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Das Gespenst der Geometrie

Von / 13. Dezember 2021 / 11 Kommentare / Seite 2 von 3 / Auf einer Seite lesen
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Das sehr viel schwerere dreidimensionale Problem ist als Kepler-Vermutung bekannt. Deren Geschichte begann Ende des 16. Jahrhunderts, als der englische Seefahrer Walter Raleigh seinen mathematischen Assistenten Thomas Harriot nach einer Formel für die Anzahl der Kanonenkugeln in einem gegeben Stapel fragte. Harriot lieferte diese Formel und fragte sich dann, wie man die Anzahl der Kanonenkugeln im Laderaum eines Schiffes maximiert. Dieses Problem formulierte er in einem Brief an Johannes Kepler, der daraufhin 1611 die Broschüre “Vom sechseckigen Schnee” veröffentlichte mit der vermuteten optimalen Anordnung von Kugeln, deren Dichte \frac{\pi}{\sqrt{18}} ist. Das und sehr viel mehr zur Geschichte kann man nachlesen in George Szpiros 2011 in deutscher Übersetzung erschienenem Buch Die Keplersche Vermutung.

Die dreidimensionale Kepler-Vermutung wurde bekanntlich von Thomas Hales gelöst. “Was Früchteverkäufer seit Jahrhunderten wissen, hat endlich auch die Mathematik bewiesen: Platzsparender als bei den kunstvoll aufgetürmten Orangen-Pyramiden auf dem Wochenmarkt kann man Kugeln nicht aufeinanderschichten.” schrieb die ZEIT im März 1999.

Hales’ Beweis benutzte umfangreiche Computerrechnungen und die Gutachter meinten seinerzeit, sie seien (nur?) zu 99 Prozent von der Richtigkeit des Beweises überzeugt. Hales startete deshalb 2003 ein Projekt, einen formalen computerlesbaren Beweis zu erstellen, der von HOL überprüft werden kann. Dieses Projekt wurde 2014 zu einem erfolgreichen Abschluß gebracht. Das Resultat war der Satz

|- import tame classification \wedge the nonlinear inequalities
\Longrightarrow the kepler conjecture,

wobei the kepler conjecture definiert ist durch

Die Erklärung dazu findet man auf der Webseite des Flyspeck Project (meine Übersetzung):
Für jede Packung V (gegeben durch die Mittelpunkte der Kugeln vom Radius 1) gibt es eine den Fehlerterm kontrollierende Konstante c, so dass für jedes r\ge 1 die Anzahl der Kugelmittelpunkte innerhalb eines kugelförmigen Behälters vom Radius r höchstens \pi r^3/\sqrt{18} plus ein Fehlerterm kleinerer Ordnung ist. Für r gegen unendlich gibt das die Dichte \pi / \sqrt{18}= 0.74\ldots, was die Dichte der flächenzehtrierten kubischen Packung ist.

In höheren Dimensionen war lange nichts bekannt. Eine Arbeit von Maryna Viazovska lieferte schließlich im März 2016 die optimale Dichte \frac{\pi^4}{384} in Dimension 8.

Bemerkenswerterweise hatte diese Lösung der 8-dimensionalen Version der Kepler-Vermutung einen viel kürzeren Beweis als das 3-dimensionale Problem. Viazovskas Arbeit “The sphere packing problem in dimension 8” bewies die Optimalität der durch das E8-Gitter gegebenen 8-dimensionalen Kugelpackung auf nur 22 Seiten (von denen ein Teil expositorisch ist, z.B. erhielt der Leser nebenbei noch eine Einführung in die Theorie der Modulformen). Der Beweis baute noch auf einer älteren Arbeit von Cohn und Elkies auf, die aber auch nur 25 Seiten lang war. Neben der Kürze überraschte am Beweis vor allem die Methodik: wichtigstes Werkzeug im Beweis sind Modulformen, sonst eigentlich ein unverzichtbares Werkzeug der Zahlentheorie.

Das Schlagwort E8 wird vielen aus der Physik bekannt sein, nicht zuletzt durch die Ende der Nuller Jahre diskutierte Exceptionally Simple Theory of Everything, die die größte exzeptionelle Lie-Gruppe E8 benutzte. Die Lie-Algebra dieser Lie-Gruppe wird durch ein Wurzelsystem aus 240 Wurzeln im R8 beschrieben, welches (nach Projektion in den dreidimensionalen Raum) so aussieht:

Dieses Gitter im 8-dimensionalen Raum wird durch eine einfache Formel beschrieben: \left\{(x_1,\ldots,x_8)\in Z^8\cup(Z+\frac{1}{2})^8: x_1+\ldots+x_8 = 0\ mod\ 2\right\}. Die 8-dimensionalen Kugeln vom Radius 1 um diese Gitterpunkte liefern eine Kugelpackung der Dichte \frac{\pi^4}{384}.

