Theorema Magnum MMXIV: die Grunewald-Ash-Vermutung

Torsion in der Homologie liefert oft verfeinerte Informationen, mit denen man Probleme der algebraischen Topologie angehen kann. Daneben ist mit dem Langlands-Programm die Torsion in der Homologie arithmetischer Gruppe in den Mittelpunkt des Interesses gerückt. Als einfachstes Beispiel hat man dort die Kongruenzgruppen Γ0(N) für ein Ideal N in Od oder Z. Für Z hat der freie Anteil von H1 arithmetische Bedeutung, weil er die Spitzenformen von Gewicht 2 und Stufe N erzeugt, während der Torsionsanteil beschränkt und weniger interessant ist. Für Od mit d>0 ist H1 endlich und auch bei H2 ist es der freie Anteil, der von arithmetischem Interesse ist. Anders ist es für d<0. Grunewald und seine Koautoren bemerkten schon in den 70er Jahren, dass H1 dort kleinen Rang, aber für wachsende N sehr großen Torsionsanteil hat.
Für die Betti-Zahlen der endlichen Überlagerungen einer gegebenen Mannigfaltigkeit bewies Lück 1994, dass sie gegen die L²-Betti_Zahlen konvergieren, was 2011 von Bergeron und sechs Koautoren unter der schwächeren Annahme der Benjamini-Schramm-Konvergenz gegen die universelle Überlagerung (und einer universellen unteren Schranke für den Injektivitätsradius) bewiesen wurde. Sie vermuteten, dass der entsprechende Grenzwert für den Logarithmus des Torsionsanteils von H1 im Fall hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten gegen die analytische Torsion konvergiert, insbesondere der Torsionsanteil also exponentiell wächst. Bergeron und Venkatesh, und unabhängig W. Müller, bewiesen einige Resultate in dieser Richtung. Vieles in diesem Gebiet blieb im Rahmen von Vermutungen. Venkatesh und F. Calegari schlugen Versionen des Langlands-Programm für Torsionsklassen vor, während Prasanna und Venkatesh Vermutungen über Verbindungen zur motivischen Kohomologie und damit auch zu L-Funktionen aufstellten.

Elliptischen Kurven oder Modulkurven mittels etaler Kohomologie Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe zuzuordnen ist ein erfolgreiches Konzept der Zahlentheorie, exemplifiziert am Beweis der Fermat-Vermutung. Insbesondere von Richard Taylor und seinen Schülern wurde Modularität von Galois-Darstellungen erfolgreich auf zahlentheoretische Probleme angewandt. Das höherdimensionale Analogon zur Modulkurve sind die Shimura-Varietäten, gewisse lokalsymmetrische Räume. Ihre etale Kohomologie wird durch automorphe Formen realisiert, die eine natürliche Wirkung der absoluten Galois-Gruppe haben und die damit einen Rahmen für das Langlands-Programm geben. Shimura-Varietäten waren ursprünglich von Shimura betrachtet, dann von Deligne axiomatisch definiert worden. Nach dem Satz von Borel-Baily sind sie komplexe algebraische Varietäten und haben eine kanonische Kompaktifizierung. In manchen Fällen sind sie Modulräume abelscher Varietäten mit zusätzlichen Strukturen (Polarisierung, Hodge-Klasse, Levelstruktur). Sie können über Zahlkörpern definiert werden und sind deshalb von arithmetischem Interesse. Sie sind der Prototyp, um Vermutungen im Langlands-Programm zu testen. Langlands schlug Ende der 70er Jahre vor, dass man die Zeta-Funktion einer Shimura-Varietät als alternierendes Produkt automorpher L-Funktionen beschreiben sollte. Tatsächlich schlug er das allgemeiner für über Zahlkörpern definierte algebraische Varietäten vor, aber nur für Shimura-Varietäten kann man solche Vermutungen beweisen.

