Gödel bei ARTE

Von Thilo / 20. November 2021 / 69 Kommentare

„Die Wahrheit ist eine zu ernste Sache als dass wir sie ausschließlich mathematischen Theorien überlassen sollten“, ist das Fazit eines neuen bei ARTE erstellten Videos:

Kommentare (69)

#1 Fluffy
19. November 2021
20. November 2021

Das war’s zu Gödel?
#2 hwied
20. November 2021

Ein brauchbarer Versuch die Unvollständigkeit einer Sprache zu erklären.
Mathematik ist eine Sprache !

Und bei der Mengenlehre überschreitet die Sprache der Mathematik die Grenze zur Sprache der Logik. Man denke nur an Hilberts Hotel.

Und die Sprache der Mathematik ist an Modelle gebunden. Die gesprochene Sprache ist auch an Modelle gebunden, wir nennen sie Realität, aber die gesprochene Sprache hat eine große Redundanz, sie kann mehrdeutig sein, sie hat Metaebenen. (Stufen der Erkenntnis)

Was jetzt Gödel betrifft, sein Versuch Gott zu beweisen, der wird ja bewusst missachtet, weil er zu logisch ist. Und Logik ist schon mal verdächtig, wenn sie sich auf etwas bezieht, was unlogisch sein soll, Gott.
Das Buch von Douglas Hofstadter „Gödel, Escher,Bach“ bietet da einen sehr interessanten
Einstieg in die Logik von gesprochener Sprache, Computersprachen, Sprache der Mathematik und Musik.
#3 Dr. Webbaer
20. November 2021

Sehr nett, das dankenswerterweise webverwiesene audiovisuelle Material, Thilo.
Sie haben da eine nette Quelle, Dr. W nimmt gerne die nicht zu langen Lektionen zur Kenntnis, zehn Minuten könnten hier ein gutes Format sein.

—
Die ‘Wahrheit’ als auf bestimmte Axiomatik zurückführbar, im tautologischen Sinne, existiert nur in der Formalwissenschaft, in der Mathematik beispielsweise und auch nur dann, wenn dort ein Wahrheitswert, ein Wahrheitsbegriff gepflegt wird.

—
In der Welt (das was “schaltet und waltet” ist gemeint, das Da Draußen sozusagen, aus Sicht des Denkenden und Erkennden), wird insofern vom erkennenden Subjekt (aus diesseitiger Sicht : am besten) der sog. szientifischen Methode (“Scientific Method”, gerne mal in die bekannte Online-Enzyklopädie schauen, die allerdings dafür keinen d-sprachigen Text bereit stellt (Warum eigentlich nicht?)) gefolgt, die mittlerweile – es wird ja dankenswerterweise nicht mehr physikalisch verifiziert, aus gutem Grunde nicht – die Falsifikation physikalischer Theorie sucht, was gelingen kann, wenn sich empirisch mit der Theorie inadäquate Datenlagen ergeben.

So dass alles naturwissenschaftlich trotz gewisser Widrigkeiten, auch i.p. Wahrheit, alles seinen gerechten Weg gehen kann.

—
In diesem Sinne ist diese Aussage unrichtig :

Die Wahrheit ist eine zu ernste Sache als dass wir sie ausschließlich mathematischen Theorien überlassen sollten.

Denn die Wahrheit, die Wahrheit TM sozusagen, bleibt (aus diesseitiger Sicht : am besten) dem Formalen und der so gemeinten Beschäftigung überlassen.
Wahrheit soll gerne auch nicht politisch behauptet werden, sondern es gilt politisch (aus diesseitiger Sicht) vor allem auf Datenlagen zu verweisen, die schön ordentlich zusammenzuführen sind, aber ihrem Wesen nach dabei ausschnittsweise, näherungsweise und an Interessen (!) gebunden erstellt werden müssen.

—
Im Politischen gilt womöglich der Satz “Wer Wahrheit sagt, will lügen!”, denn Wahrheit behauptend kann eigentlich nur (negativ zu konnotierende) Demagogie sein, oder?

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer (der Hilberts Idee eigentlich korrekt oder angemessen findet, nur vielleicht sollten hier Schichten und Schichtentrennung mathematisch ordentlich implementiert werden, so dass sich Gags der Art “Ein Lügner sagt, dass er lügt” nicht ergeben können)
#4 Dr. Webbaer
20. November 2021

@ Kommentatorenfreund ‘hwied’

Das Buch von Douglas Hofstadter „Gödel, Escher,Bach“ bietet da einen sehr interessanten
Einstieg in die Logik von gesprochener Sprache, Computersprachen, Sprache der Mathematik und Musik.

Ist hier gelesen worden, Dr. W war immer bei Hilbert, sicherlich ist die Mathematik eine Sprache, eine formale; sie muss aber nicht an der bekannten Unzulänglichkeit von sozusagen gewöhnlichen Humansprachen leiden, nur weil sie eine Sprache ist.

Dr. Webbaer mag insofern günstig angelegte (mathematische) Axiomatik und Herr Gödel ritt “ja nur” auf bestimmter Unzulänglichkeit der Zahlentheorie herum, sehr pfiffig, Lücken sozusagen suchend und destruktiv (was gut ist, Kritik muss nicht konstruktiv oder gar solidarisch sein).

Mathematische Axiomatiken können sozusagen sehr stabil sein, keine sozusagen Gödelschen Angriffsflächen bieten.
Auch im feuilletonistischen Sinne wäre dann sozusagen kein Honig zu saugen.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer
#5 hwied
20. November 2021

Dr. W.
inhaltlich betrachtet, also die Aussage von Gödel, dass eine Sprache sich nicht selbst beweisen kann, diese Einsicht ist ja schon seit den Griechen bekannt, nur Gödel hat sie formal dargelegt. Das war sein Verdienst.
Das gibt es ja das andere Parodoxon mit dem Rechtsgelehrten und seinem Schüler. Die hatten einen Vertrag geschlossen, dass wenn einer seiner Schüler einen Rechtsstreit verliert, sie ihm, dem Lehrer keine Studiengebühren zahlen müssen. Nach dem Ende des Studiums bezahlte einer seiner Studenten dem Lehrer tatsächlich die Studiengebühren nicht.
Der Lehrer verklagte seinen Schüler auf Zahlung.

Der Schüler entgegnete, “wenn ich diesen Prozess verliere” dann tritt unsere Vereinbahrung in Kraft, wenn ein Schüler seinen ersten Prozess verliert, dann braucht er keine Studiengebühren zu bezahlen. Der Lehrer zog kleinlaut seine Klage zurück.

Damit ist gezeigt, dass jedes logische System einen Widerspruch enthält, der nicht zu lösen ist.
#6 Dr. Webbaer
20. November 2021

@ Kommentatorenfreund ‘hwied’

Kurt Gödel hat spitzfindig nach bestimmten, möglichen Mängeln der Zahlentheorie gesucht, nur dort, und hat selbstverständlich gesamt mathematisches Vorhaben nicht angegegriffen.

Sicherlich ist die mathematische Tautologie sozusagen ein heißes Eisen, eine mathematische Sprache kann sich allerdings sehr wohl “selbst beweisen”, i.p. Kohärenz, wenn sie hinreichend sparsam ist sozusagen, ihre Axiomatik sozusagen stabil.

Insofern wird “Gödel” gerne auch im feuilletonistischen Sinne bearbeitet, ‘jedes logische System enthält’ selbstverständlich ‘keinen Widerspruch’, Herr Wied.

Dr. Webbaer geht, ganz spekulativ und ungehobelt sozusagen davon aus, dass der werte hiesige Inhaltegeber all dies durchschaut – und womöglich, er sieht sich ja anzunehmenderweise in bester hier passender Ausgangssituation, bei Aussagen wie ‘Die Wahrheit ist eine zu ernste Sache als dass wir sie ausschließlich mathematischen Theorien überlassen sollten!’ ein wenig schmatzt, womöglich in Münster (sofern er dort re-immigiert ist, Thilo ist ja auch mobil) von “Papa George” oder dem “Kochlöffel” münsteranisch gut bewirtet,

oder von der Mensa.

Vielleicht auch am sog. Aasee schmatzend.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer
#7 schlappohr
20. November 2021

sein Versuch Gott zu beweisen, der wird ja bewusst missachtet,weil er zu logisch ist.

Er wird keineswegs missachtet sondern heftig diskuiert. Aber dieser Beweis nimmt eine Reihe von Voraussetzungen als gegeben an, die im religösen Kontext betrachtet vielleicht sinnvoll, aber keineswegs beweisbar richtig, sondern sogar höchst fragwürdig sind.