Cohn und Elkies hatten in einer 2003 veröffentlichten Arbeit gezeigt, dass man mittels der Fourier-Transformation \widehat{f}(y)=\int_{{\bf R}^n}f(x)e^{-2\pi ix.y}dx sogenannter “zulässiger Funktionen” f\colon{\bf R}^n\to{\bf R} obere Schranken für die Dichte von Kugelpackungen beweisen kann. Die “zulässigen Funktionen” sind Funktionen, für die \vert f(x)\vert \le C(1+\vert x\vert)^{-n-\delta}, \vert\widehat{f}(y)\vert\le C(1+\vert y\vert)^{-n-\delta} mit geeigneten Konstanten C und δ gilt. Für eine beliebige solche Funktion mit f(x)\le 0 für \vert x\vert \ge 1 und \widehat{f}(y)\ge 0 für alle y bewiesen Cohn und Elkies, dass \frac{f(0)}{\widehat{f}(0)}\frac{\pi^\frac{n}{2}}{2^n\Gamma(\frac{n}{2}+1)} eine obere Schranke für die Dichte jeder n-dimensionalen Kugelpackung liefert. Für n=8 gibt das die obere Schranke \frac{f(0)}{\widehat{f}(0)}\frac{1}{16}\frac{\pi^4}{384} und um die Optimalit\”at des E8-Gitters zu beweisen musste dann also “nur” noch eine den Ungleichungen genügende zulässige Funktion mit \frac{f(0)}{\widehat{f}(0)}=16 gefunden werden. Viazovskas Konstruktion einer solchen Funktion f benutzte verschiedene Modulformen, nämlich die j-Funktion und die Theta-Funktionen. Der Ausdruck für die gesuchte Funktion war dann ziemlich kompliziert, er besteht aus 8 Summanden, die jeweils Integrale von verschiedenen Kombinationen dieser Funktionen sind, der fünfte Summand sah beispielsweise so aus: \int_{-1}^i 128(\frac{\theta_{00}(z)^4+\theta_{01}(z)^4}{\theta_{10}(z)^8}+ \frac{\theta_{00}(z)^4+\theta_{10}(z)^4}{\theta_{01}(z)^8})e^{\pi i\parallel x\parallel^2z}dz, die anderen Summanden waren ähnlich kompliziert. Mittels der Symmetrieeigenschaften und der Abschätzungen für Fourierkoeffizienten von Modulformen wurde in ihrer Arbeit letztlich bewiesen, dass die konstruierte Funktion f die gewünschten Eigenschaften hat und es also nach Cohn-Elkies keine dichteren Kugelpackungen als das E8-Gitter geben kann.

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Kommentare (11)

  1. #1 rolak
    13. Dezember 2021

    \end{document}

    LaTexel LaTaxel LaBoum 😀 St.Martin ist schon einen Monat her…
     
     
    Schöne Zusammenstellung!

  2. #2 Der, dessen Name nicht genannt werden darf
    13. Dezember 2021

    Es gibt keinen “dreidimensionalen Raum”.

  3. #3 hwied
    13. Dezember 2021

    Den Raum gibt es vielleicht nicht, aber das.
    Erinnert sei an die Frauenmode mit den großen Reifröcken. Selbst wenn sie wollten konnten sich die Frauen nicht direkt berührern. Nehmen wir einmal an, so ein Reifrock hat einen Durchmesser von 1,20 m, dann ist der Abstand von Personenmitte zu Personenmitte 1,20m. Bei korpulenteren Damen könnte man auch auf 1,50 m Rockdurchmesser kommen.
    Frage : Wie wird der Abstand zwischen zwei Personen gemessen ?
    Von Mund zu Mund, was sinnvoll wäre, weil ja die Virenlast aus dem Mund kommt. Von Fußabdruck zu Fußabdruck ?
    Tipp: Im Zeitalter der Elektronik mit Laserentfernungsmesser könnte man doch leicht solche in den Gürtel integrieren oder in den Hut. Bei Unterschreitung von 1,50 mit von Entfernungsmesser zu Entfernungsmesser geht dann auf dem Kopf ein rotes Blinklicht an.
    In der Weihnachtszeit sogar passend zur roten Zipfelmütze.

  4. #4 echt?
    14. Dezember 2021

    Sehr schöner Text – da habe ich was gelernt!

  5. #5 hwied
    wider das Bienenmuster
    14. Dezember 2021

    Flächenaufteilung.
    Wenn man den Boden in Sechsecke aufteilt, dann gibt es keinen Rest. Liebe Leute, wenn das publik wird, werden wir nur noch mit 6-Ecken zugepflasterte Böden sehen.
    Und wer denkt an die Mikroorganismen darunter, sollen die verdursten ? Eine ökologisch richtigere Lösung wäre die Flächenaufteilung in Kreisflächen.
    Nehmen wir einen großen Kreis mit dem Radius 4,5 m, dann passen in diesen großen Kreis 7 kleine Kreise mit dem Radius 0,75 m. Die füllen die Fläche fast vollkommen aus, aber sie lassen etwa 28 % des großen Kreises offen, da kann es dann hineinregnen und in den Lücken wachsen Gänseblümchen und Gras. Und es sieht schöner aus.

