Mengen oft sehr kompliziert aussehen. Ein viel untersuchtes Beispiel war die Familie z²+c. Für c=-3 ist die Julia-Menge eine nirgendwo dichte, perfekte Menge. Für c=-1 hat man eine Kurve, die die Ebene in abzählbar viele Komponenten zerlegt. Für kleine c hat man eine nirgends differenzierbare Kurve, die aber doch eine Jordan-Kurve (das stetige Bild eines Kreises) ist. Das Bild oben zeigt in Weiß die Julia-Menge für c = -0,742 + 0,1 i. Yoccoz zeigte später, dass für alle c die Julia-Mengen entweder zusammenhängend oder nirgendwo dichte, perfekte Mengen sind.

Benoît Mandelbrot prägte in einer Arbeit über die Küstenlinie Großbritanniens, bei deren Vermesung ihrer verwinkelten Struktur wegen bei kleinskaligerer Vermessung größere Längen herauskommen, erstmals den Begriff des Fraktals. Ein wichtiger Begriff zum Verständnis von Fraktalen wurde der 1918 von Felix Hausdorff für Teilmengen des Rⁿ eingeführte Dimensionsbegriff. Fraktale sind dadurch charakterisiert, dass diese Hausdorff-Dimension größer ist als die von Lebesgue eingeführte topologische Überdeckungsdimension. Die Hausdorff-Dimension ist das Infimum aller d, für die das d-dimensionale Hausdorff-Maß der Menge 0 ist. Dennis Sullivan, der zuvor das Patterson-Sullivan-Maß auf Limesmengen Kleinscher Gruppen untersucht hatte, fand auch auf Julia-Mengen ein konformes Maß, das in vielen Fällen ein Hausdorff-Maß ist und dessen Invarianzeigenschaft insbesondere die Hausdorff-Dimension festlegt. Damit ist die Hausdorff-Dimension von Julia-Mengen in der Regel größer als die topologische Dimension, was in Mandelbrots Terminologie heißt, dass Julia-Mengen Fraktale sind.

Mandelbrot war der erste, der die in der komplexen Iteration vorkommenden Julia-Mengen ernsthaft mit Computersimulationen untersuchte. Zunächst die Familie c(1+z²)2/(z(z²-1)), dann die Familie cz(1-z), schließlich die Familie z²+c. Bei letzterer kann man fragen, für welche c der Nullpunkt zu der ausgefüllten Julia-Menge gehört, d.h. zur Menge der Punkte, deren Bahn beschränkt bleibt. Die Menge M dieser Parameterwerte war zwei Jahre zuvor bei Untersuchungen von Brooks und Matelski über diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes vorgekommen und sie hatten auch ein Bild dieser Menge ausdrucken lassen, das freilich noch grob verpixelt war. Später würde man sehr viel schönere Bilder malen können und für die Punkte außerhalb M (wo die Bahn des Nullpunkts also gegen Unendlich geht) mit Farben veranschaulichen können, wieviele Iterationen man braucht, um einen bestimmten Schwellenwert, etwa 1000, zu überschreiten.

In den Proceedings einer 1979 in New York stattgefundenen Konferenz über nichtlineare Dynamik veröffentlichte Mandelbrot einen Artikel Fractal aspects of the iteration of λz(1-z) for complex λ and z, in der er (unter anderem) zahlreiche Vermutungen über die Geometrie dieser Menge M aufstellte. Douady und Hubbard griffen diesen Artikel auf und veranstalteten ein Seminar in Orsay, in dem sie die Theorie im Detail ausarbeiteten. Sie bewiesen, dass M zusammenhängend ist, und sie formulierten zwei Hauptvermutungen: die Menge M sollte lokal zusammenhängend sein, und ihr Inneres sollte die Menge M´ derjenigen Parameterwerte c sein, für die es einen anziehenden Kreis gibt. Sie wußten zwar keine der beiden zu beweisen, aber sie bewiesen, dass die zweite Vermutung aus der ersten folgt. Weiterhin würde mit einem alten Satz von Carathéodory aus der ersten Vermutung folgen, dass jeder äußere Strahl landet, was sie zumindest für Strahlen mit rationalem Argument ohne die Annahme der Vermutung zu beweisen vermochten. Eine andere Folgerung wäre die Dichtheit expandierender Abbildungen im Raum der quadratischen Polynome.