Beispiel: Gödel setzt voraus, dass man jeder logischen Aussage, die naturgemäß wahr oder falsch sein kann, eine positive (im Sinne von guten) oder negative (schlechte) Eigenschaft zuweisen kann. Nun sind die Begriffe “gut” und “schlecht” menschliche Defintionen, die folglich erst seit der Entstehung des Menschen (oder der ersten hochentwickelten Lebensform in gesamten Universum) existieren können. Außerhalb menschlicher Wertesysteme sind diese Begriffe bedeutungslos.

Der Gödel’sche Gottesbeweis erinnert an einen Induktionsbeweis, dessen Schritt zwar gelingt, aber dessen Verankerung fehlt. Wie dem auch sei, wenn man spaßeshalber seine Voraussetzungen als erfüllt annimmt, so ist sein Beweis ein Lehrstück in mathematischer Logik. Es zeigt auf wunderbare Weise die Mächtigkeit der mathematischen Sprache, die weit über die Beschreibung in der Realität existenten Dinge hinaus geht.
#8 hwied
20. November 2021

Schlappohr,
Respekt für diesen Satz !
„Es zeigt auf wunderbare Weise die Mächtigkeit der mathematischen Sprache, die weit über die Beschreibung in der Realität existenten Dinge hinaus geht. „

Und ein zweiter Satz ist bemerkenswert „aber keineswegs beweisbar richtig, sondern sogar höchst fragwürdig sind. „ Das Wort fragwürdig hat es in sich. Es bedeutet , es ist einer Frage würdig.

Ja , die Mathematik mit den komplexen Zahlen, die kann man sogar als einen kleinen versuch ansehen, dem Wesen Gottes auf die spur zu kommen. Gott ist nicht nur ein Wesen, dem die Menschen Eigenschaften zuordnen.
Das wäre nur der Realteil. Darüberhinaus gibt es einen Imaginärteil, der sprachlich nicht in den Griff zu bekommen ist.
Immanuel Kant sagt selbts, der einzige Beweis (bei Gott) ist die Erfahrung.

Gott als komplexe Zahl , dabei kommen selbst die Theologen ins Schwitzen.
#9 Dr. Webbaer
20. November 2021

“+1” :
‘Der Gödel’sche Gottesbeweis erinnert an einen Induktionsbeweis, dessen Schritt zwar gelingt, aber dessen Verankerung fehlt.’ [Kommentatorenfreund “Schlapp”]
#10 hwied
21. November 2021

Logisches System und Widerspruch. Im Ausschnitt ist ein logisches System wie die natürlichen Zahlen widerspruchsfrei. Gelangen wir zu seinen Grenzen , kommt man ohne Axiome nicht aus. Beispiel die Null.
Durch 0 darf man nicht dividieren, die Mathematiker sagen das vornehmer, Die Division durch 0 ist nicht definiert.
Mit der Leeren Menge bei der Mengenlehre ist das ähnlich. Es gibt nur eine Menge, die sich nicht selbst als Element enthält. Beispiel ist das Fundierungsaxiom von John von Neumann, einer der klügsten Köpfe des 20. Jahrhunderts. Leider viel zu früh verstorben. “Die Besten gehen zuerst “
#11 Dr. Webbaer
21. November 2021

Dr. Webbaer sieht die Mathematik, die Fähigkeitslehre ist gemeint, sie taugt d-sprachig als Übersetzung der Mathematik. sozusagen als vollkommen an, wobei punktuelle gerne auch nachzufragen bleibt, bspw. wie von Kurt Gödel vorgenommen, so aber nicht die (hier gemeinte) Gesamtveranstaltung per se angegriffen werden kann.

MFG
WB
#12 hwied
in seinem Ledersessel
21. November 2021

Dr. W.
Die Verankerung fehlt. Kurt Gödel war ein religiöser Mensch. Das reicht schon mal als Verankerung. Wenn jetzt noch follower hinzukommen, schön wärs.
#13 Dr. Webbaer
21. November 2021

Bonuskommentar hierzu :

Die Wahrheit ist eine zu ernste Sache als dass wir sie ausschließlich mathematischen Theorien überlassen sollten. [Artikeltext]

Diese Aussage bleibt unrichtig, Dr. W rät hier jedem ab, wie neulinks, ökologstisch und deviant i.p. Sexus auch immer hier einzuarbeiten zu suchen.

Dr. Webbaer hat in neulinken, insbes. auch i.p. sog. Gender Studies bemühten Kreisen derartiges Vorkommen bemerkt.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer (der nur rein vorsichtshalber wie gemeinter Abartigkeit absagen will, in der sich abschließenden Grußformel, denkbarerweise die Vernunft auf seiner Seite weiß)
#14 schlappohr
21. November 2021

Die Verankerung fehlt. Kurt Gödel war ein religiöser Mensch. Das reicht schon mal als Verankerung.

Religiösität impliziert die Existenz eines Gottes, zumindest in den meisten Religionen. Du verwendest also den zu beweisenden Satz als Verankerung für dessen Beweis? Das ist der Münchhausen’sche Zopf(*) der mathematischen Logik.

Diese leichten Vibrationen im Boden stammen von Gödel, der sich im Grabe umdreht.

(*) Ich musste feststellen, es erfordert einige Übung, das fehlerfrei auszusprechen.
#15 hwied
21. November 2021

schlappohr
Deine Existenz impliziert schon einmal die Erkenntnisfähigkeit. Willst du die deswegen infrage stellen.
Um einmal eine klare Linie hineinzubringen, ich persönlich lehne logische Beweise ab, weil, wie schon Gödel herausgefunden hat, die Logik grundsätzlich nicht vollständig ist, mathematisch gesagt, sie ist notwendig , aber nicht hinreichend um unsere Existenz zu erklären.
Welchen Schluss zieht man daraus, mit Logik kann man die Liebe nicht erklären, die Hoffnung nicht und auch den Glauben nicht. Die gehören einer anderen Kategorie an.
Aber dass ein überragender Denker Gott für existent hält, das sollte Dir zu denken geben.
#16 schlappohr
22. November 2021

Willst du die deswegen infrage stellen.

Wollte ich meine eigene Existenz formallogisch beweisen (wie auch immer das gehen sollte), dann dürfte ich sie nicht voraussetzen. Ich dürfte diesen Beweis nicht einmal durchführen.

wie schon Gödel herausgefunden hat, die Logik grundsätzlich nicht vollständig ist

Genauer hat Gödel herausgefunden, dass sich in jedem formalen System (also dem System, in dem man logische Ausdrücke aufschreibt) Widersprüche konstruieren lassen.
Wie wir aber schon gestgestellt haben, geht die Mächtigkeit der Mathematik über das tatsächlich Existierende hinaus, und es müsste zunächst einmal festgestellt werden, ob die konstruierbaren Widersprüche eine reale Bedeutung haben.
Nehmen wir z.B. die Geschichte vom lügenden Kreter. Das ist ein logischen Problem, aber kein pyhsikalisches. Jeder Kreter kann die Inselbewohner kollektiv als Lügner bezeichnen, ohne dass dies negative Auswirkungen auf die Existenz des Universums hätte.

Aber dass ein überragender Denker Gott für existent hält, das sollte Dir zu denken geben.

Es gibt mir zu denken, dass dieser überragende Denker die von ihm selbst als unvollständig erkannte formale Logik immernoch für gut genug hielt, um damit die Existenz eines Schöpfers beweisen zu wollen, während du ihre Awendung völlig ablehnst.
Liebe, Hoffnung Glaube… wie definierst du diese Begriffe? Nüchtern betrachtet ist Liebe eine biochemische Reaktion in deinem Kopf, die sich im Laufe der Zeit als evolutionär vorteilhaft herausgestellt und damit den Weg in unser Arterhaltungsprogramm gefunden hat. Damit ist sie prinziell der Wissenschaft und damit der Logik zugänglich.
#17 hwied
22. November 2021

schlappohr,
gut, dass du auf meine Gedanken eingehst.
“formallogisch beweisen”, du hast gemerkt, dass die Logik letztlich nichts über die Realität aussagt. Mit Logikgatter kann man eine elektronische Schaltung bauen aber nicht erklären, warum ich gerade versuche, dir die Geisteswissenschaften näher zu bringen.
Was den Kreter betrifft, um jetzt mal konkret darauf einzugehen, mit der Formallogik lassen sich Fehler in der Diskussionstechnik aufzeigen, Tautologien finden, sogar die Theodizee ist als modus tolens entlarvt.
Glaube , Liebe und Hoffnung auf die Chemie zu reduzieren, das impliziert, dass sie keinen hohen Stellenwert bei dir haben.
Ich war heute Vormittag in der Kirche. Und…..es war himmlisch, ohne Chemie.
#18 hwied
in seinem chlorfreien Lieblingssessel
22. November 2021

Nachtrag, um das Thema wissenschaftlich anzugehen müssen wir uns einmal über Aussagenlogik, Semantik, Heuristik und Hermeneutik unterhalten.
Was wir in der Umgangssprache als logisch bezeichnen, das ist es in der Sprachwissenschaft nicht immer.
#19 schlappohr
22. November 2021

dass die Logik letztlich nichts über die Realität aussagt.

