Theorema Magnum MXMIV: die Thom-Vermutung

Algebraische Kurven werden als Lösungsmengen von Polynomen in zwei Variablen beschrieben. Der Fundamentalsatz der Algebra oder der Satz von Bézout zeigen, dass sich allgemeine Sätze besser über den komplexen Zahlen formulieren lassen, man also komplexe Kurven im C² betrachten sollte. Häufig ist es auch einfacher, in kompakten Räumen und mit homogenen Koordinaten zu arbeiten, weshalb man zu der Ebene noch eine Gerade im Unendlichen hinzunimmt und die Kurven dann also in der komplexen projektiven Ebene CP² betrachtet. Die Kurven werden so zu kompakten Flächen.
Das einzige topologische Unterscheidungsmerkmal kompakter, orientierter Flächen ist ihr Geschlecht g. Für eine durch ein Polynom (ohne Singularitäten) als komplexe Kurve gegebene Fläche in CP² hängt ihr Geschlecht nur vom Grad d des Polynoms ab, es berechnet sich nach der Formel . So geben Polynome vom Grad 1 (Geraden) oder vom Grad 2 (Kegelschnitte) im CP² Flächen vom Geschlecht 0 (Sphären), durch Polynome vom Grad 3 (elliptische Kurven) erhält man eine Fläche vom Geschlecht 1 (Torus).

Die Homologie von CP² ist leicht zu berechnen. Die zweite Homologie ist isomorph zu den ganzen Zahlen Z und eine durch ein Polynom vom Grad d gegebene Fläche gehört zu der Homologieklasse, die unter dem Isomorphismus der Zahl d entspricht.
Nun gibt es in der komplexen projektiven Ebene viele Flächen und die meisten davon sind nicht durch Polynome gegeben. René Thom wird die Vermutung zugeschrieben, dass die algebraischen Kurven jeweils das minimale Geschlecht für Flächen in ihrer Homologieklasse realisieren. Mit anderen Worten: jede Fläche in der d entsprechenden Homologieklasse soll mindestens dasselbe Geschlecht haben wie die komplexen algebraischen Kurven vom Grad d, also .

Die Theorie der glatten 4-Mannigfaltigkeiten hat in den 1980er Jahren eine neue Richtung bekommen durch die Methoden der Eichtheorie, insbesondere den von Donaldson untersuchten Modulraum der anti-selbstdualen Instantonen auf einer gegebenen 4-Mannigfaltigkeit, mit dem er neue topologische Sätze beweisen und neue topologische Invarianten definieren konnte. Versuche, mit diesem Ansatz die Thom-Vermutung zu beweisen, blieben aber erfolglos (außer für d=6, wo Kotschick und Matić das Problem lösten; für d≤5 hatte es Beweise mit topologischen Methoden gegeben). Kronheimer und Mrowka konnten mit Donaldsons Ansatz immerhin zeigen, dass eine Fläche in CP², die die projektive Gerade CP¹ in d Punkten schneidet, mindestens vom Geschlecht (d-1)(d-2)/2 (und allgemein dass das Geschlecht mindestens um eins größer als die halbe Selbstschnittzahl) sein muss.

Anfang 1994 kündigte Edward Witten eine neue Eichtheorie für 4-Mannigfaltigkeiten an, die analoge Resultate zu Donaldsons Theorie geben sollte, aber mit wesentlich einfacheren Berechnungen. Es ging um den Modulraum der Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen, die von der mysteriösen S-Dualität in der N=2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie kommen und ursprünglich aus der Theorie der Supraleitung stammen.
Die beiden Seiberg-Witten-Gleichungen betreffen einen Schnitt φ eines gegebenen Spinorbündels und einen U(1)-Zusammenhang A auf einem Linienbündel über der 4-Mannigfaltigkeit. Die erste Gleichung besagt, dass der Schnitt im Kern des mit dem Zusammenhang getwisteten Dirac-Operators liegen soll, die zweite Gleichung beschreibt eine Beziehung zwischen dem selbstdualen Teil der Krümmung des Zusammenhangs und dem Schnitt.