Die dann als Apfelmännchen bezeichnete Menge M wurde durch den ästhetischen Wert der mit ihr verbundenen Computergrafiken und die Möglichkeit des Hineinzoomens in immer kleinere Bildbereiche populär. Obwohl unbestritten Douady und Hubbard die wesentlichen mathematischen Beiträge geleistet hatten, blieb sie mit Mandelbrots Namen verbunden und der verteidigte seine Urheberschaft auch sehr aggressiv. In seinen Büchern findet man keine Hinweise darauf, auf den Schultern von Riesen zu stehen: er war größer und hatte deswegen weiter gesehen als andere. In einer Zeit, wo abstrakte Methoden Konjunktur hatten, hatte er auf Bilder geschaut und daraus Schlußfolgerungen gezogen. Seine Bilder und dann auch sein Buch über die fraktale Geometrie der Natur popularisierten die Mathematik, gleichzeitig spielten Fraktale aber auch in der mathematischen Forschung eine Rolle, etwa als Limesmengen in der Theorie der Kleinschen Gruppen oder in der mathematischen Untersuchung der Brownschen Bewegung.

Mit den Fraktalen rückten auch die seltsamen Attraktoren und das Chaos stärker ins öffentliche Bewußtsein, obwohl diese eigentlich wenig mit Fraktalen zu tun hatten. In den Medien wurde das Chaos nun als eine Revolution und eine neue Wissenschaft, ein Paradigmenshift, dargestellt, obwohl die Sensitivität von Differentialgleichungen gegenüber Anfangsbedingungen seit fast hundert Jahren ein Thema der mathematischen Forschung gewesen war. Auch wenn Poincaré oder Birkhoff das schon gewußt hatten, wurde erst durch jetzt mit der Entwicklung preiswerter, leicht zu benutzender Computer möglich gewordenen Computerberechnungen von Approximationen der Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen allgemein akzeptiert, dass scheinbar zufälliges Verhalten eine inhärente Eigenschaft nichtlinearer Systeme und nicht nur ein Rauschen durch Fehler im Experiment ist. Besonders populär wurde die Metapher vom Schmetterlingseffekt, mit der Edward Lorenz die Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen beschrieb. Lorenz‘ 1963 geschriebene Arbeit über ein 3-dimensionales Wettermodell wurde von Guckenheimer und Williams mathematisch unterlegt. Sie zeigten, dass Lorenz’ seltsamer Attraktor strukturell stabil war und durch ein 1-dimensionales dynamisches System beschrieben werden konnte, womit man die gemachten Beobachtungen nun auch mathematisch erklären konnte.

Neue Ideen in der komplexen Dynamik kamen durch Dennis Sullivan, der zuvor über Limesmengen Kleinscher Gruppen gearbeitet hatte und durch das Seminar von Douady und Hubbard zur Beschäftigung mit Julia-Mengen kam. Er benutzte zum ersten Mal quasikonforme Abbildungen als Hilfsmittel in der komplexen Dynamik.
Ahlfors, Bers und ihre Schule hatten ebene quasikonforme Abbildungen erfolgreich auf eine Reihe von Problemen der komplexen Analysis, einschließlich diskreter Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes und der Geometrie von Flächen angewandt. Man kann mit quasikonformen Abbildungen aber auch komplexe dynamische Systeme in andere komplexe dynamische Systeme deformieren. Mit der Lösung eines auf Fatou und Julia zurückgehenden klassischen Problems zeigte Sullivan nun, dass dieser Ansatz sehr effektiv für Probleme der Iteration rationaler Funktionen angewandt werden können.

Beim Problem der nichtwandernden Gebiete geht es um die Frage, ob man in der Fatou-Menge wandernde Gebiete haben kann, wie es beispielsweise für f(z)=z+2πsin(z) der Fall ist.

Im Bild sind die Fatou-Mengen von weiß gezeichnet. Für dieses Beispiel weiss man, dass die Fatou-Komponenten wandern: wenn man f auf eine Fatou-Komponente anwendet, bekommt man die jeweils nächste und man kehrt nie zurück.
Dagegen können beispielsweise kubische Polynome unendlich viele Fatou-Komponenten haben, aber die Bahn einer Komponente trifft immer nur endlich viele andere Fatou-Komponenten, die Fatou-Komponente wandert nicht beliebig weit. Im Bild unten ist die Julia-Menge von weiß gezeichnet, die Fatou-Menge besteht aus den verschiedenen roten, blauen und grünen Komponenten. (Diese Iteration verwendet man beim Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen von z³-1.) Die Punkte in den verschiedenfarbigen Fatou-Komponenten konvergieren jeweils gegen eine Nullstelle von z³-1 – also einen Fixpunkt der Iteration – und verlassen insbesondere letztlich die Komponente des Fixpunkts nicht mehr.