Die Mathematik ist die Seele der Realität (hat jemand gesagt, ich finde den Link nicht mehr). Die Realität tut nicht was sie will, sondern sie hält sich an Regeln, und diese sind durch die Logik beschreibbar. Nach allem was wir bisher wissen.
Und dein Gehirn, das mir die Geisteswissenschaften näher bringen will, besteht am Ende aus nichts anderem als einer großen Menge von einer Art Logikgattern. Für dich sicher eine Horrorvorstellung, für mich an Faszination kaum zu übertreffen.

Ich war heute Vormittag in der Kirche. Und…..es war himmlisch, ohne Chemie.

Bei mir war es der Herbstwald, ebenfalls himmlisch, umgeben von purer Biochemie und dennoch virenfrei, ohne Orgel und dennoch voller Musik, wenn man sie hören kann, ohne Weihrauch und dennoch voller Aroma, mit laubbedecktem Boden dessen Muster komplexer ist als jedes Kirchenornament, und trotz des kalten und ungemütlichen Herbsttages lebendiger als jedes Gemäuer. Jedem das seine.
#20 hwied
beim Frühstück
22. November 2021

schlappohr,
an dieser Stelle müssen wir unterscheiden zwischen Aussagenlogik, die logischen Verknüpfungen sind gemeint, und der Intelligenz, die Fähigkeit zu abstrahieren, die in der Philosophie verankert ist.
Es geht also um die Unterscheidung und Abgrenzung von Mathematik zur Philosophie.
Also im einzelnen:
“Das Gehirn besteht aus nichts anderem als einer großen Menge von einer Art Logikgattern.”

Durchaus keine Horrorvorstellung, ich liebe die Aussagenlogik, weil sie nur eine andere Form hat wie die Gesetze der Zahlenräume, manche behaupten sogar, die Logik kommt vor der Zahl.
Der Herbstwald und seine Wirkung auf dein Gemüt ist nicht logisch darstellbar. Hier geht es um Eindrucksqualitäten, die unser Denken beeinflussen und zwar bei jedem Menschen unterschiedlich. Das deutet darauf hin, dass das “Gefühlsleben ” noch anderen Gesetzen gehorcht als der Logik.
Soweit mal Schluss. Nein, noch nicht ganz. Der laubbedeckte Boden ist der komplexer als deine Phantasie zu dem laubbedeckten Boden ? Die ehrliche Antwort dazu wäre aufschlussreich.
#21 schlappohr
22. November 2021

Der laubbedeckte Boden ist der komplexer als deine Phantasie zu dem laubbedeckten Boden ?

Du willst damit sagen, dass ich die Komplexität der Natur in ihrer Gesamtheit mit Logik und Mathematik nicht erfassen kann, richtig?
Nun, ehrliche Antwort: Du hast recht. Aber das ist nicht der Kern der Sache. Es geht darum, das Prinzip zu verstehen, warum die Blätter ein so kompliziertes und immer wieder anderes Muster bilden können. Es geht nicht darum, den Zustand eines jeden Atoms im Universum zu bestimmen, darin läge keine Erkenntnis, es wäre nur eine Aufzählung. Es geht um das Verständnis warum Atome sich auf diese Weise organisieren, wie sie es tun, an welche Prinzipien sie sich halten.
#22 hwied
22. November 2021

schlappohr,
da sind wir einer Meinung.
Ich machte mit meinen Schülern oft kleine Ausflüge in den Wald. Dabei sammelten wir im Herbst angefaulte Aststücke.
Die untersuchten wir dann mit Auflichtmikroskopen in Partnerarbeit. Vergrößerung 20 – 30 x.
Einmal schrie eine Schülerin auf als sie in die Okulare schaute, es waren Stereomikroskope. Ich rannte hin schaute auch durch die Okulare, und ein “Untier” schaute mir direkt in die Augen. Spontan, wie ich bin machte ich einen Hochsprung aus dem Stand. Was ich da sah, das übertraf jede Phantasie . Ein Wurm mit einem großen Maul, Dinger, die wie Augen aussahen und der Wurm bewegte sich sie die Drachen in den Walt Disney Filmen.
Ich konnte die Tiere nicht benennen, aber , der Eindruck, den Schüler gewannen, der war bleibend. Die schauten alle wie geschockt. Da öffnete sich eine ihnen unbekannte Welt. Und nicht weit entfernt. Sie trugen sie sogar in ihren Händen. Meine Absicht war, den Schülern Respekt vor der Natur einzuimpfen. Es war mir auch gelungen, sogar bei mir selbst.
Jetzt zu deinem Fazit.
“Es geht um das Verständnis warum Atome sich auf diese Weise organisieren, wie sie es tun, an welche Prinzipien sie sich halten.”
Da bin ich auch der gleichen Meinung und darüber hinaus frage ich mich, warum gibt es diese Welt , nur so ?
#23 Frank Wappler
22. November 2021

hwied schrieb (#5, 20. November 2021):
> […] Parodoxon mit dem Rechtsgelehrten und seinem Schüler.

> Die hatten einen Vertrag geschlossen, dass wenn einer seiner Schüler einen Rechtsstreit verliert, sie ihm, dem Lehrer, keine Studiengebühren zahlen müssen.
> Nach dem Ende des Studiums bezahlte einer seiner Studenten dem Lehrer tatsächlich die Studiengebühren nicht. Der Lehrer verklagte seinen Schüler auf Zahlung.

> Der Schüler entgegnete, “wenn ich diesen Prozess verliere, dann tritt unsere Vereinbarung in Kraft” […]. Der Lehrer zog kleinlaut seine Klage zurück.

Und fortan enthielten Verträge, die von Rechtsgelehrten oder deren Schülern aufgesetzt wurden, zahlreiche Ausschlussklauseln, “im Kleingedruckten”.
#24 hwied
22. November 2021

Frank Wappler
so waren die Griechen bis in unsere Zeit hinein wirksam.
Hinweis auf die Ausschlussklauseln, sehr praktisch.
Bei den Versicherern sind so viele Risiken ausgeschlossen, dass man nach Fällen suchen muss, wo die Versicherung in Anspruch genommen werden kann.
#25 Dr. Webbaer
23. November 2021

Genauer hat Gödel herausgefunden, dass sich in jedem formalen System (also dem System, in dem man logische Ausdrücke aufschreibt) Widersprüche konstruieren lassen. [Kommentatorenfreund “Schlapp”]

Kurt Gödel hat auf sozusagen verschwurbeltem Wege die Zahlentheorie angegriffen, Dr. W kann sich vorstellen, dass hier auch (vglw.) schnell repariert werden könnte, Kurt Gödel hat nicht logisches System als generell widersprüchlich nachweisen können.
(“Logischerweise” nicht, kleiner Gag an dieser Stelle.)

Versuchen Sie, Kommentatorenfreund “Schlapp” (über die Namensherkunft dieses im Web verwendeten Pseudonyms ist Dr. Webbaer dankenswerterweise von Ihnen informiert worden und er trägt hier auch nicht nach, außer anzumelden sich erinnern zu können), gerne ein Gedankenexperiment mit einem logischen System, das widerspruchsfrei ist, zuvor von Ihnen entwickelt. [1]

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

[1]
Hausarbeit!
>:->
#26 Dr. Webbaer
23. November 2021

@ Herr Dr. Frank Wappler :

> […] Parodoxon mit dem Rechtsgelehrten und seinem Schüler.

> Die hatten einen Vertrag geschlossen, dass wenn einer seiner Schüler einen Rechtsstreit verliert, sie ihm, dem Lehrer, keine Studiengebühren zahlen müssen.
> Nach dem Ende des Studiums bezahlte einer seiner Studenten dem Lehrer tatsächlich die Studiengebühren nicht. Der Lehrer verklagte seinen Schüler auf Zahlung.

