Theorema Magnum MMVII: Serres Modularitätsvermutung

Delignes zu Modulformen assoziierte Darstellungen sind ungerade (d.h. komplexe Konjugation wird auf Multiplikation mit -1 abgebildet) und absolut irreduzibel (irreduzibel und nur an endlich vielen Stellen verzweigt). 1973 stellte Serre dann in einem Brief an Tate die Modularitätsvermutung auf: jede (absolut irreduzible, stetige und ungerade) Galois-Darstellung über einem endlichen Körper soll auf diese Weise durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen (in der Charakteristik des endlichen Körpers und mit Koeffizienten im endlichen Körper) gegeben sein. Die Wirkung der Galois-Gruppe ist durch Hecke-Operatoren und es gelten gewisse Formeln für Spur und Determinante.

Diese Vermutung ist stärker als die Modularität elliptischer Kurven. Letztere wurde in dem für den großen Satz von Fermat benötigten Spezialfall 1995 von Wiles-Taylor und allgemein dann 2001 von Breuil-Conrad-Diamond-Taylor bewiesen. Die Vermutung Serres ist aber allgemeiner und auch wichtiger dank zahlreicher zahlentehoretischer Anwendungen.

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Shimura, Deligne, Mazur und Langlands bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform eine solche Darstellung zuordnen kann, Serres Modularitätsvermutung behauptete nun die Umkehrung. Sei ρ eine absolut irreduzible, stetige und ungerade (d.h. komplexe Konjugation wird auf -id abgebildet) zweidimensionale Darstellung von über einem endlichen Körper Charakteristik l, dann soll ρ durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe der Stufe N=N(ρ), Gewicht k=k(ρ), und Nebentypus festgelegt sein, wobei Modulformen in Charakteristik l mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in F betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung soll durch die Hecke-Operatoren gegeben sein, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung . Für alle Primzahlen p, die Nl nicht teilen, soll und sein. Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt.

Serre vermutete sogar und zeigte dies explizit an Beispielen, dass sich die Parameter der Darstellung ρ wie Stufe, Gewicht und Nebentypus explizit berechnen lassen. Das ist die 1987 von ihm formulierte starke Serre-Vermutung. Für l≥5 (Diamond) und mit wenigen Ausnahmen auch für l=3 folgt die starke Serre-Vermutung aus der schwachen.

Für l=2,N=1 bewies Tate die Serre-Vermutung 1973 in seinem Antwortbrief an Serre zwei Monate später. Seinen Beweis konnte Serre auch für l=3,N=1 anwenden. Es gab danach lange keine Fortschritte bis schließlich 2005 Chandrasekhar Khare die Vermutung für N=1 und beliebige Primzahlen l bewies, aufbauend auf gemeinsamer Arbeit mit Wintenberger, in der sie kurz zuvor l=5 und l=7 für N=1 behandelt hatten. In zwei 2007 geschriebenen und 2009 in Inventiones Mathematicae veröffentlichten Arbeiten „Serre’s modularity conjecture“ I, II bewiesen Khare und Wintenberger dann die allgemeine Vermutung mit Ausnahme einiger Fälle, die aber gleichzeitig von Kisin gelöst wurden.