In der Zahlentheorie interessiert man sich für Zahlkörper, endliche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen. André Weil hatte beobachtet, dass Zahlkörper viele Eigenschaften mit Funktionenkörpern einer algebraischen Kurve über einem endlichen Körper wie Fp(t) gemeinsam haben. Diese sind einer geometrischen Behandlung zugänglich und deshalb einfacher zu verstehen. Man faßt Zahlkörper und Funktionenkörper unter der Bezeichnung „globale Körper“ zusammen. Das Gegenstück sind „lokale Körper“, zu denen R, C, endliche Erweiterungen der p-adischen Zahlen Qp oder der Körper der formalen Laurent-Reihen Fp((t)) gehören.
Zu einem globalen Körper F hat man zwei grundlegende Objekte, einerseits die absolute Galois-Gruppe
Die Langlands-Korrespondenz assoziiert zu jeder reduktiven Gruppe G eine duale Gruppe und sagt vorher, dass ein großer Teil der Spektralzerlegung von L2(G(A)/G(F)) von den Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe in die duale Gruppe bestimmt wird. Der interessanteste Fall ist natürlich G=GL(r), wo die duale Gruppe das direkte Produkt
Über Zahlkörpern hatte man keinen Zugang zur Langlands-Vermutung. Anders war das im Fall der Funktionenkörper, wo die Langlands-Vermutung zunächst 1976 von Wladimir Drinfeld für GL(2) bewiesen wurde. Während klassische Modulräume beispielsweise elliptische Kurven, abelsche Varietäten oder Hodge-Strukturen parametrisieren, hatte Drinfeld eine erstaunliche Idee für positive Charakteristik gehabt: er betrachtete Modulräume einer gewissen Struktur, die er als F-Garben bezeichnete. Später änderte er den Namen in Shtuka, das russische Wort für Stückchen. Sein Hauptsatz war eine Korrespondenz zwischen gewissen Darstellungen. Der Beweis war freilich auch bei Verleihung der Fields-Medaille 1990 noch unveröffentlicht. Für allgemeine GL(r) wurde die Langlands-Vermutung im Fall von Funktionenkörpern 2001 nach sechsjähriger Arbeit von Laurent Lafforgue bewiesen. Damit hatte man für diesen Fall jetzt ein vollständiges Verständnis der Langlands-Korrespondenz. Zu jeder algebraischen Varietät über F hat man dank Grothendieck l-adische Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe auf der etalen Kohomologie der Varietät und solche irreduziblen Darstellungen können irreduzible Motive ersetzen. Zu solchen Darstellungen hat man eine L-Funktion. Andererseits hat man dank Langlands’ Theorie der Eisenstein-Reihen automorphe Darstellungen von GL(r,A) als Bausteine der Spektralzerlegung von L2(G(F)/G(A)) und auch für diese kann man L-Funktionen aus den Eigenwerten gewisser kommutierender Hecke-Operatoren definieren. Die von Lafforgue bewiesene Vermutung Langlands‘ besagt, dass es eine L-Funktionen erhaltende Bijektion zwischen den automorphen Darstellungen und den l-adischen Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe gibt. Weiter bekommt er die Vermutung über die Eigenwerte automorpher Formen und eine Vermutung Delignes, derzufolge jede irreduzible l-adische Darstellung der absoluten Galois-Gruppe rein vom Gewicht 0 ist, d.h. für jede Stelle x von F, an der die Darstellung unverzweigt ist, und für jede Einbettung des algebraischen Abschlußes von Ql in die komplexen Zahlen sind die Eigenwerte von Frobp in x alle vom Absolutbetrag 1.
Lafforgues Beweisstrategie nutzte dabei den Ansatz Drinfelds: er betrachtete die l-adische Kohomologie des Modulstacks der Shtukas vom Rang r als eine Darstellung von GL(r,A)xGalxGal. Durch Vergleich von Arthurs Spurformel mit Grothendiecks Verallgemeinerung der Lefschetzschen Spurformel (für diejenigen Hecke-Operatoren, die automorphe Formen als ihre Eigenformen definieren, aber getwistet mit Potenzen von Frobp) versucht er in dieser Darstellung einen Unterquotienten mit einer bestimmten Zerlegung zu isolieren. Für den Vergleich der Spurformeln hat man zwei Probleme: man muß gewisse kombinatorische Identitäten als Spezialfall des sogenannten Fundamentallemmas beweisen, und man muß die Beiträge der “Fixpunkte im Unendlichen” in Grothendiecks Spurformel mit den gewichteten Bahnintegralen in Arthurs Spurformel vergleichen. Das erste Problem war auch im allgemeinen Fall von GL(r) bereits von Drinfeld gelöst worden, so blieb “nur” das zweite Problem, das Lafforgue nach sieben Jahren harter Arbeit löste. Tatsächlich hatte er nach diesen sieben Jahren geglaubt, dass er statt seines ursprünglichen Ansatzes einen einfacheren Beweis gefunden habe, der dann auch veröffentlicht wurde. Allerdings fand sich ein grundlegender Fehler und so schrieb er einen 600 Seiten langen völlig neuen Beweis mittels seines ursprünglichen Ansatzes, der dann in einer kompletten Ausgabe der Inventiones Mathematicae auf Französisch veröffentlicht wurde.
Zwei Jahre zuvor hatten Taylor and Harris ein entsprechendes Resultat für p-adische Körper F bewiesen: sie parametrisierten irreduzible zulässige Darstellungen von GL(n,F) durch Darstellungen einer gewissen zu F assoziierten Gruppe. Einen einfacheren Beweis fand dann Henniart. Beide Beweise waren global und beruhten letztlich auf einem Verständnis der l-adischen Kohomologie einer Familie von Shimura-Varietäten, höherdimensionalen Versionen der Modulkurve, die inzwischen eine grundlegende Rolle im Langlands-Programm spielten.
In einer anderen Richtung hatten Drinfeld und Laumon eine geometrische Variante des Langlands-Programms initiiert. Hier betrachtet man Kurven über einem Körper k und für eine reduktive Gruppe G den Modulstack der G-Bündel über X. Es soll dann eine Äquivalenz derivierter Kategorien zwischen einerseits D-Moduln auf diesem Modulstack und andererseits quasikohärenten Garben auf dem Modulstack der LG-lokalen Systeme geben (für die Langlands-duale Gruppe LG), wobei die Wolkenkratzergarben in der Kategorie der D-Moduln den Eigengarben aus der Theorie automorpher Formen entsprechen. Für abelsche Gruppen zeigte Laumon, dass dies durch die Mukai-Transformation realisiert wird. Der allgemeine Fall war aber völlig offen.
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