Schichtentrennung wichtich (mittelniederdeutsch) sein, Sie meinen womöglich :
1.) … dass unter dieser bestimmten Bedingungen auszuschließen ist Verabredung auf sie selbst (!) anzuwenden, ergo rekursiv.
2.) … (und nun metaphorisch), dass mit bestimmten, nur scheinbar existierenden Paradoxien idR oder immer (genau deshalb stand weiter oben ‘nur scheinbar existierend’) schnell fertig gewerden kann, wenn präzis und allgemein gültig formuliert wird.

Dies wäre dann aus diesseitiger Sicht vely logisch.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer
#27 schlappohr
23. November 2021

Mir ist nicht klar, warum diese Rechtsgeschichte ein Paradoxon sein soll. Der Gelehrte hat eine Regel geschaffen, die es dem Studenten ermöglicht, auf zwei verschiedene Wege zum gleichen Ergebnis zu kommen, und der Student hat diese Regel angewendet. Das Ergebnis ist konsistent und widerspruchsfrei: Er darf sein Geld behalten. Daraus entsteht kein Paradoxon wie z.B. bei der Russel-Antinomie.
Ehrlich gesagt ist mir überhaupt kein physikalisches Paradoxon bekannt, außer vielleicht der Existenz von Singularitäten in Schwarzen Löchern. Die ART fordert sie, die QM verbietet sie, beide Theorien gelten als bewiesen. Aber auch das ist vermutlich kein echtes Paradoxon sondern ein Rätsel, dessen Lösung eine Quantentheorie der Gravitation erfordert. So wie die Kosmologie schließlich eine Lösung für das Horizontproblem gefunden hat.
#28 hwied
23. November 2021

Laut dem Wörterbuch bedeutet paradox „scheinbar widersinnig“.
Wer den scheinbaren Widersinn sofort durchschaut, für den gibt es kein Paradoxon.
Viele Paraxdon beruhen auf der Rückbezüglichkeit. Der Lehrer hatte nicht bedacht, dass sein Student auch einmal sein Prozessgegner sein würde.
Bei Zenon mit der Schildkröte besteht der Widersinn darin, dass man mathematisch die Wegschritte immer mehr verkleinert und dabei die Zeitschritte ebenfalls, was sich mit der Realität nicht erreichen lässt.
Bei Russsel ist man auch schon darüber hinweg. Eine Menge, die sich nicht selbst enthält, da gibt es nur eine Möglichkeit, die leere Menge. Und von dieser leeren Menge, gibt es nur eine.
Die Menge aller Mengen, die ist schon ein logischer Widerspruch. Das herrenlose Damenrad, ist für Anfänger.
#29 Frank Wappler
23. November 2021

schlappohr schrieb (#27, 23. November 2021):
> Mir ist nicht klar, warum diese Rechtsgeschichte [#5, #23] ein Paradoxon sein soll. […]

Der Ausgang der Geschichte, nämlich dass der besagte Student (bzw. jeder hinreichend clevere Student) des Rechtsgelehrten keine Studiengebühren zahlen muss, läuft zuwider der (als allgemein angenommenen, “orthodoxen”) Erwartung, dass der Rechtsgelehrte von vornherein in der Lage gewesen wäre, Verträge so aufzusetzen, dass er selbst keinen Nachteil davon hätte (dass er seine Studenten so gut ausbildet, wie er zu bewerben und sich einzubilden scheint).

> Das Ergebnis ist konsistent und widerspruchsfrei

Gilt aber dennoch als Paradoxon im Sinne

»ein[es] Befund[es …, der] dem allgemein Erwarteten, der herrschenden Meinung […] zuwiderläuft«

> Daraus entsteht kein Paradoxon wie z.B. bei der Russell-Antinomie.

Daher die Abgrenzung durch den Begriff “Antimonie”.

p.s.
> Ehrlich gesagt ist mir überhaupt kein physikalisches Paradoxon bekannt, außer vielleicht […]

Ich kann mir keinen Messwert vorstellen, der die Messmethode, durch die er ermittelt würde, widerlegen könnte.
#30 Frank Wappler
23. November 2021

Frank Wappler schrieb (23. November 2021):
> […] Daher die Abgrenzung durch den Begriff “Antimonie”.

Sollte sein: Daher die Abgrenzung durch den Begriff “Antinomie”.
#31 Frank Wappler
23. November 2021

hwied schrieb (#28, 23. November 2021):
> […] Der Lehrer hatte nicht bedacht, dass sein Student auch einmal sein Prozessgegner sein würde.

(Auch nicht, dass seine Studenten womöglich gegeneinander prozessieren könnten; insbesondere um Lappalien, nur um dem jeweiligen Sieger die Studiengebühren zu sparen.)

Und ein “Rechtsgelehrter”, der Verträge aufsetzt und schließt, offenbar ohne solche Rechts-Situationen bedacht zu haben (die ihm zum Nachteil gereichen), ist ein unerwartet unfähiger, also ein paradoxer Rechtsgelehrter.

Jedenfalls finde ich den Titel der Geschichte (#5) durchaus passend. (Habe sie in meinem Kommentar #23 aber ein wenig editiert.)
Der im Kommentar #5 gezogene Konsequenz (»Damit ist gezeigt, dass jedes logische System einen Widerspruch enthält, der nicht zu lösen ist.«) schließe ich mich jedoch nicht an …

> Bei Zenon mit der Schildkröte [ und mit Achilles ] besteht der Widersinn darin, dass man mathematisch die Wegschritte immer mehr verkleinert und dabei die Zeitschritte ebenfalls, was sich mit der Realität nicht erreichen lässt.

Ich halte die damit verbundene Argumentation vor allem für vorgeschoben:
Es lässt sich doch ohne Weiteres ausrechnen, wie lange das Wettrennen noch gehen muss, bis Achilles die Schildkröte einholt:
$v_A * t_{\text{von-jetzt-bis-zum-Einholen}} =$ $v_S * t_{\text{von-jetzt-bis-zum-Einholen}} + \text{Vorsprung-S-vor-A}[ \, \text{jetzt} \, ].$

Die gedankliche Zerlegung des Rennens in immer kleinere Annäherungsschritte ist dafür ganz unnötig, sofern man die Geschwindigkeiten $v_A > v_S$ voraussetzen kann.

Womöglich war Zeno das aber durchaus klar; und es ging vielmehr um die Illustration des (mehr oder weniger paradox wirkenden) Gegensatzes, dass eine “nicht-enden-wollende” Beschreibung u.U. dennoch nur eine begrenzte (“endliche”) Strecke bzw. Dauer beschreiben kann.
(Mittlerweile haben wir uns daran gewöhnt, dass Konvergenz oder Divergenz Eigenschaften bestimmter “nicht endender” Zahlen-Folgen sind.)

> Bei Russell ist man auch schon darüber hinweg. Eine Menge, die sich nicht selbst enthält, da gibt es nur eine Möglichkeit, die leere Menge.

Nö. Die Menge aller Ameisen, z.B., ist selbst auch keine Ameise. (Sondern eher ein Normalfall.)

> Die Menge aller Mengen, die ist schon ein logischer Widerspruch.

Dieser Auffassung kann ich mich anschließen.
Unter Einsatz einer geeigneten Ausschlussklausel ließe sich aber informell-übersichtlich bestimmt von “der Menge aller Mengen außer ihrer selbst” sprechen; bzw. formal-ausführlich:

$\{ X : (X \equiv \{ P : P \in X \}) \text{ und } (X \neq \{ Y : Y \equiv \{ Q : Q \in Y \} \}) \}$ .
#32 Mussi
NORDWALDE
24. November 2021

@Frank Wappler
ART und QM sind das Daktylogranm der Physik. Die Gleichzeitigkeit von ” gleich und ungleich”.
Das Universunm ist “individual”. Den “Phasenwechsel” können wir nicht theoretisieren,nur leben.
Warum?
Weil wir Komplementärdaten nicht widerspruchsfrei in Logik verpacken können.
#33 hwied
24. November 2021

Mussi,
die Aussagenlogik ist ein künstliches Konstrukt, das in sich widerspruchsfrei ist. Die Aussagenlogik bezieht sich nur auf die Form der Aussage, nicht auf ihren Inhalt. Wenn du von Komplementätdaten sprichst, musst du angeben, was du damit meinst. Sollen das inhaltliche Aussagen sein, nur Zahlen ?
#34 Frank Wappler
24. November 2021

Frank Wappler schrieb (#31, 23. November 2021):
> [ »Die Menge aller Mengen, die ist schon ein logischer Widerspruch.« ] Dieser Auffassung kann ich mich anschließen.