Die von Khare und Wintenberger bewiesene Serre-Vermutung besagt, dass l-adische (absolut irreduzible, stetige und ungerade) Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe zu Modulformen auf der hyperbolischen Ebene assoziiert sind. Letztere lassen sich mit dem Eichler-Shimura-Isomorphismus als Elemente in der Kohomologie der Modulkurve SL(2,Z)\H² bzw. der Gruppenkohomologie von SL(2,Z) interpretieren. Um die Serre-Vermutung auf Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe anderer Zahlkörper K zu verallgemeinern, kann man die hyperbolische Ebene durch lokal symmetrische Räume und Modulformen zu SL(2,Z) durch automorphe Formen in der Kohomologie des lokal-symmetrischen Raumes ersetzen. (Die von Franke bewiesene Borel-Vermutung besagt, dass für arithmetische Gruppen ihre Gruppenkohomologieklassen automorphen Formen entsprechen.) Analog zur Serre-Vermutung will man alle Galois-Darstellungen in der Torsion der Homologie lokal symmetrischer Räume bekommen. Zum Beispiel betrachtet man für imaginär-quadratische Körper K den 3-dimensionalen hyperbolischen Raum H³ und die automorphen Formen in der Kohomologie seiner Quotienten nach Kongruenzuntergruppen in Bianchi-Gruppen SL(2,O_K). Solche arithmetischen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten haben keine algebraische Struktur, sind also (anders als noch im 2-dimensionalen Fall) den klassischen Methoden aus der Theorie der Shimura- Varietäten nicht zugänglich. Nach der Philosophie des Langlands-Programms sollten Elemente in H₁(Γ\H³,C) 2-dimensionalen p-adischen Galois-Darstellungen entsprechen, was in diesem Fall von Harris-Lan-Taylor-Thorne bewiesen wurde. Allerdings folgt aus dem Satz von Lück und dem Verschwinden der L²-Betti-Zahlen des hyperbolischen Raumes, dass die Dimensionen dieser Homologiegruppen nur langsam wachsen und man dementsprechend auf diese Weise nicht so viele Galois-Darstellungen bekommt. Dafür sucht man nun zu den Elementen der (oft sehr großen) Torsionsgruppen H₁(Γ\H³,F_p) nach zugehörigen 2-dimensionalen Galois-Darstellungen über dem algebraischen Abschluß von F_p. Die Spur der Bilder von Frobp soll den zugehörigen Eigenwerten der Hecke-Operatoren (für die Kohomologieklassen als Hecke-Eigenklassen) entsprechen. Die Existenz solcher Galois-Darstellungen ist die Grunewald-Ash-Vermutung.

Allgemein kann man reduktive Gruppen G und Kongruenzuntergruppen Γ betrachten. Um automorphe Formen zu betrachten, nimmt man den lokalsymmetrischen Raum für die adelische Gruppe und kann dessen Kohomologie dann durch automorphe Formen ausdrücken. Nach dem Langlands-Programm sollte man dann Galois-Darstellungen haben und für komplexe symmetrische Räume hatte man das mittels etaler Kohomologie auch oft beweisen können. GL(n) fiel freilich nur für n=2 darunter.
Grunewald und präziser Ash hatten nach umfangreichen Berechnungen vermutet, dass die (oft sehr großen) Torsionsgruppen in der Homologie lokal symmetrischer Räume ebenfalls Galois-Darstellungen entsprechen sollten.

Somit kann man dann eine mod p-Version der globalen Langlands-Korrespondenz formulieren. Zu einem Zahlkörper F hat man eine gewisse lokal symmetrische Varietät X, auf deren Kohomologie die Hecke-Operatoren wirken. Franke bewies, dass diese Kohomologiegruppen mit der Hecke-Wirkung durch automorphe Darstellungen von GL_n(A_F) beschrieben werden können. Nach der Langlands-Philosophie sollten das nach Wahl eines Isomorphismus Darstellungen der Galois-Gruppe entsprechen. Die Kohomologie wird im allgemeinen sehr viel größere Dimension haben als , sie sollte nach der Grunewald-Ash-Vermutung aber auch noch Galois-Darstellungen entsprechen. Die Frobenius-Eigenwerte (d.h. die Eigenwerte des Bildes des Frobenius-Automorphismus unter der Galois-Darstellung) sollen wieder Hecke-Eigenwerten (d.h. den Eigenwerten des Hecke-Operators, deren Eigenfunktionen die automorphen Formen in sind) entsprechen.

