Theorema Magnum MXMIV: die Thom-Vermutung

Donaldsons Methoden waren vor allem zur Untersuchung komplexer Flächen geeignet gewesen. Beispielsweise hatten Fintushel und Stern eine Methode zur Änderung der Differentialstruktur entwickelt und konnten mit Donaldsons Invarianten oft beweisen, dass die resultierenden Differentialstrukturen tatsächlich verschieden sind. Für viele 4-Mannigfaltigkeiten bekamen sie damit die Existenz unendlich vieler Differentialstrukturen. Die 4-Mannigfaltigkeits-Topologen waren seit Jahren beschäftigt mit technischen Problemen, die daraus resultierten, dass sie für topologische Eigenschaften passende Eigenschaften der Invarianten beweisen wollten.
So stießen die neuen Invarianten auf ein Umfeld, das genau wußte, was man mit ihnen machen wollte. Sie hatten die richtigen Fragen und plötzlich ein neues Werkzeug. Mit den neuen Methoden bewiesen die 4-Mannigfaltigkeiten-Topologen in kurzer Zeit eine Reihe von Vermutungen, an denen sie schon jahrelang gearbeitet hatten. Insbesondere bewiesen Kronheimer und Mrowka innerhalb weniger Wochen die Thom-Vermutung, dass die Flächen minimalen Geschlechts in einer Homologieklasse in H2(CP2;Z) gerade die algebraischen Kurven sind. Ihre 1994 in den Mathematical Research Letters veröffentlichte Arbeit The genus of embedded surfaces in the projective plane war nur zehn Seiten lang. Die Idee war, eine Fläche in der Homologieklasse dH (für den Erzeuger H von H₂(CP²)) in der d²-fachen Aufblasung von CP² zu betrachten. Während es beispielsweise für die Metriken positiver Skalarkrümmung keine Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichung gibt, kann man auf der Aufblasung Metriken konstruieren (mit großen Tubenlängen für die Umgebungsränder der aufgeblasenen Punkte), für die es dann doch Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen gibt. Mit diesen Lösungen bekommt man mit Hilfe der zweiten Gleichung dann aber Abschätzungen für die Krümmung der Fläche und vermittels Gauß-Bonnet also auch für ihr Geschlecht, woraus die behauptete Ungleichung folgt.

Berechnungen von Seiberg-Witten-Invarianten erfolgten zunächst für Kähler-Mannigfaltigkeiten. Clifford Taubes beschäftigte sich allgemeiner mit symplektischen Mannigfaltigkeiten und bewies in diesem Fall die Gleichheit der Seiberg-Witten-Invariante mit der pseudoholomorphe Kurven in einer Homologieklasse zählenden Gromov-Witten-Invariante. Ebenfalls im Kontext symplektischer Mannigfaltigkeiten gelang es Morgan, Szabó und Taubes, eine sehr viel allgemeinere Fassung der Thom-Vermutung zu beweisen (was dann auch Kronheimer und Mrowka gelang): in symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten sind symplektische Flächen nichtnegativer Selbstschnittzahl die Flächen minimalen Geschlechts in ihrer Homologieklasse. Ozsváth und Szabó bewiesen die Thom-Vermutung schließlich in ihrer allgemeinsten Form: für beliebige symplektische Flächen, nicht notwendig von nichtnegativer Selbstschnittzahl.

Weiteren Auftrieb bekam die niedrigdimensionale Topologie dann auch noch durch eine von Ozsváth und Szabó entwickelte neue Homologietheorie nach dem Vorbild der Floer-Homologie. Viele Fragen über 3- und 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten konnten damit angegangen werden.