Nein — das geht zu weit. Vorsichtiger lässt sich feststellen:
Die Idee einer “Menge aller Mengen” legt die dabei unterscheidbaren Fälle “einschließlich ihrer Selbst” oder “außer ihrer Selbst” nahe; deren ausdrückliche Berücksichtigung wiederum nützlich sein kann, um gewissen Widersprüchen auszuweichen, die sich ansonsten ergeben können (insbesondere Russells Antinomie).

> […] formal-ausführlich:
> $\{ X : (X \equiv \{ P : P \in X \}) \text{ und } (X \neq \{ Y : Y \equiv \{ Q : Q \in Y \} \}) \}$ .

Nein — das stimmt jedenfalls nicht (mit der informell-übersichtlichen Intuition überein). Sondern:

$\{ X : (X \equiv \{ P : P \in X \}) \text{ und } (X \neq \{ Y : (Y \equiv \{ Q : Q \in Y \}) \text{ und } (Y \neq X) \}) \}$ .
#35 hwied
24. November 2021

Frank Wappler,
Wenn ich die Russelsche Antinomie richtig verstehe, dann wird ihr Widerspruch aufgehoben, wenn man strikt zwischen Menge und Objekte oder Elemente unterscheidet. Eine Menge kann Mengen als Elemente enthalten, das ist sogar die wichtigste Eigenschaft, man nennt sie dann Untermengen oder Teilmengen,ein Element kann sich aber nicht als Element enthalten.

Die Forderung, eine Menge, die sich nicht als Menge enthält ist meiner Meinung nach falsch. Wie sollte die auch aussehen ? Ausnahme die leere Menge.
#36 hwied
24. November 2021

Korrektur: Die leere Menge enthält überhaupt keine Elemente, auch nicht die Null und auch nicht sich selbst.
#37 Jolly
24. November 2021

@hwied

Wenn ich die Russelsche Antinomie richtig verstehe

Tust du nicht.

Eine Menge kann Mengen als Elemente enthalten, […] man nennt sie dann Untermengen oder Teilmengen

Nein, dann nennt man die Mengen Elemente. Eine Untermenge oder Teilmenge der Menge würde wieder eine Menge von Mengen sein.
#38 Jolly
24. November 2021

@hwied

Die Forderung, eine Menge, die sich nicht als Menge enthält ist meiner Meinung nach falsch. Wie sollte die auch aussehen ?

Einfach wie die meisten Mengen eben, die einem so über den Weg laufen. Welche Menge enthält sich schon selbst?
#39 hwied
24. November 2021

Jolly
Drück dich nicht vor der Wahrheit.
Nenne eine Menge, die sich nicht selbst enthält.

Zurück zum logischen intuitiven Zugriff.
Die Menge aller Mengen, enthält sich selbst. Dann enthält die Menge aller Mengen die Menge aller Mengen + die Menge aller Mengen + die Menge aller Mengen. Du siehst ein, das geht so ohne Ende.
Ausweg: Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, aber dann……..es gibt keine Menge, die sich nicht selbst enthält.
Das ist die Antinomie.
#40 Jolly
25. November 2021

@hwied

Nenne eine Menge, die sich nicht selbst enthält.

Die Menge der natürlichen Zahlen.

(Die enthält keine einzige Menge, sondern nur Zahlen als ihre Elemente)

Das ist die Antinomie.

Nein, das ist Quatsch.
#41 Frank Wappler
25. November 2021

hwied schrieb (#35, 24. November 2021):
> Wenn ich die Russelsche Antinomie richtig verstehe, […]

Tust Du (leider) sicherlich nicht; denn offenbar hapert’s schon am Verständnis des Begriffs “Teilmenge” (einschl. ihrer Variante “echte Teilmenge”).

hwied schrieb (#39, 24. November 2021):
> Nenne eine Menge, die sich nicht selbst enthält.

Siehe meinen Kommentar #31:

Die Menge aller Ameisen, z.B., ist selbst auch keine Ameise.

Folglich, um das vermeintlich Offensichtliche nicht zu verheimlichen, ist die Menge aller Ameisen nicht selbst ein Element ihrer selbst;
d.h. die Menge aller Ameisen ist nicht in der Menge aller Ameisen enthalten.

Aber: die Menge aller Ameisen ist eine unechte Teilmenge ihrer selbst; sie ist nämlich schlicht sie selbst.

p.s.
> Die Menge aller Mengen, enthält sich selbst.

Um zu versuchen, direkt gegen diese Feststellung zu argumentieren, müsste man wohl Geschütze á la Russell-Whitehead auffahren; also Hierarchien von Mengen.
Ansonsten kann man diese Feststellung zunächst einmal hinnehmen (und sogar “plausibel finden”), sieht sich aber alsbald mit der Russell-Variante konfrontiert:
d.h. mit der Formulierung “Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.”, und der daraus folgenden Russell-Antinomie.

p.p.s.
Auf die Varianten mit Barbieren und Totengräbern hinzuweisen, um die von mir favorisierte “Lösung durch Ausschlussklauseln” zu illustrieren, erschiene an dieser Stelle vergebens und bestenfalls verfrüht.
#42 Frank Wappler
25. November 2021

Mussi schrieb (#32, 24. November 2021):
> […] Weil wir Komplementärdaten nicht widerspruchsfrei in Logik verpacken können.

Offenbar doch: https://en.wikipedia.org/wiki/Complementarity_(physics)#Mathematical_formalism

Wir können unterscheiden, ob gegebene (Mess-)Operatoren paarweise kompatibel sind, oder nicht;
und wir können zu (so gut wie?) jedem (Mess-)Operator $\hat x$ entsprechende komplimentäre (alias “konjugierte”) Operatoren symbolisieren: $\hat { \left( \pm i \, \frac{d}{dx} \right) }$ .

Was insbesondere ein Ausdruck der Produktregel für Ableitungen ist:
$\frac{d}{dx} \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \left( x \cdot \psi ) \, \right] = \frac{d}{dx} \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! x \, \right] \cdot \psi + x \cdot \frac{d}{dx} \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \psi \, \right] = \psi + x \cdot \frac{d}{dx} \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \psi \, \right]$ .

Diese (abstrakte, oberflächliche) mathematisch-formale Beschreibung solcher Zusammenhänge setzt aber voraus, dass jeder darin erwähnte (Mess-)Operator von vornherein und an sich sorgfältig konstruiert und ausdrücklich anwendbar ist, und sich die Komplimentaritäts-Beziehung aus den Zusammenhängen der betreffenden Definitionen ergibt;
sowohl z.B. zwischen den (Mess-)Operatoren für “Ort” (bzw. “Entfernungen” von festgehaltenen Mitgliedern eines gewählten Bezugssystems) und “Impuls” (bzgl. den Mitgliedern dieses Bezugssystems), als auch zwischen der “insgesamt kohärent transmittierenden Verteilung von Pfaden/Löchern/Spalten zwischen Signalquelle und Bildschirm” und der “Verteilung der Signalintensität über gegebene Pfade/Löcher/Spalte”.
#43 Jolly
25. November 2021

@hwied, @Frank Wappler

Die Menge der natürlichen Ameisen ist auch ein geeignetes Beispiel.
#44 Frank Wappler
25. November 2021

Jolly schrieb (#40, 25. November 2021):
> [»Nenne eine Menge, die sich nicht selbst enthält.« ] Die Menge der natürlichen Zahlen.

Richtig. Die Menge der natürlichen Zahlen, d.h. aller natürlichen Zahlen, enthält nur natürliche Zahlen; aber nicht sich (die Menge aller natürlichen Zahlen) selbst.

> (Die enthält keine einzige Menge, sondern nur Zahlen als ihre Elemente)

Siehe aber von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen.

Dabei wird jede natürliche Zahl als Menge aufgefasst.

Jolly schrieb (#38, 25. November 2021):
> Welche Menge enthält sich schon selbst?

Zum Beispiel: “alle Mengen”, zusammengefasst und verstanden als “ein Ganzes”, d.h. als (die) eine “Menge aller Mengen”.

Und dann erst recht: “Alles”, zusammengefasst und verstanden als “ein Ganzes”.

(Wer solche Beispiele als “naiv” zurückweisen wollte, handelt sich wahrscheinlich “Komplikationen” ein. …)
#45 Jolly
25. November 2021

@Frank Wappler

Danke. Dazu gäbe es sicher noch eine Menge mehr zu sagen.
#46 Jolly
25. November 2021

Sorry, da ist der Bezug abhanden gekommen.

