Theorema Magnum MMXIV: die Grunewald-Ash-Vermutung

Torsion in der Homologie liefert oft verfeinerte Informationen, mit denen man Probleme der algebraischen Topologie angehen kann. Daneben ist mit dem Langlands-Programm die Torsion in der Homologie arithmetischer Gruppe in den Mittelpunkt des Interesses gerückt. Als einfachstes Beispiel hat man dort die Kongruenzgruppen Γ0(N) für ein Ideal N in Od oder Z. Für Z hat der freie Anteil von H1 arithmetische Bedeutung, weil er die Spitzenformen von Gewicht 2 und Stufe N erzeugt, während der Torsionsanteil beschränkt und weniger interessant ist. Für Od mit d>0 ist H1 endlich und auch bei H2 ist es der freie Anteil, der von arithmetischem Interesse ist. Anders ist es für d<0. Grunewald und seine Koautoren bemerkten schon in den 70er Jahren, dass H1 dort kleinen Rang, aber für wachsende N sehr großen Torsionsanteil hat.
Für die Betti-Zahlen der endlichen Überlagerungen einer gegebenen Mannigfaltigkeit bewies Lück 1994, dass sie gegen die L²-Betti_Zahlen konvergieren, was 2011 von Bergeron und sechs Koautoren unter der schwächeren Annahme der Benjamini-Schramm-Konvergenz gegen die universelle Überlagerung (und einer universellen unteren Schranke für den Injektivitätsradius) bewiesen wurde. Sie vermuteten, dass der entsprechende Grenzwert für den Logarithmus des Torsionsanteils von H1 im Fall hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten gegen die analytische Torsion konvergiert, insbesondere der Torsionsanteil also exponentiell wächst. Bergeron und Venkatesh, und unabhängig W. Müller, bewiesen einige Resultate in dieser Richtung. Vieles in diesem Gebiet blieb im Rahmen von Vermutungen. Venkatesh und F. Calegari schlugen Versionen des Langlands-Programm für Torsionsklassen vor, während Prasanna und Venkatesh Vermutungen über Verbindungen zur motivischen Kohomologie und damit auch zu L-Funktionen aufstellten.

Elliptischen Kurven oder Modulkurven mittels etaler Kohomologie Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe zuzuordnen ist ein erfolgreiches Konzept der Zahlentheorie, exemplifiziert am Beweis der Fermat-Vermutung. Insbesondere von Richard Taylor und seinen Schülern wurde Modularität von Galois-Darstellungen erfolgreich auf zahlentheoretische Probleme angewandt. Das höherdimensionale Analogon zur Modulkurve sind die Shimura-Varietäten, gewisse lokalsymmetrische Räume. Ihre etale Kohomologie wird durch automorphe Formen realisiert, die eine natürliche Wirkung der absoluten Galois-Gruppe haben und die damit einen Rahmen für das Langlands-Programm geben. Shimura-Varietäten waren ursprünglich von Shimura betrachtet, dann von Deligne axiomatisch definiert worden. Nach dem Satz von Borel-Baily sind sie komplexe algebraische Varietäten und haben eine kanonische Kompaktifizierung. In manchen Fällen sind sie Modulräume abelscher Varietäten mit zusätzlichen Strukturen (Polarisierung, Hodge-Klasse, Levelstruktur). Sie können über Zahlkörpern definiert werden und sind deshalb von arithmetischem Interesse. Sie sind der Prototyp, um Vermutungen im Langlands-Programm zu testen. Langlands schlug Ende der 70er Jahre vor, dass man die Zeta-Funktion einer Shimura-Varietät als alternierendes Produkt automorpher L-Funktionen beschreiben sollte. Tatsächlich schlug er das allgemeiner für über Zahlkörpern definierte algebraische Varietäten vor, aber nur für Shimura-Varietäten kann man solche Vermutungen beweisen.

Die von Khare und Wintenberger bewiesene Serre-Vermutung besagt, dass l-adische (absolut irreduzible, stetige und ungerade) Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe zu Modulformen auf der hyperbolischen Ebene assoziiert sind. Letztere lassen sich mit dem Eichler-Shimura-Isomorphismus als Elemente in der Kohomologie der Modulkurve SL(2,Z)\H² bzw. der Gruppenkohomologie von SL(2,Z) interpretieren. Um die Serre-Vermutung auf Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe anderer Zahlkörper K zu verallgemeinern, kann man die hyperbolische Ebene durch lokal symmetrische Räume und Modulformen zu SL(2,Z) durch automorphe Formen in der Kohomologie des lokal-symmetrischen Raumes ersetzen. (Die von Franke bewiesene Borel-Vermutung besagt, dass für arithmetische Gruppen ihre Gruppenkohomologieklassen automorphen Formen entsprechen.) Analog zur Serre-Vermutung will man alle Galois-Darstellungen in der Torsion der Homologie lokal symmetrischer Räume bekommen. Zum Beispiel betrachtet man für imaginär-quadratische Körper K den 3-dimensionalen hyperbolischen Raum H³ und die automorphen Formen in der Kohomologie seiner Quotienten nach Kongruenzuntergruppen in Bianchi-Gruppen SL(2,O_K). Solche arithmetischen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten haben keine algebraische Struktur, sind also (anders als noch im 2-dimensionalen Fall) den klassischen Methoden aus der Theorie der Shimura- Varietäten nicht zugänglich. Nach der Philosophie des Langlands-Programms sollten Elemente in H₁(Γ\H³,C) 2-dimensionalen p-adischen Galois-Darstellungen entsprechen, was in diesem Fall von Harris-Lan-Taylor-Thorne bewiesen wurde. Allerdings folgt aus dem Satz von Lück und dem Verschwinden der L²-Betti-Zahlen des hyperbolischen Raumes, dass die Dimensionen dieser Homologiegruppen nur langsam wachsen und man dementsprechend auf diese Weise nicht so viele Galois-Darstellungen bekommt. Dafür sucht man nun zu den Elementen der (oft sehr großen) Torsionsgruppen H₁(Γ\H³,F_p) nach zugehörigen 2-dimensionalen Galois-Darstellungen über dem algebraischen Abschluß von F_p. Die Spur der Bilder von Frobp soll den zugehörigen Eigenwerten der Hecke-Operatoren (für die Kohomologieklassen als Hecke-Eigenklassen) entsprechen. Die Existenz solcher Galois-Darstellungen ist die Grunewald-Ash-Vermutung.