Solche periodischen oder präperiodischen Fatou-Komponenten sind dank eines Klassifikationssatzes gut verstanden, während die wandernden Fatou-Komponenten sich der Klassifikation entziehen.
Sullivan bewies, dass es für (nichtlineare) rationale Abbildungen keine wandernden Gebiete in der Fatou-Menge gibt. Anders als für transzendente Abbildungen kann man die Dynamik der Fatou-Mengen für rationale Abbildungen also gut verstehen. Dieser Satz über wandernde Gebiete galt als die spektakulärste Anwendung von Sullivans Verwendung quasikonformer Abbildungen.

Ein anderer Impuls von Sullivans Ansatz war die Herstellung von Analogien zur Theorie der Kleinschen Gruppen, die damals durch Thurstons Arbeiten zur Hyperbolisierung von 3-Mannigfaltigkeiten gerade wieder in Mode gekommen war. In der Iteration rationaler Funktionen hat man den bekannten Effekt, dass bei einer Perturbation der Funktion f(z)=z² in die Funktionen f_a(z)=z²+az der unter f invariante Einheitskreis, auf dem f dichte Orbiten hat und ergodisch ist, sich perturbieren läßt in einen Quasikreis, der unter f_a invariant ist und auf dem f_a dichte Orbiten hat und ergodisch ist. Das ist eine ähnliche Situation wie in der Theorie diskreter Untergruppen von SL(2,C) und ihrer Wirkung auf dem hyperbolischen Raum bzw. dessen Sphäre im Unendlichen. Eine in SL(2,R) enhaltene diskrete Gruppe (“Fuchssche Gruppe”) läßt einen Kreis in der Sphäre im Unendlichen invariant – dieser ist ihre Limesmenge – und sie erlaubt Deformationen (“quasifuchssche Gruppen”), die einen nicht differenzierbaren Quasikreis als Limesmenge haben. Solche Gruppen und ihre Limesmengen waren schon von Poincaré betrachtet und in jüngerer Zeit von Ahlfors und Bers mit Hilfe quasikonformer Abbildungen untersucht worden.

Fatou und Julia waren sich der Analogie ihrer Theorie mit den Arbeiten Poincaré zu Fuchsschen und Kleinschen Gruppen durchaus bewußt gewesen. Sullivan gab dieser Analogie nun einen Erklärungsansatz, indem er die – in der Theorie Kleinscher Gruppen von Ahlfors und Bers verwendete – Theorie quasikonformer Abbildungen in die komplexe Dynamik einführte.

Ende der 70er Jahre waren unabhängig die Theorie der diskreten Gruppen in SL(2,C) durch Thurstons Arbeiten zur Vielfalt hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten und die Iterationstheorie rationaler Abbildungen durch die Arbeiten von Douady und Hubbard, die die Komplexität der Familie quadratischer Polynome zeigten, ins Zentrum mathematischer Forschung gerückt.
Die Idee, dass hyperbolische Geometrie im Unendlichen konforme Geometrie wird und deshalb das Studium der Dynamik auf Limesmengen (und Diskontinuitätsbereichen) von Bedeutung ist, hatte Sullivan ursprünglich aus Thurstons Vorlesung in Princeton gelernt und er hatte dann begonnen, sich mit der Ergodentheorie im Unendlichen zu beschäftigen. Er benutzte ein (in Verallgemeinerung der Dissertation von Patterson für diskrete Gruppen in SL(2,R) konstruiertes) invariantes Maß auf der Limesmenge, um ein invariantes Maß für den geodätischen Fluß zu definieren und bewies dann analog zu Eberhard Hopfs alter Arbeit für hyperbolische Flächen, dass der geodätische Fluss auf hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten (unendlichen Volumens) entweder ergodisch oder dissipativ ist. Mit dem Maß auf der Limesmenge konnte er in manchen Fällen die fraktale Dimension der Limesmenge berechnen.
Thurston hatte damals schon die Idee gehabt, die Hyperbolisierung von Abbildungstori (für sogenannte pseudo-Anosov-Diffeomorphismen, das sind Abbildungen von Flächen, die eine stabile und eine instabile invariante Laminierung haben) mit dynamischen Methoden zu beweisen und in den 80er Jahren war er dabei, den Beweis dafür aufzuschreiben. Das dynamische System ist in diesem Fall die Wirkung der Fundamentalgruppe der Fläche auf der Sphäre im Unendlichen. Neben der Wirkung der Flächengruppe hat man noch eine Wirkung der Monodromie auf der Darstellungsvarietät der Flächengruppe in PSL(2,C), für die man einen Fixpunkt sucht. Den von Ahlfors und Bers zwanzig Jahre zuvor bewiesenen meßbaren Abbildungssatz nutzte Bers für den Beweis der simultanen Uniformisierung: die Darstellungen einer Flächengruppe mit einem Quasikreis als Limesmenge (sogenannte quasifuchssche Darstellungen) werden durch das Produkt zweier Kopien des Modulraums hyperbolischer Metriken (des Teichmüller-Raums) parametrisiert. Im Abschluß des Raums der quasifuchsschen Darstellungen findet man den gesuchten Fixpunkt der Monodromie-Abbildung auf der Darstellungsvarietät.