“Alles”

Dazu gäbe es sicher noch eine Menge mehr zu sagen.
#47 hwied
25. November 2021

Jolly, Wappler,
Da hat sich eine Ungenauigkeit eingeschlichen.
Dass die Menge der natürlichen Zahlen , die Zahlen als ihre Elemente enthält ,ist klar.
Das meinte ich aber nicht.
Ich meine, dass sich eine Menge X selbst als als Menge enthalten kann. (Als unechte Teilmenge)
Die Menge x enthält dann zwei Elemente, sich selbst als unechte Teilmenge und die leere Menge.
Oder ist das per Definition nicht zulässig.
Die unechte Teilmenge, ich nenne sie x ‘ hat die gleich en Elemente wie die Ausgangsmenge x , mit dem Unterschied, dass deren Elemente, die von x’, nicht die Elemente von x sind.
Die Auffassung von Neumann , die Zahl sei eine Menge, die ist nachdenkenswert.
Eine Zahl ist ja auch das Ergebnis von vielen Funktionen. Die Zahl Pi z.B. kann auf verschiedene Arten erzeugt werden. Und diese unendlichen Reihen bilden zusammen eine Menge, die dann den Namen Pi bekommt. Ob das praktische Auswirkungen hat, kann ich nicht überblicken.
#48 Frank Wappler
25. November 2021

hwied schrieb (#47, 25. November 2021):
> […] Ich meine, dass […]

Aber Du drückst Dich (leider) nicht so aus, dass mir verständlich wäre und ich mir sicher wäre, was genau Du meinst. …

Macht nichts! — Es gibt wohl nur ein paar relevante Möglichkeiten; also benenne und diskutiere ich sie alle:

1. $X \equiv \{ X, a, b, ... \}$ ,
d.h. Menge $X$ enthält sich selbst (als ein Element); eventuell zusammen mit weiteren, anderen Elementen $a, b, ...$ , die alle wiederum verschieden von $X$ und paarweise verschieden voneinander sind.

Solche Fälle wurden von Russell und den Entwicklern der Mengenlehre in Betracht gezogen, aber in ihren denkbaren Varianten und Konsequenzen für so problematisch befunden, dass sie “in der heute maßgeblichen Mengenlehre” absichtlich und (so gut wie) von vorn herein (durch dafür geeignete Axiome) ausgeschlossen wurden.

Sollte man derartige Fälle dennoch für diskutabel halten wollen, dann muss man Axiome so wählen, dass sowohl Russells Antinomie als auch z.B. die beiden Cantorschen Antinomien nicht herleitbar wären.

2. Sowohl $Y \equiv \{ a, b, c, d, ... \}$ als auch $Y \equiv \{ c, d, ... \}$ , wobei ausdrücklich $a, b \not\in \{ c, d, ... \}$ ;
soll heißen: “Menge $Y$ ist eine echte Teilmenge ihrer selbst”.

Dann wäre sowohl $a \in Y$ (d.h. es existiert “etwas”, genannt $a$ , das ein Element der Menge $Y$ ist, nämlich ausdrücklich in $\{ a, b, c, d, ... \}$ auftritt),
als auch $a \not\in Y$ bzw. $\lnot (a \in Y)$ (denn $a$ soll ausdrücklich nicht in Menge $\{ c, d, ... \}$ enthalten sein, damit Menge $\{ c, d, ... \}$ eine echte Teilmenge von $\{ a, b, c, d, ... \}$ ist; obwohl beide gleichermaßen auch als “Menge $Y" identifiziert sein sollen). Damit sind einander direkt widersprechende Aussagen konstruiert; also ist der Fall 2 schlicht inkonsistent und damit ausgeschlossen. Es ist eben ganz grundsätzlich inkorrekt, manifest-konstituiv ungleiche Mengen wie$ latex \{ a, b, c, d, … \}$ und $\{ c, d, ... \}$ mit dem selben Symbol (hier $Y$ ) zu benennen.

(Es sei denn, der Vorschlag der Möglichkeit einer “Menge, die auch eine echte Teilmenge ihrer selbst ist”, ist derart genial und ungewöhnlich, dass ich ihn gar nicht richtig analysiert habe. … ;)
#49 Frank Wappler
25. November 2021

hwied schrieb (#47, 25. November 2021):
> […] Ich meine, dass […]

Aber Du drückst Dich (leider) nicht so aus, dass mir verständlich wäre und ich mir sicher wäre, was genau Du meinst. …

Macht nichts! — Es gibt wohl nur ein paar relevante Möglichkeiten; also benenne und diskutiere ich sie alle:

1. $X \equiv \{ X, a, b, ... \}$ ,
d.h. Menge $X$ enthält sich selbst (als ein Element); eventuell zusammen mit weiteren, anderen Elementen $a, b, ...$ , die alle wiederum verschieden von $X$ und paarweise verschieden voneinander sind.

Solche Fälle wurden von Russell und den Entwicklern der Mengenlehre in Betracht gezogen, aber in ihren denkbaren Varianten und Konsequenzen für so problematisch befunden, dass sie “in der heute maßgeblichen Mengenlehre” absichtlich und (so gut wie) von vorn herein (durch dafür geeignete Axiome) ausgeschlossen wurden.

Sollte man derartige Fälle dennoch für diskutabel halten wollen, dann muss man Axiome so wählen, dass sowohl Russells Antinomie als auch z.B. die beiden Cantorschen Antinomien nicht herleitbar wären.

2. Sowohl $Y \equiv \{ a, b, c, d, ... \}$ als auch $Y \equiv \{ c, d, ... \}$ , wobei ausdrücklich $a, b \not\in \{ c, d, ... \}$ ;
soll heißen: “Menge $Y$ ist eine echte Teilmenge ihrer selbst”.

Dann wäre sowohl $a \in Y$ (d.h. es existiert “etwas”, genannt $a$ , das ein Element der Menge $Y$ ist, nämlich ausdrücklich in $\{ a, b, c, d, ... \}$ auftritt),
als auch $a \not\in Y$ bzw. $\lnot (a \in Y)$ (denn $a$ soll ausdrücklich nicht in Menge $\{ c, d, ... \}$ enthalten sein, damit Menge $\{ c, d, ... \}$ eine echte Teilmenge von $\{ a, b, c, d, ... \}$ ist; obwohl beide gleichermaßen auch als “Menge $Y$ ” identifiziert sein sollen).

Damit sind einander direkt widersprechende Aussagen konstruiert; also ist der Fall 2 schlicht inkonsistent und damit ausgeschlossen. Es ist eben ganz grundsätzlich inkorrekt, manifest-konstituiv ungleiche Mengen wie $\{ a, b, c, d, ... \}$ und $\{ c, d, ... \}$ mit dem selben Symbol (hier $Y$ ) zu benennen.

(Es sei denn, der Vorschlag der Möglichkeit einer “Menge, die auch eine echte Teilmenge ihrer selbst ist”, ist derart genial und ungewöhnlich, dass ich ihn gar nicht richtig analysiert habe. … ;)
#50 hwied
25. November 2021

Frank Wappler
erst mal vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Die Schwierigkeiten liegen ja nicht nur in der innewohnenden Logik und ihren Widersprüchen, sondern auch in der korrekten Beschreibung.
Das Aussonderungsaxiom ist die einfache Methode, von der Menge die sich selbst enthält zu beheben.
Jetzt zur Sprache.1. Ist eine Teilmenge Element einer Menge ?
2. Dazu ein praktisches Beispiel. Man kauft Walnüsse.
Ich habe eine Einkaufstasche. Ich schütte die Walnüsse in die Einkaufstasche. Dann ist die Einkaufstasche die Menge und die Nüsse sind ihre Elemente.
Oder ich verpacke die Nüsse vorher mit einer Tüte, dann sind die Nüsse die Elemente der Menge Tüte. Und die Tüte ist eine Teilmenge der Menge Einkaufstasche. Oder ist die Tüte ein Element der Menge Einkaufstasche oder sind beide Aussagen gleichwertig. ?
tut mir leid , dass ich so banale Fragen stelle, für mich sind die aber spannend.
#51 hwied
25. November 2021

Nachtrag: Das Problem mit der Tüte in der Einkaufstasche liegt darin, ob die Nüsse , wenn sie in der Tüte sind nicht mehr Element der Menge Einkaufstasche sind. Oder sind sie auch Element der Menge Einkaufstasche.
Bei den Zahlenräumen sei 3 ein Element der natürlichen Zahlen. die 3 ist aber auch ein Element der ganzen Zahlen. Und die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Also ist die 3 sowohl Element der natürlichen Zahlen als auch der ganzen Zahlen. Dann müssen die Walnüsse in der Tüte Element der Menge Tüte sein als auch Element der Menge Walnüsse. Das kommt mir aber dann unlogisch vor.
#52 Frank Wappler
25. November 2021

hwied schrieb (#50, 25. November 2021):
> […] Jetzt zur Sprache. […]

Es gibt eben wesentliche Unterschiede zwischen der üblichen, eher toleranten aber durchaus praktischen Alltagssprache, die man “mit der Muttermilch aufgesogen” hat, und der für ihre Zwecke geeigneten strikten Fachsprache, in der bestimmte Formulierungen eben genau und ausschließlich eine bestimmte Bedeutung haben, und [1] die auch unmittelbar der dafür gebräuchlichen Notation entspricht.