Auf einer Konferenz am Institute for Advanced Study stellte Peter Scholze 2011 das Konzept der Perfektoide vor, mit dem er einen Ansatz von Fontaine und Wintenberger verallgemeinerte. Bei Fontaine und Wintenberger ging es einerseits um den Körper , der aus dem Körper der p-adischen Zahlen Qp durch Adjunktion aller iterierten p-fachen Wurzeln entsteht, und andererseits um den Körper , der aus dem Körper der Potenzreihen Fp[[t]] duch Adjunktion aller iterierten p-fachen Wurzeln aus der Variablen t entsteht. Sie hatten 1979 bewiesen, dass die algebraischen Abschlüsse von K und Kb isomorphe Galois-Gruppen haben.
Damit kann man die Körpererweiterungen für den “Körper gemischter Charakteristik” Qp (er hat Charakteristik 0, es gibt aber Quotiententenkörper der Charakteristik p) mittels des einfachere Körpers Fp[[t]], der “reine Charakteristik” p hat, untersuchen.
Scholze entwickelte allgemeiner eine Theorie von perfektoiden Körpern und perfektoiden Räumen. Im Fall der p-adischen Zahlen ist der perfektoide Körper die analytische Vervollständigung von K. Für jeden perfektoiden Körper kann er eine Kippung Kb definieren, und zwar einfach als inversen Limes von K über alle Abbildungen x–>xp. Wenn die Quotientenkörper von K Charakteristik p haben, dann hat Kb Charakteristik p, und wenn K algebraisch abgeschlossen ist, dann auch Kb. Im Beispiel erhält man damit die t-adische Vervollständigung. Die perfektoiden Räume spielen grob gesagt, die Rolle nichtkommutativer Schemata über perfektoiden Körpern, sie ermöglichen einen geometrischeren Zugang zu vielen Fragen.

Grothendieck hatte die Vision gehabt, dass es für p-adische Varietäten eine Verbindung zwischen etaler Kohomologie und algebraischer de Rham-Kohomologie geben sollte, so wie Hodge-Theorie singuläre Kohomologieklassen durch harmonische Differentialformen repräsentiert. Das war eine Idee, die er kurz vor seinem Weggang vom IHÉS verfolgt hatte und wofür er insbesondere eine Variante der de Rham-Kohomologie betrachten wollte, die sogenannte kristalline Kohomologie. Deren Theorie wurde dann von Deligne und dessen Koautoren entwickelt. Grothendieck fragte nach einem “mysteriösen Funktor”, der die etale Kohomologie mit der de Rham-Kohomologie und (wenn sie existiert) der kristallinen Kohomologie verbinden sollte. (Eine andere Version einer solchen Theorie war einige Jahre zuvor von Tate vorgeschlagen worden, der damit die Tate-Vermutung angehen wollte, die Zykel in p-adischen Varietäten mittels Galois-Darstellungen in etaler Kohomologie finden will. Grothendiecks Ansatz würde die Tate-Vermutungen beweisen.) Fontaine hatte dann eine Konstruktion vorgeschlagen und für die nächsten zwei Dekaden versuchten Mathematiker zu beweisen, dass sein Ansatz den mysteriösen Funktor lieferte. Faltings war der erste gewesen, dem dies mit seiner Fast-Ringtheorie gelang, danach gab es noch eine Reihe anderer Beweise.

