Aus der Baum-Connes-Vermutung folgt die Novikov-Vermutung über die Homotopie-Invarianz höherer Signaturen von Mannigfaltigkeiten. Diese höheren Signaturen sind gewisse in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe gebildete Kombinationen von Pontrjagin-Klassen. Pontrjagin-Klassen sind nicht homotopie-invariant, Sergei Novikov hatte aber 1966 ihre topologische Invarianz bewiesen und später vermutet, dass zumindest die höheren Signaturen auch homotopie-invariant sind, was er zunächst für abelsche Fundamentalgruppen bewies. Novikovs früherer Student Gennadi Kasparow entwickelte seit Ende der 70er Jahre die KK-Theorie, eine bivariante K-Theorie für Operatoralgebren, mit der er die Novikov-Vermutung angehen wollte. Connes und Skandalis hatten diese Theorie zum Beweis ihres Indexsatzes für Blätterungen verwendet. Kasparow bewies 1988 mit Hilfe der KK-Theorie die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung besitzen.
Die KK-Theorie wurde auch zum zunächst einzigen effektiven Zugang zur Baum-Connes-Vermutung. Die Idee war, darstellungstheoretische Methoden zu benutzen, um beide Seiten des mutmaßlichen Isomorphismus einzeln zu berechnen. Beispielsweise im Fall symmetrischer Räume G/K kann man jeder Darstellung von K den G-Index des getwisteten Dirac-Operators auf G/K zuordnen und die Baum-Connes-Vermutung ist (modulo einer K-theoretischen Vermutung) äquivalent dazu, dass dieses einen Isomorphismus des Darstellungsrings von K mit der K-Theorie der reduzierten C*-Algebra induziert. Für die von Harish-Chandra parametrisierte diskrete Serie von Darstellungen von K und auch in allgemeineren Fällen kann man das auch zeigen, aber das gibt noch nicht die gesamte Zerlegung der regulären Darstellung.
Tatsächlich stellte sich (vor allem durch Einsichten Weinbergers, der Indextheorie mit Chirurgietheorie verknüpfte) heraus, dass die Novikov-Vermutung aus der Baum-Connes-Vermutung folgen würde und man dafür von der Baum-Connes-Vermutung nur die Injektivität (sogar nur nach Tensorieren mit Q) benötigen würde, die viele für einfacher hielten als die Surjektivität. (Aus der Surjektivität würde aber eine andere Vermutung folgen, nämlich die Kaplansky-Vermutung, derzufolge es für torsionsfreie Gruppen G und beliebige Körper k keine Nullteiler im Gruppenring kG gibt.)
Unabhängig von der Baum-Connes-Vermutung bewiesen Connes und Moscovivi 1990 die Novikov-Vermutung für hyperbolische Fundamentalgruppen. Nichtkommutative Geometrie kam hier in Form der Vervollständigung des Gruppenrings der Fundamentalgruppe ins Spiel. Ihr Beweis benutzte Beschränktheit der Kohomologieklassen hyperbolischer Gruppen, was für negativ gekrümmte Mannigfaltigkeiten aus klassischen Vergleichssützen folgt, aber für hyperbolische Gruppen erst 1999 von Mineyev bewiesen wurde.
Alle Versuche, die Baum-Connes-Vermutung zu beweisen, bauten bis dahin auf einem Ansatz auf, den man als nichtlineare Version eines von Atiyah gefundenen indextheoretischen Beweises der Bott-Periodizität ansehen kann. Kasparows Methode benötigte die Konstruktion einer Homotopie zwischen der regulären und der trivialen Darstellung einer Gruppe. Sie konnte also nicht für Gruppen mit Eigenschaft T funktionieren, bei denen nach Definition die triviale Darstellung im Raum aller unitären Darstellungen isoliert ist. Diese Eigenschaft T haben zum Beispiel Gitter in symmetrischen Räumen vom Rang r>1 wie SL(r+1,R)/SO(r).
Gromov hatte (als Argument für die Beschäftigung mit hyperbolischen Gruppen) polemisiert, dass Aussagen über beliebige Gruppen ohne zusätzliche Annahmen entweder trivial oder falsch seien. Er war auch der Meinung, dass die Baum-Connes-Vermutung nur für bestimmte (möglichst geometrisch definierte) Klassen von Gruppen richtig sein würde und nicht für völlig beliebige Gruppen. So definierte er den Begriff der a-T-menabilität: Gruppen, die in einem starken Sinn die Eigenschaft T nicht erfüllen. Dazu gehören mittelbare Gruppen, Gitter in SO(n,1) oder SU(n,1), Spiegelungsgruppen und Gruppen, die eigentlich auf Bäumen oder Räumen mit Wänden wirken. Aus a-T-menabilität folgt die Einbettbarkeit der Gruppe in den unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum l2. Für solche Gruppen kann man, wie Higson und Kasparow in den 90er Jahren (veröffentlicht 2001) bewiesen, zwischen trivialer und regulärer Darstellung interpolieren, woraus mit Kasparows Methode also die Baum-Connes-Vermutung (sogar in einer allgemeineren Version mit Koeffizienten) folgt.
Eigenschaft T galt bis dahin als kaum zu überwindendes Hindernis für einen Beweis der Baum-Connes-Vermutung. Umso frappierender waren die Ergebnisse der Doktorarbeit „K-théorie bivariante pour les algèbres de Banach et conjecture de Baum-Connes“ von Vincent Lafforgue. Er bewies die Vermutung für Gruppen, die zwei Bedingungen erfüllen: sie sollen eigentlich, kokompakt, isometrisch auf stark bolischen Räumen (einer Verallgemeinerung hyperbolischer Räume) wirken und eine “schnelle Abfallbedingung” erfüllen, die besagt, dass für jedes Element des Gruppenrings CG die Operatornorm in der regulären Darstellung sich abschätzen läßt gegen ein Vielfaches der (mittels einer Längenfunktion auf der Gruppe) gewicheten l2-Norm. Damit bekam er die Vermutung nicht nur für kokompakte Gitter in SO(n,1) oder SU(n,1), sondern auch in Sp(n,1) und damit erstmals Beispiele mit Eigenschaft T. Lafforgue bewies seine Bedingungen auch für Gitter in SL(3,Qp) und für kokompakte Gitter in SL(3,R) und SL(3,C) und damit also die Baum-Connes-Vermutung für diese Gruppen, die alle Eigenschaft T haben. (Für SL(3,Z) blieb die Vermutung offen.) Weiterhin konnte Lafforgue aber mit Higson und Skandalis Gegenbeispiele zu der allgemeineren Version mit Koeffizienten – die Kasparow in seinen Arbeiten für seine Beispiele gezeigt hatte – finden. Die Gegenbeispiele benutzten die von Gromov entwickelte Theorie der Zufallsgruppen, die für Existenzbeweise von Expandern benutzt werden kann, welche insbesondere nicht in l2 eingebettet werden können.
Kommentare (1)