Einfacher als Donaldsons Zugang ist das zum einen deshalb, weil U(1)-Bündel einfacher sind als SU(2)-Bündel: die abelsche Strukturgruppe vereinfacht die Berechnungen sehr. Außerdem waren Dirac-Operatoren inzwischen gut verstanden. Der Modulraum der neuen Gleichungen ist kompakt (das folgt aus der bekannten Lichnerowicz-Formel für den Dirac-Operator, mit der man zum Beispiel bei positiver Skalarkrümmung beweist, dass der Index des Dirac-Operators verschwindet und mit der man hier jetzt beweisen kann, dass bei positiver Skalarkrümmung der Lösungsraum leer ist), was die enormen technischen Komplikationen bei der Kompaktifizierung von Donaldsons Modulraum vermeidet.
Witten leitete in seiner Arbeit die wichtigsten Eigenschaften des Modulraums her. Die Berechnung der Dimension war eine Anwendung des Indexsatzes von Atiyah-Singer, wie sie auch bei zahlreichen anderen Dimensionsberechnungen vorkam, etwa bei Donaldsons Modulraum, bei magnetischen Monopolen, bei pseudoholomorphen Kurven oder bei dem zur Darstellungsvarietät einer Flächengruppe isomorphen Modulraum der Higgs-Bündel. Weiterhin kann man mit einer kleinen Störung der Seiberg-Witten-Gleichungen einen glatten Modulraum erreichen.

Donaldsons Methoden waren vor allem zur Untersuchung komplexer Flächen geeignet gewesen. Beispielsweise hatten Fintushel und Stern eine Methode zur Änderung der Differentialstruktur entwickelt und konnten mit Donaldsons Invarianten oft beweisen, dass die resultierenden Differentialstrukturen tatsächlich verschieden sind. Für viele 4-Mannigfaltigkeiten bekamen sie damit die Existenz unendlich vieler Differentialstrukturen. Die 4-Mannigfaltigkeits-Topologen waren seit Jahren beschäftigt mit technischen Problemen, die daraus resultierten, dass sie für topologische Eigenschaften passende Eigenschaften der Invarianten beweisen wollten.
So stießen die neuen Invarianten auf ein Umfeld, das genau wußte, was man mit ihnen machen wollte. Sie hatten die richtigen Fragen und plötzlich ein neues Werkzeug. Mit den neuen Methoden bewiesen die 4-Mannigfaltigkeiten-Topologen in kurzer Zeit eine Reihe von Vermutungen, an denen sie schon jahrelang gearbeitet hatten. Insbesondere bewiesen Kronheimer und Mrowka innerhalb weniger Wochen die Thom-Vermutung, dass die Flächen minimalen Geschlechts in einer Homologieklasse in H2(CP2;Z) gerade die algebraischen Kurven sind. Ihre 1994 in den Mathematical Research Letters veröffentlichte Arbeit The genus of embedded surfaces in the projective plane war nur zehn Seiten lang. Die Idee war, eine Fläche in der Homologieklasse dH (für den Erzeuger H von H₂(CP²)) in der d²-fachen Aufblasung von CP² zu betrachten. Während es beispielsweise für die Metriken positiver Skalarkrümmung keine Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichung gibt, kann man auf der Aufblasung Metriken konstruieren (mit großen Tubenlängen für die Umgebungsränder der aufgeblasenen Punkte), für die es dann doch Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen gibt. Mit diesen Lösungen bekommt man mit Hilfe der zweiten Gleichung dann aber Abschätzungen für die Krümmung der Fläche und vermittels Gauß-Bonnet also auch für ihr Geschlecht, woraus die behauptete Ungleichung folgt.

Berechnungen von Seiberg-Witten-Invarianten erfolgten zunächst für Kähler-Mannigfaltigkeiten. Clifford Taubes beschäftigte sich allgemeiner mit symplektischen Mannigfaltigkeiten und bewies in diesem Fall die Gleichheit der Seiberg-Witten-Invariante mit der pseudoholomorphe Kurven in einer Homologieklasse zählenden Gromov-Witten-Invariante. Ebenfalls im Kontext symplektischer Mannigfaltigkeiten gelang es Morgan, Szabó und Taubes, eine sehr viel allgemeinere Fassung der Thom-Vermutung zu beweisen (was dann auch Kronheimer und Mrowka gelang): in symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten sind symplektische Flächen nichtnegativer Selbstschnittzahl die Flächen minimalen Geschlechts in ihrer Homologieklasse. Ozsváth und Szabó bewiesen die Thom-Vermutung schließlich in ihrer allgemeinsten Form: für beliebige symplektische Flächen, nicht notwendig von nichtnegativer Selbstschnittzahl.

Weiteren Auftrieb bekam die niedrigdimensionale Topologie dann auch noch durch eine von Ozsváth und Szabó entwickelte neue Homologietheorie nach dem Vorbild der Floer-Homologie. Viele Fragen über 3- und 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten konnten damit angegangen werden.