Theorema Magnum MXMVII: das Scheffer-Shnirelman-Paradoxon

Lösungen von Differentialgleichungen haben oft eine hohe Regularität, d.h. sie sind häufiger differenzierbar als es für die Formulierung der Differentialgleichung eigentlich notwendig wäre. David Hilbert hatte deshalb als neunzehntes seiner 23 Jahrhundertprobleme die Frage nach der Analytizität von Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten gestellt. Das Problem wurde bereits 1903 von Sergei Bernstein gelöst für elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen. Später konnten unter anderem Leon Lichtenstein, Eberhard Hopf, Ivan Petrovsky und schließlich Charles Morrey allgemeinere Fälle lösen, Morrey bewies 1938 einen allgemeinen Regularitätssatz für quasi-lineare elliptische partielle Differentialgleichungen. (Im Beweis führte er ähnliche Funktionenräume wie Sobolew ein. Die kurz zuvor entwickelte Sobolew-Theorie lieferte eine Maschinerie, mit der man zwar nicht Analytizizät, aber beliebig häufige Differenzierbarkeit von Lösungen beweisen konnte.)

Eine vollständige Lösung gaben dann Ennio de Giorgi und John Forbes Nash in den 1950er Jahren. Nash interessierte sich für die Regularität der Lösungen parabolischer Differentialgleichungen mit meßbaren elliptischen Koeffizienten. Solche Regularitätsbeweise beruhen auf a-priori-Abschätzungen und ein entscheidendes Hilfsmittel für a-priori-Abschätzungen ist seit Bernsteins Arbeiten das Maximumprinzip. Dieses besagt in seiner klassischen auf Riemann zurückgehenden Form, dass eine harmonische Funktion ihr Maximum auf dem Rand annnimmt, oder in seiner stärkeren von Harnack gefundenen Form, dass für Lösungen der Wärmeleitungsgleichung eine nur von der Mannigfaltigkeit abhängende Konstante C gibt, so dass ist. Nach verschiedenen vorher bekannten Spezialfällen war das Maximumprinzip 1927 von Eberhard Hopf für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung bewiesen worden. John Nash bewies 1957 ein Maximumprinzip für parabolische Differentialgleichungen und Ennio de Giorgi gleichzeitig eines für gewisse elliptische Differentialgleichungen. Es stellte sich heraus, dass die beiden Resultate äquivalent zueinander waren, obwohl die Beweise unterschiedliche Methoden benutzten. Im elliptischen Fall folgte die Lösung für das neunzehnte Hilbert-Problem: die Minimierer des Integrals sind immer glatt, wenn F glatt und streng konvex ist. Im parabolischen Fall kann man zeigen, dass Gradientenflußgleichungen mit streng konvexer Energie glatte Lösungen haben.
Die Arbeiten von de Giorgi, Nash und Moser zeigten, dass Elliptizität die richtige Bedingung für eine Regularitätstheorie skalarer Differentialgleichungen in Divergenzform ist. Insbesondere hatte man daraus die Regularität für Minimierer konvexer Integrale herleiten können, was später noch partiell auf quasikonvexe Integrale verallgemeinert worden war.
Für Systeme -div σ(Dv)=0 mit v:Rn–>Rn gab es es Regularitätssätze für monotone und allgemeiner quasimonotone σ und man erwartete, dass Regularität auch in anderen Situationen gelten sollte.
In der Materialforschung befasst man sich auch mit Mikrostrukturen, Strukturen auf einer Skala zwischen atomaren und beobachtbaren makroskopischen Skalen. Mathematisch stößt man dort auf das Problem, Minimierer und minimierende Folgen einer elastischen Energie zu untersuchen. Für Materialien, die einen Phasenübergang zwischen zwei Festkörpern durchlaufen, ist W typischerweise nicht konvex. Die entsprechenden Variationsgleichungen sind also nicht elliptisch, sondern von gemischt elliptisch-hyperbolischem Typ.
Müller und Šverák fanden in den 90er Jahren überraschende 2-dimensionale Lösungen von -div σ(Dv)=0, die zwar Lipschitz-stetig sind und kompakten Träger haben, aber nirgends C1 sind. Diese konnten sie als Variationsgleichung eines Integrals bekommen, in dem W glatt und in einem von Morrey eingeführten Sinne sogar gleichmäßig quasikonvex ist.
Anders als frühere Gegenbeispiele zu Regularitätssätzen versuchten sie nicht, punktweise Singularitäten zu finden, sondern benutzten, dass die Gleichung mit gewissen großen Oszillationen von Du kompatibel ist, während kleine Oszillationen glatt sein müssen.
Die Methode war die von Gromov in seiner Dissertation 1969 eingeführte “konvexe Integration” zum Beweis von h-Prinzipien, eine weit über die Differentialgeometrie hinausreichende Weiterentwicklung der Methoden von Nash, mit der er die Existenz von C1-Lösungen bewiesen hatte für manche Differentialrelationen, die aus geometrischen Gründen keine C2-Lösungen haben konnten. Während es seit den 70er Jahren zahlreiche Arbeiten gab, in denen mittels Differentialinklusionen Beispiele irregulärer Lösungen verschiedener partieller Differentialgleichungen konstruiert wurden, wurde in der Arbeit von Müller und Šverak zum ersten Mal der Zusammenhang zwischen Differentialinklusionen und Gromovs h-Prinzip angewandt.