Zur Alltagssprache fällt mir das Beispiel vom Koffer am Flughafen ein, an dem ein Spürhund nach Schmuggelware schnüffelt.
Dem Hund und dem Zoll ist es bestimmt egal, ob die Schmuggelware unmittelbar lose im Koffer liegt, oder nochmals in einem Geschenkpaket oder in einer kleinen Handtasche eingepackt ist, die ihrerseits im Koffer liegen.

Ein (Karikatur-)Mathematiker, der korrekt aber stur in seiner Fachsprache denkt und kommuniziert (insbesondere, wenn es um’s “Enthaltensein” geht), würde sagen:
“Der Koffer enthält ausschließlich die Handtasche, das Geschenkpaket, und [2] einiges loses, unverdächtiges Zeugs wie ein paar Hemden und Socken.
(In Klammern: Hoffentlich kommt der Zöllner nicht auf die Idee zu kontrollieren, was genau das Geschenkpaket seinerseits ausschließlich enthält.)”

Ein Merksatz zum Fachsprach-Gebrauch ist (ganz bestimmt):
Eine Menge enthält genau und ausschließlich jedes ihrer Elemente.

Und wenn es um die Beziehung zwischen einer Menge und ihren Teilmengen geht, dann verwendet man das Verb “enthalten” in der Fachsprache eben (ganz bestimmt) grundsätzlich nicht.
(Wem diese Abweichung vom Alltags-Sprachgebrauch das schwerfällt, muss das eben trainieren, um Verwirrung und Missfallen zu vermeiden.)

Sondern man sagt: “Die Menge hat bestimmte Teilmengen.” und “Eine bestimmte Menge ist Teilmenge einer bestimmten anderen Obermenge.” und “Eine bestimmte Menge ist die gemeinsame Teilmenge zahlreicher bestimmter anderer Obermengen.”

(Noch ein Beispiel zur letzteren Formulierung: “Diese Hemden habe ich letztes Weihnachten von Mama geschenkt bekommen; zusammen mit Fliegen, die ich aber kaum trage.”, oder “Diese Hemden wasche ich immer zusammen mit diesen Socken.”)

p.s.
Einige, insbesondere geeignet komplexe Beispiele zur Veranschaulichung und zum Üben der Bezeichnungen (sowohl von Beziehungen zwischen Mengen und den Elementen, die sie enthalten, als auch von Mengen und den Teilmengen) finden sich in diesem Wikibooks-Kapitel.

[1] — habe ich erst im Nachhinein bedacht und hinzugefügt, denn:

[2] — ist immer noch “zu Alltags-sprachlich”. Stattdessen, d.h. genau entsprechend der gebräuchlichen anwendbaren Notation, müsste jedes der Hemden und jede der Socken einzeln aufgezählt werden; ganz zu schweigen vom “sonstigen Zeugs”.
#53 Jolly
25. November 2021

@hwied

sind beide Aussagen gleichwertig. ?

Ja, beide sind nichts wert.

1. Ist eine Teilmenge Element einer Menge ?

Nicht von der Menge, von der sie eine Teilmenge ist (*), aber von deren Potenzmenge.

(*)
@Frank Wappler: Nicht [zwingend] von
#54 hwied
25. November 2021

Frank Wappler,
Super, mit dem Hinweis auf die Potenzmenge bin ich jetzt einen Schritt weiter.
Jetzt kommen die Logikverknüpfungen dran.
#55 Jolly
25. November 2021

Jetzt kommen die Logikverknüpfungen dran.

Das macht mir (Jolly) nun wirklich Angst.
#56 hwied
in einem Teilmöbel
25. November 2021

Jolly,
du hast es geahnt, jetzt bist du dran. Es geht nämlich um den Gedanken von Frank Wappler: ” Menge, die auch eine echte Teilmenge ihrer selbst ist”
Wenn man diesen Gedanken auf einen Fotozoom anwendet, dann muss die Vergrößerung des Fotos
also ein Ausschnitt, ein Teil, das Gleiche zeigen wie das Ausgangsfoto. Zum Glück trifft das bei dir nicht zu.
Aber es trifft auf die Fraktale zu. Wenn man die vergrößert sieht man immer das gleiche sich wiederholen. Bei den Fraktalen nennt man das Selbstähnlichkeit.
Du brauchst keine Angst mehr zu haben. Die Selbstähnlichkeit trifft auf dich nicht zu.
Wenn man dich aber verknüpft, was dann passiert, da musst du Angst haben.
#57 Mussi
Nordwalde
26. November 2021

@Frank Wappler
Sie haben + und – in ein Schriftbild verpackt. Sie haben aber nicht + und – ,wie “und” und “oder”, zusammengebracht.
#58 Mussi
Nordwalde
26. November 2021

@Frank Wappler
Axiome?!
#59 Frank Wappler
26. November 2021

hwied schrieb (#56, 25. November 2021):
> […] Es geht nämlich um den Gedanken von Frank Wappler:
> ”Menge, die auch eine echte Teilmenge ihrer selbst ist” […]

Mit dieser verkürzten Darstellung bin ich nicht einverstanden!
Stattdessen hatte ich (im Kommentar #49) lediglich versucht zu interpretieren, was Du, hwied, in Kommentar #47 gemeint haben wolltest; und ich habe dann umgehend nach Kräften versucht nachzuweisen, dass diese genannte Interpretation widersprüchlich und damit als eigentlich undenkbar zu verwerfen ist.

> auf einen Fotozoom an{ge]wendet, dann muss die Vergrößerung des Fotos
also ein Ausschnitt, ein Teil, das Gleiche zeigen wie das Ausgangsfoto.
> […] Bei den Fraktalen nennt man das Selbstähnlichkeit.

Diese Idee ist ja nicht völlig abwegig. (Und sie überrascht mich nicht …)
Aber: Der Vergleich hinkt.
Sofern es nämlich nicht etwa um (Gedanken an) eine “Menge mit Ähnlichkeit zu einer (bestimmten) Teilmenge ihrer selbst” geht;
sondern, ganz genau wie ober zitiert, um (Gedanken an) eine ”Menge, die auch eine echte Teilmenge ihrer selbst ist”.

In der Foto-Analogie hieße das, dass ein Ausschnitt des Original-Fotos nicht nur ähnlich aussieht (wie man es tatsächlich von Fraktalen kennt), sondern ganz genau gleich dem Original ist; also insbesondere von vornherein genau gleich groß ist, auch ohne “Zoom”. Und zweifellos wäre das absurd.

Aber: womöglich hast Du ja in #47 gerade solche Fraktal-artige Ähnlichkeit gemeint; und mir ist gerade diese Interpretation im Rahmen von #49 entgangen (ohne dass ich etwa einen Anlass hätte, mich dafür zu entschuldigen). Auch gut! — dann versuche ich eben, die entsprechende Interpretation und Analyse hiermit nachzuholen:

3. Ob es (mendestens) eine Menge gibt, die (mindestens) einer ihrer echten Teilmengen “ähnlich ist“?

Dafür bedarf es zunächst einmal einer hinreichend genauen Festsetzung, was denn dabei überhaupt mit “Ähnlichkeit” gemeint sein soll. (Genaue Gleichheit jedenfalls nicht, denn das entspräche der absurden “Interpretation 2”, die schon behandelt wurde.)

Und gerade dafür hatte Cantor eine geniale Idee: Man nehme/betrachte “Ähnlichkeit” im Sinne von “gleicher Mächtigkeit (alias Kardinalität).

In diesem Sinne gibt es tatsächlich Mengen, die ähnlich (also gleich mächtig) zu bestimmten geeigneten echten Teilmengen ihrer selbst sind;
und das heißt konkret: Mengen und bestimmte geeignete ihrer Teilmengen, zwischen denen (mindestens) eine strikte, vollständige, umkehrbare eins-zu-eins-Beziehung (oder noch ausführlicher: je-genau-ein-Element-zu-je-genau-einem-Element-Beziehung) angegeben werden kann.

