In der algebraischen Geometrie behandelt man Räume mittels der algebraischen Untersuchung der Ringe der auf ihnen definierten (algebraischen) Funktionen. Auch in anderen Gebieten der Mathematik betrachtet man oft geeignete Funktionenräume (in physikalischer Sprache: Observablen) statt der zugrundeliegenden Räume, zum Beispiel einfach die Algebra C0(X) der komplexwertigen stetigen Funktionen mit kompaktem Träger auf X. Diese Algebra ist eine C*-Algebra und kommutativ. Gelfand und Naimark bewiesen 1943, dass man jede kommutative C*-Algebra als C0(X) für einen geeigneten lokalkompakten Hausdorff-Raum X realisieren kann.
Auch nichtkommutative C*-Algebren sind in der Topologie von Nutzen. Wenn man etwa Gruppenwirkungen auf einem topologischen Raum oder Blätterungen auf einer Mannigfaltigkeit hat, dann ist der Quotientenraum oder der Raum der Blätter oft kein vernünftiger topologischer Raum (z.B. kann er eine antidiskrete Topologie haben, in der nur die leere Menge und der ganze Quotientenraum offen sind), man hat aber nichtkommutative C*-Algebren, die in gewisser Weise den Quotientenraum beschreiben.
Alain Connes hatte 1982 die Fields-Medaille für seine Arbeiten über von-Neumann-Algebren bekommen. Nach von Neumann und Murray werden Faktoren (von-Neumann-Algebren, deren Zentrum nur aus Vielfachen der 1 besteht) in drei Typen unterschieden, Typ I sind diejenigen mit abelscher Kommutante (das sind Algebren beschränkter Operatoren auf einem Hilberts-Raum), Typ II sind Algebren mit nichttrivialen endlichen, aber ohne minimale Projektionen, Typ III ist der Rest, also Algebren ohne endliche Projektionen. Connes hatte 1973 die Faktoren vom Typ III klassifiziert. Seit Anfang der 80er Jahre bewarb er den Ansatz, man solle die Theorie der C*-Algebren als eine Theorie nichtkommutativer Räume interpretieren, so wie die kommutativen C*-Algebren gerade den Algebren stetiger Funktionen auf lokalkompakten Hausdorff-Räumen entsprechen. Insbesondere wollte er mit geeigneten C*-Algebren wilde Quotientenräume oder Blatträume von Blätterungen untersuchen. Oft ging es aber auch nur darum, nichtkommutativen Algebren eine geometrische Bedeutung zuzuweisen. Populärstes Beispiel wurde der nichtkommutative Torus, die Algebra <U,V: VU=e2πiαVU> für irrationales α. Den assoziierte Connes zur Blätterung des Torus druch Geraden mit Anstieg α, dem einfachsten Beispiel einer Blätterung mit dichten Blättern.
Die wohl wichtigste Anwendung in der Theorie der Blätterungen war der 1986 von Connes und Skandalis bewiesene Indexsatz für Blätterungen. Der klassische Atiyah-Singer-Indexsatz, der den Index dim(Kern(D))-dim(Bild(D)) des Dirac-Operators D (oder allgemeiner eines elliptischen Differentialoperators) mit einer charakteristischen Klasse gleichsetzt, bedeutet die Gleichheit eines analytischen und eines topologischen Indexes für den Operator. Atiyah und Singer hatten dies 1971 verallgemeinert auf einen Indexsatz für Familien, wo man eine durch Punkte b eines topologischen Raumes B parametrisierte Familie von elliptischen Operatoren Db hat. Der Index ist dann keine Zahl, sondern ein Element der K-Theorie K0(B): zwar sind die Familien Kern(Db) und Bild(Db) keine Vektorbündel, weil die Dimension in einzelnen Punkten springen kann; sie springt allerdings in denselben Punkten, so dass die formale Differenz Kern(Db)-Bild(Db) ein wohldefiniertes virtuelles Vektorbündel ist, also ein Element in K0(B) – das ist der Satz von Atiyah-Jänich. Die Aussage des Familien-Indexsatzes war dann, dass dieser analytische Index mit einem topologischen Index übereinstimmt.
Die „Familien über B“ sind formal definiert als Faserbündel über B, also besonders einfache Blätterungen. Für beliebige Blätterungen hat man einen Raum der Blätter B, aber die Quotiententopologie kann zum Beispiel antidiskret sein. Connes verwendete statt K0(B) die K-Theorie der zur Blätterung assoziierten C*-Algebra und konnte so einen longitudinalen Indexsatz formulieren und mit Skandalis beweisen.
Die äquivariante Version des Atiyah-Singer-Indexsatz verallgemeinert die Fixpunktformel von Atiyah-Bott und gilt für Wirkungen kompakter Lie-Gruppen auf Mannigfaltigkeiten. Statt der Dimensionen des Kerns und Kokerns eines Dirac-Operators kommen dort (für Gruppenelemente g) die Spuren der Wirkung von g auf Kern und Kokern vor; die Aussage des äquivarianten Indexsatzes ist dann, dass der analytische und topologische Index als Abbildungen von der äquivarianten K-Theorie in den Darstellungsring der Gruppe übereinstimmen, mit anderen Worten dass die Differenz der Spuren durch Integration gewisser charakteristischer Formen berechnet werden kann.
In einer 1982 geschriebenen, aber bis 2000 unveröffentlichten Arbeit schlugen Baum und Connes vor, diese Indextheorie auf (kokompakte, eigentlich diskontinuierliche) Wirkungen beliebiger lokalkompakter Gruppen G auszudehnen. Statt den Wirkungen kompakter Gruppen betrachtet man also in der Regel unendliche, aber endlich erzeugte Gruppen. Dort definierten sie den äquivarianten topologischen Index als ein Element aus der äquivarianten K-Theorie des universellen eigentlichen G-Raums, und den äquivarianten analytischen Index als ein Element in der K-Theorie der reduzierten C*-Algebra von G. (Diese C*-Algebra ist definiert als Abschluß des Bildes von L1(G) in der Algebra der beschränkten Operatoren auf L2(G), für die reguläre Darstellung von G und damit L1(G) auf L2(G).) Zwischen diesen beiden K-Theorien gibt es eine Vergleichsabbildung, die den äquivarianten topologischen auf den äquivarianten analytischen Index abbildet. Die Baum-Connes-Vermutung besagt, dass diese Vergleichsabbildung ein Isomorphismus sei. Da die äquivariante K-Theorie mit topologischen Methoden berechnet werden kann, würde das die Berechnung der K-Theorie von Gruppen-C*-Algebren ermöglichen.
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