  6. #6 hwied
    etwas nachdenklich
    15. Dezember 2021

    Nachtrag Flächenaufteilung,
    Über die psychische Wirkung von Flächen
    Ein bekannter Maler hat sich mit Flächen einen Namen gemacht. Er heißt Piet Mondrian. Ein Museum im Schwäbischen hat ihm zu Ehren eine Ausstellung gemacht. Alle Wände waren mit Bildern von Quadraten und Rechtecken zugehängt. Die Folge: Viele Leute mussten mit Herzattacken die Ausstellung verlassen.
    Und jetzt schauen Sie sich einmal unsere Gehwege an. Nur Rechtecke und Quadrate. Wundert es da noch, dass die Leute lieber auf ihr Smartphone schauen ?
    Also, Quadrate, Sechsecke , Rechtecke sollten nicht zur Abstandsbestimmung bei Corona verwendet werden.

  7. #7 Beobachter
    im Badischen
    16. Dezember 2021

    @ hwied, # 6:

    ” … Alle Wände waren mit Bildern von Quadraten und Rechtecken zugehängt. Die Folge: Viele Leute mussten mit Herzattacken die Ausstellung verlassen. … ”

    Wegen der vielen Bilder von Quadraten und Rechtecken an den Wänden?!
    Sind Sie da sicher, und gibt es für diese Behauptung gesicherte, seriöse Quellen/Belege?
    Kann es nicht eher z. B. an zu engen (im Schwäbischen wird ja traditionell arg gespart), schlecht gelüfteten Ausstellungsräumen gelegen haben?
    Und/oder handelte es sich gerade um eine besonders dafür anfällige Senioren-Besuchergruppe?
    Wenn P. Mondrian das wüsste, dass er und seine Bilder an massenhaften Herzattacken schuld sein sollen … !
    Das hätte er bestimmt nicht gewollt.
    🙂

    Und dass die Leute wegen der grauen viereckigen Betonplatten auf unseren Gehwegen/in unseren Fußgängerzonen lieber auf ihr Smartphone starren, halte ich für ein Gerücht. Denn das hat sicherlich andere Gründe.
    Wie war das nochmal mit “Kausalität und Korrelation”?

    Aber Gras und Gänseblümchen (# 5) finde ich auch schöner und entspannender als nur graue eckige Boden-Betonplatten.
    🙂

  8. #8 hwied
    16. Dezember 2021

    Beobachter,
    gut , dass Sie auf mein “lustiges” Argument eingehen.
    Also, ich war selbst bei den Besuchern und ich habe selbst das Museum verlassen müssen. Wir waren eine Gruppe von etwa 20 und ich habe mich mit anderen Leuten unterhalten, denen es genauso ging.
    Wenn man 1 1/2 Stunden farbige Quadrate anschaut,
    nicht nur von Mondrian, dann geschieht etwas mit uns, das nenne ich die Wirkung von Kunst. Kunst ist nicht nur eine unnütze Zugabe, Kunst hat Auswirkung auf unsere Psyche. Man kann von Kunst krank werden. Das Wort “Herzattacke ” war etwas krass, Herzenge trifft es besser. Seitdem habe ich Respekt vor Kunst !

    Dass Sie Gänseblümchen entspannend finden, das ehrt sie und lässt erkennen, dass sie ein empfindsamer Mensch sind.
    Also nochmal zu unseren Städten. Die können Menschen krank machen , sogar aggresiv. In Chikago hat man einen ganzen Wohnkomplex abgerissen, weil die Kriminalitätsrate explodierte. Nicht weil die Menschen schlecht sind, sondern weil der seelenlose Baustil Frauen krank macht und Männer aggressiv.

    Und jetzt bekommt die Überschrift “Gespenst Geometrie” einen Sinn. Geometrische Form , gemeint ist das Quadrat, macht krank.
    Nachtrag zum Smartphone. Das war wirklich lustig gemeint aber vielleicht ist da auch etwas dran.

  9. #9 Beobachter
    16. Dezember 2021

    @ hwied, # 8:

    Na denn, dann wünsche ich Ihnen lustige, entspannende und besinnliche Weihnachten –
    und vor allem: bleiben Sie gesund und hüten Sie sich vor zu viel Quadraten … 🙂

  10. #10 hwied
    16. Dezember 2021

    Beobachter,
    Ihnen auch ein besinnliches Fest , bleiben Sie gesund und optimistisch. Den Quadraten setze ich Zipfelmützen auf .

  11. #11 rolak
    19. Dezember 2021

    jibbet nich

    Der, dessen Name auf höchsteigenen Wunsch und nach umfassender Drohgebärde nicht genannt werden darf; der seinen Namen, selbst nachdem er ihn selber angegeben hat, von Anderen wieder zu entfernen einfordert, schwebt offensichtlich derart eigen­welt­zentriert in höheren astro­unlogischen Sphären, daß ihm nicht klar ist, mit seinem oben zu ertragenden Gravatar das nicht zu Nennende bereits in sämtlichen Details offenbart zu haben.