Und zwar trifft diese Beschreibung tatsächlich auf jede unendliche Menge zu.
Bekanntes Beispiel (von sehr vielen):
Zwischen der Menge aller natürlichen Zahlen und (mindestens) einer ihrer echten Teilmengen, nämlich der Menge aller geraden natürlichen Zahlen lässt sich z.B. die folgende besonders einfache eins-zu-eins-Beziehung angeben:

$b[ \, n \, ] := 2 \, n$ ;

oder etwas wortreicher:
“die erste gerade Zahl sei 2”, “die zweite gerade Zahl sei 4”, … “die n-te gerade Zahl sei 2 n”, … (usw.)
.
#60 hwied
26. November 2021

Frank Wappler,
Jetzt gilt es etwas klarzustellen,
Der Bildausschnitt bei einer Vergrößerung ist keine Teilmenge des Ursprungbildes ! Kein einziges Pixel der Vergrößerung stimmt mit den Pixeln des Ursprungbildes überein. Denken wir physikalisch in Pixeln und nicht in Eindrucksqualitäten.
Bei den Fraktalen kann man aber einen Ausschnitt , der eine echte Teilmenge ist, so in der Größe und im Ausschnitt anpassen, dass jedes Pixel des Ausgangsbildes einem Pixel des Ausschnittes entspricht. Wenn man die mit einer XOR Verknüpfung übereinanderlegt, dann bekommt man als Vereinigungsmenge nur noch logischen Nullen. Die Grundmenge ist gleich seiner Teilmenge.
Anmerkung falls du nicht mit der XOR Verknüpfung vertraut bist, hier die Wahrheitstabelle
A …. B… A XOR B
1 …. 0……. 1
1 …. 1……. 0
0 …. 1……. 1
0 …. 0……. 0

Nur wenn A und B ungleich sind, bekommt man eine logische 1, d.h. man sieht einen Pixel.
Wenn A und B gleich sind , bekommt man eine logische 0 , man sieht keine Pixel
So kann man überprüfen, ob zwei Fotos gleich sind.
#61 hwied
gerade gut gelaunt.
26. November 2021

Nachtrag,
mit dem Pixelbeispiel sieht man, dass es hier nicht mehr nur um Ähnlichkeit geht, wie auch bei den Kardinalzahlen, physikalisch gesehen sind die Anzahl der Pixel gleich und ihre Position gleich.
#62 Frank Wappler
http://www.ma.rhul.ac.uk/akay/teaching/latex/
26. November 2021

Mussi schrieb (#57, 26. November 2021):
> Sie haben + und – in ein Schriftbild verpackt. […]

Im Kommentar #42, ja, wobei mir die Darstellung (von zum Operator $\hat x$ konjugierten Operatoren) darüberhinaus etwas missglückte;
gemeint war eher soetwas: $\widehat { \left( \pm i \, \frac{d}{dx} \right) }$ .

Und dabei war $\pm$ im Sinne von “es ginge sowohl $+$ als auch $-$ ” gemeint:

Sofern es darum geht, zum gegebenen (selbstadjungierten) Operator $\hat x$ einen (ebenfalls selbstadjungierten) Operator $\hat K$ zu finden und ausdrücklich anzugeben,
die zusammen die Bedingung
$\langle \, (\hat x \, \hat K - \hat K \, \hat x) \psi, (\hat x \, \hat K - \hat K \, \hat x) \psi \, \rangle = 1$
erfüllen,
eignet sich offenbar $\hat K := \widehat { \left( i \, \frac{d}{dx} \right) }$
ebenso gut wie $\hat K := \widehat { \left( -i \, \frac{d}{dx} \right) }$ .

(Rein mathematisch ist das an sich recht banal. Bedeutendere Konsequenzen daraus, etwa im Zusammenhang mit dem Begriff der Parität (in der Physik), kann ich aber nicht ausschließen.)

p.s.
Mein Versuch einer ausfühlichen Darstellung der Produktregel für Ableitungen in #42 war auch schiefgegangen; gemeint war:

$\frac{d}{dx} \! \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \! \! \! \left( x \cdot \psi \right) \, \right] = \left( \frac{d}{dx} \! \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \! \! x \, \right] \right) \cdot \psi + x \cdot \left( \frac{d}{dx} \! \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \! \! \psi \, \right] \right) = \psi + x \cdot \frac{d}{dx} \! \left[ \phantom{\frac{d}{dx}} \! \! \! \! \! \! \psi \, \right].$
#63 Frank Wappler
27. November 2021

hwied schrieb (#60, 26. November 2021):
> […] Bei den Fraktalen kann man aber einen Ausschnitt, der eine echte Teilmenge ist,

… im Zusammenhang mit Fraktalen spricht man ja auch ganz ausdrücklich und zurecht von Mengen (im strikten, mathematischen Sinne);
insbesondere von bestimmten Mengen komplexer Zahlen …

> so in der Größe und im Ausschnitt anpassen,

… jedenfalls abbilden, “Element zu Element” (“Punkt zu Punkt”, “Zahl zu Zahl”) der Ausgangsmenge bzw. Gesamtmenge zuordnen, und dadurch “skalieren (insbesondere ohne allzu sehr zu verbiegen oder gar zu zerreißen)” …

> dass jedes Pixel des Ausgangsbildes einem Pixel des Ausschnittes entspricht.

Wobei aber nicht von “technischen Pixeln” der (digitalen, oder auf physischen Atomen beruhenden) Fotografie und Druckerei die Rede ist, sondern genauer von Punkten, Zahlen(-Werten), Elementen mathematisch-abstrakter Mengen; und zwar unbedingt von unendlich vielen verschiedenen solcher Elemente.

> Die Grundmenge ist gleich seiner Teilmenge.

Eine echte Teilmenge kann (im Ausschnitt geeignet) aus der Grundmenge ausgewählt und dann in Größe (und, sofern erforderlich, in Orientierung und “groben Zügen der Form”) angepasst, skaliert, abgebildet werden;
und zwar so, dass das Ergebnis dieser Anpassung, d.h. das Bild wiederum in jeder Hinsicht genau gleich der Grundmenge ist.

Die Teilmenge ist nicht (von vornherein, in jeder Hinsicht) gleich der Grundmenge;
sondern die Teilmenge kann der Grundmenge strikt, vollständig, umkehbar, eins-zu-eins zugeordnet werden.

(Das ist jedenfalls ein Unterschied, auf den Mathematiker wertlegen, und der entsprechend sprachlich ausgedrückt wird.)
#64 M
27. November 2021

@Frank Wappler
Nimmt man und betrachtet man ausschließlich den Komplex der Operatoren und setzt sie in Beziehung,dann ist es nach meinem Dafürhalten ” kinderleicht” zu erkennen,dass Gödel nicht über die Zahlentheorie hätte gehen müssen.
Er hätte eigentlich nur feststellen müssen,dass die Operatoren existent sind (komplementär) und wäre zum gleichen Ergebnis gekommen.
Aber das ist wohl dem ‘Zeitgeist’ geschuldet.
@hwied
Wenn Sie jetzt noch annehmen,dass die Operatoren nicht vom ‘Heiligen Geist’ kommen, dann sind Sie ganz nah an Erleuchtung… 🙂
#65 hwied
in seinem beleuchteten Lieblingssessel
27. November 2021

M
Alles Geistige kommt vom Heiligen Geist, woher denn sonst. Bitte um eine Alternative !
#66 M
27. November 2021

@hwied
Meine These: Die Operatoren liegen ‘im’ Elektromagnetismus.
Jetzt könnten Sie einwenden,woher der EM kommt.
Spekulation.
#67 hwied
27. November 2021

M
es ist richtig, wir sehen die Welt durch die “elektromagnetische Brille”. Was wir sehen verstehen wir durch den Geist. Ohne Geist wären wir nur ein Stück Fleisch.
#68 M
27. November 2021

@hwied
Ja,jetzt können wir wieder spekulieren,wo der Wechselwirkungsmechanismus her kommt. Wechselwirkung zwischen Wissen und Glaube.
#69 hwied
27. November 2021

M
Du hast es kapiert, nicht nur das Wissen verändert die Welt, auch der Glaube.
Ein Sportler, der nicht an seinen Sieg glaubt, der hat es schwer zu gewinnen.
Wer nicht an das Gute im Menschen glaubt, der ist schnell enttäuscht von der Schwäche der Menschen.
Ich glaube, M, du bist noch offen für Neues.
Bleib gesund!

Gödel bei ARTE

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