Man konnte im von Thurston skizzierten Beweis der Hyperbolisierung für Abbildungstori eine Analogie zur Renormalisierung in der Theorie der Iteration rationaler Funktionen entdecken. Dort betrachtet man eine 2-fache verzweigte Überlagerung und eine Funktionalgleichung für den Fixpunkt des Renormalisierungsoperators. Die harmonische Analyse auf dem hyperbolischen 3-Raum spielt eine wesentliche Rolle sowohl für den Beweis des attrahierenden Verhaltens des Renormalisierungsoperators wie auch für die Untersuchung der Wirkung der Monodromie auf der Darstellungsvarietät. Diese Ähnlichkeit wurde vor allem von Sullivans Doktoranden McMullen verfolgt, der später gleichzeitig mit Otal vollständige Beweise der Hyperbolisierung sowohl für den Fall von Haken-Mannigfaltigkeiten als auch für Abbildungstori gab. Auch im Fall von Haken-Mannigfaltigkeiten ging es (für den Induktionsschritt nach Aufschneiden entlang einer inkompressiblen Fläche) darum, einen Fixpunkt für die Wirkung der Verklebeabbildung auf dem Modulraum geometrisch endlicher hyperbolischer Metriken (auf der aufgeschnittenen 3-Mannigfaltigkeit) zu finden und auch hier konnte man Analogien zur komplexen Dynamik verwenden.

Die Spannung zwischen Expansionseigenschaften (wenn der Grad der iterierten Polynome gegen Unendlich geht) und Kontraktioneigenschaften (um die kritischen Punkte) wird in der komplexen Dynamik durch die Konzentration auf die chaotische Dynamik auf der Julia-Menge aufgelöst. Auf dem Rest der Sphäre ist die Abbildung kontrahierend. (Der bestverstandene Fall war der der Konvergenz zu attrahierenden Zyklen. Für hyperbolische Abbildungen streben die kritischen Punkte zu anziehenden periodischen Zykeln. Die Hyperbolizität erkennt man auch im Apfelmännchen.) Ein ähnliches Bild hatte man für hyperbolische 3-Manigfaltigkeiten, also für die Wirkung ihrer Fundamentalgruppe auf der Sphäre im Unendlichen. Hier konzentriert sich die chaotische Dynamik auf die Limesmenge, während die (bereits von Ahlfors und Bers untersuchte) Wirkung auf dem Komplement der Limesmenge eigentlich diskontinuierlich ist.

Sullivan faßte die zahlreichen Analogien in einem Wörterbuch zusammen, in dem eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen 3-Raumes der Iteration einer quadratartigen Abbildung auf der komplexen Ebene entsprechen sollte. Der von Bers betrachtete Modulraum soll dem Apfelmännchen entsprechen; die Abbildung, deren Fixpunkt man für die Hyperbolisierung benötigt, soll dem Renormalisierungsoperator entsprechen; Ahlfors’ Endlichkeitssatz, demzufolge der Quotient des Diskontinuitätsbereichs unter der Gruppenwirkung eine Fläche endlichen Geschlechts mit endlich vielen Spitzen ist, sah er als Analogon des Satzes über wandernde Gebiete. (Er konnte die Analogie nutzen, um auf der anderen Seite des Wörterbuchs einen neuen, analytisch einfacheren Beweis für Ahlfors’ Endlichkeitssatz zu geben.) Er hatte noch eine lange Liste von sich unter der Analogie entsprechenden Konzepten. Thurstons Endenlaminierungsvermutung, mit der er geometrisch unendliche Strukturen auf Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten klassifizieren wollte, sollte dem (vermuteten) lokalen Zusammenhang des Apfelmännchens entsprechen.

Bild: https://www.ihes.fr/en/professeur/dennis-sullivan-2/