Theorema Magnum MCMLXXXVIII: Multiresolutionsanalyse von Wavelets

Mathematisch geht es in der Signalverarbeitung darum, eine Hilbert-Basis im (unendlich-dimensionalen) Vektorraum L²(R) aller quadratisch-integrierbaren Funktionen zu finden, so dass eine Funktion also durch ihre Koeffizienten in dieser Basis bestimmt ist und möglichst schon endlich viele der Koeffizienten die Funktion recht genau bestimmen. Die naheliegende durch Abschneiden von 1,x,x²,x³,…,xⁿ,… gebildete Basis ist dafür aus verschiedenen Gründen wenig geeignet. Besser geeignet ist schon die Basis 1,sin(x),cos(x),…,sin(nx),cos(nx),… oder, wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, die Basis exp(inx). Periodische Funktionen lassen sich (unter milden Voraussetzungen) als Summe zerlegen, wobei T die Periode ist und sich die c_n mit einer Integralformel berechnen lassen. Für beliebige (nicht notwendig periodische) Funktionen hat man eine Zerlegung , wobei die kontinuierlichen „Koeffizienten“ durch die Integralformel berechnet werden, die sogenannte Fourier-Transformation.
Tatsächlich verwendete man für die Analyse von Signalen lange Zeit diese Zerlegung in trigonometrische Reihen, wofür man die sogenannte Kurzzeit-Fourier-Transformation – mittels Zerlegung des Signals in Kurzzeit-Fenster – hatte. (Mathematisch: man hat einen „Fensteroperator“, der die Funktion auf ein kleines Zeitfenster konzentriert. Auf jede der so erhaltenen auf einem Zeitfenster konzentrierten Funktionen wendet man jeweils einzeln die Fourier-Transformation an.) Die (diskrete) Fourier-Transformation berechnet die Koeffizienten der Fourier-Zerlegung einer Funktion. Insbesondere nachdem Cooley und Tukey 1965 ein (schon von Gauß bei Planetenberechnungen und später auch von Runge verwendetes) Verfahren zur schnellen Fourier-Transformation entwickelten, wurde die Fourier-Analyse zur meistverwendeten Methode der Elektrotechnik. Das Problem blieb aber, dass bei der Kurzzeittransformation das gesamte Signal in Fenster gleicher Größe zerlegt wird, während eigentlich für Zeiten höherer Frequenz ein kürzeres Zeitfenster besser wäre. Man hätte deshalb gern Basisfunktionen kleiner Streuung, die dann natürlich nicht periodisch sein können. (Der Slogan ist, dass man Lokalisierung in der Zeit statt Lokalisierung im Frequenzspektrum will.)

In den 70er Jahren Jahren hatte Jean Morlet, ein als Forschungsingenieur bei einem großen französischen Mineralölunternehmen tätiger Geophysiker, eine neue Art der Darstellung geophysikalischer Signale entdeckt. Ausgehend von einer gewissen Funktion bildeten die Funktionen eine Hilbert-Basis von L²(R). In seinem Ansatz waren die Hochfrequenzfunktionen sehr eng, die Niedrigfrequenzfunktionen aber nicht: er definierte für von abhängende Konstanten .

Er nannte seine Funktionen “Wavelets konstanter Form”. Zunächst hatte er es aber schwer, andere Geophysiker zu überzeugen. Er erzählte später, seine Kollegen hätten gemeint, eine solche Funktionenfamilie müßte in Mathematikbüchern zu finden sein. Da sie das nicht war, müßte etwas falsch sein. Er fand schließlich einen Physiker, Alex Grossmann, der für seine quantenmechanischen Berechnungen ähnliche Probleme zu lösen hatte und der eine exakte Umkehrfunktion der Integraltransformation konstruierte. Sie erarbeiteten zusammen einige Anwendungen. 

Yves Meyer hatte sich als Mathematiker ursprünglich mit Anwendungen der harmonischen Analyse in der Zahlentheorie beschäftigt und war von der harmonischen Analyse zur Beschäftigung mit singulären Integralen gekommen. Als er die Arbeiten über Wavelets las, erkannte er dass ihre Rekonstruktionsformel eine Wiederentdeckung einer mehr als zwanzig Jahre alten Formel Calderóns war, die in der Analyse gewisser singulärer Integraloperatoren auf eine ähnliche Weise unterschiedliche Skalen benutzte. Er begann darauf, nach Wavelets mit besseren Lokalisierungseigenschaften zu suchen, also nach anderen Funktionen , für die man wieder die von den gebildete Hilbert-Basis von L²(R) verwenden kann. Innerhalb einiger Wochen fand er eine orthonormale Waveletbasis mit exzellenten Zeit- und Frequenz-Lokalisierungseigenschaften, nämlich
mit für 0 ≤x ≤1 (sowie 0 für x ≤0 und 1 für 1 ≤ x). Die gewünschten Eigenschaften resultieren aus einer wundervollen Kürzung.

Andere Mathematiker fanden dann weitere Konstruktionen solcher Wavelets. Tatsächlich kannte man schon seit fast achtzig Jahren eine Waveletbasis, die auf Alfréd Haar, den späteren Entdecker des invarianten Maßes auf lokalkompakten Gruppen, zurückging. Er hatte die unten abgebildete Treppenfunktion φ genutzt und daraus eine Basis φ_jk als Basis von L²(R) konstruiert. Das war das erste und einfachste Wavelet, aber wegen seiner schlechten Frequenzlokalisierung nicht von großem praktischen Nutzen.

Bei den soweit gefundenen Wavelets mußten die Funktionen für die direkte Implementierung abgeschnitten werden und man fragte sich, ob es Wavelets gäbe, für die das nicht notwendig ist. Ingrid Daubechies konstruierte 1988 Wavelets mit kompakten Trägern, was zu vielen wichtigen Anwendungen führte. 

Alle diese Konstruktionen waren ein wenig ad hoc, man verstand sie noch nicht wirklich. Gemeinsam mit Stéphane Mallat, einem Doktoranden der Elektrotechnik in Pennsylvania entwickelte Meyer dann die mathematischen Einzelheiten der Multiresolutionsanalyse, mit der alle bisher konstruierten Waveletbasen auf eine gemeinsame Grundlage gestellt wurden. Diese Analyse führte auch zu einem einfachen und rekursiven Filterungsalgorithmus, mit dem die Waveletzerlegung einer Funktion von ihrer feinstskaligen Approximation berechnet werden konnte. 

Mathematisch betrachtet man in der Multiresolutionsanalyse eine Folge V_j von Unterräumen von L²(R). Sie sollen aus denjenigen Funktionen bestehen, die man bei Auflösung der Ordnung 2^j von Funktionen in L²(R) bekommt – man hat also einen Operator A_j mit Bild in V_j, der jeder Funktion die bestmögliche Auflösung der Ordnung 2^j zuordnet. Dieser habe die Skalierungseigenschaft und A_jf soll durch 2^j Werte pro Längeneinheit charakterisiert werden können. Aus seinen Axiomen für V_j konnte Mallat beweisen, dass es eine Funktion gibt, für die für jedes j die Funktionen eine Basis von V_j bilden. Man erhält also alle Wavelets mit dem Ansatz der Multiresolutionsanalyse.

Neben ihrer ursprünglichen Verwendung zur Analyse nichtstationärer Signale wurden Wavelets vor allem in Bildverarbeitung und Datenkompression wichtig, neben vielen anderen Anwendungen.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stephane_Mallat.jpg