p-adische algebraische Varietäten sind im Sinne von Tate als rigide analytische Räume zu betrachten und es war nicht so klar, wie man dort überhaupt eine etale Kohomologie definiert, mit der man Chancen auf einen Beweis des Isomorphismus der Kohomologietheorien hat. Etale Kohomologie ist eine algebraische Invariante, die man nicht im p-adisch analytischen Sinne interpretieren kann. Schließlich wurden durch Fujiwara, Berkovich und Huber drei konkurrierende Ansätze vorgeschlagen, die alle eine Erweiterung der in der p-adischen Geometrie betrachteten Räume bedeuten und auch alle sofort Anwendungen fanden. Hubers Theorie adischer Räume wurde dabei wenig beachtet, doch gerade sie wurde dann zur Grundlage für Scholzes Arbeit.
Perfektoide Räume sind abstrakte, sehr komplizierte (keinen Endlichkeitsbedingungen genügende und in gewisser Weise solenoid-artige) adische Räume, auf denen man etale Kohomologie hat und p-adische de Rham-Kohomologie etablieren kann. Sie erlauben die Verallgemeinerung des Satzes von Fontaine und Wintenberger auf n-dimensionale Varietäten. Das ist im Sinne Grothendiecks, der der Ansicht war, dass Wirkungen auf Ringen als lokale Versionen von Wirkungen auf Räumen gesehen werden sollten.

Die Anwendung, mit der die Experten von der Wirkmächtigkeit des neuen Ansatzes überzeugt wurden, war dass Scholze mit der Tilting-Operation Delignes Beweis von Spezialfällen der Gewichtsmonodromievermutung auf weitere Fälle ausdehnen konnte. Diese 1970 von Deligne aufgestellte Vermutung gilt als die zentrale offene Frage über die etale Kohomologie algebraischer Varietäten. Es geht um die Zerlegung V=⊕Vj der etalen Kohomologie unter der Wirkung des Frobenius-Automorphismus Frobp, wobei in Vj die Eigenwerte Betrag qj/2 haben. Die Vermutung besagt, dass für alle j≤i der Monodromieoperator einen Isomorphismus Vi+j–>Vi-j gibt.

Ein Problem bei der Übertragung mathematischer Sachverhalte von Funktionenkörpern auf Zahlkörper war stets gewesen, dass man zu der im Funktionenkörperfall per Definition existierenden Kurve kein passendes Analogon im Funktionenkörperfall hat. Zwar kann man in Verallgemeinerung von Spec(Z) auch Spec (OK) als Kurve auffassen, doch verhält sich dieses affine Schema nur als topologischer Raum wie eine Kurve. Wenn man, wie es Grothendieck anstrebte, Punkte als Funktoren betrachtet, dann ist beispielsweise Spec(Z)xSpec(Z) wieder Spec(Z) und damit ein schlechter Ersatz für die im Zusammenhang mit der Zetafunktion für Funktionenkörper verwendete Fläche als Produkt zweier Kurven. Aufbauend auf Scholzes Arbeit entdeckten aber Fargues und Fontaine eine Kurve, die fundamental für die arithmetische Geometrie werden sollte. Die Idee war folgende: zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper C der Charakteristik p betrachtet man alle algebraisch abgeschlossenen Körper K, deren Quotientenkörper Charakteristik p haben und für die C=Kb gilt mit einem den Bewertungsring erhaltenden Isomorphismus. Natürlich ist C selbst eine Entkippung, aber es gibt zahlreiche weitere. Es stellt sich heraus, dass die “Kurve” aller Entkippungen ein guter Ersatz für Spec(Z) ist und die Teilmenge der Entkippungen von Charakteristik 0 ein guter Ersatz für Spec(Q). Tatsächlich gibt es ein Schema X, dessen abgeschlossene Punkte den Isomorphismenklassen von Entkippungen der Charakteristik 0 modulo der von Frobp induzierten Wirkung entsprechen. Dieses Schema hat viele bemerkenswerte Eigenschaften, die im Wesentlichen Analoga zu den Eigenschaften einer algebraischen Kurve vom Geschlecht 0 sind. Scholze und Fargues schlugen dann vor, dass das lokale Langlands-Programm für Qp äqivalent sein sollte zur geometrischen Version des Langlands-Programm für die Kurve X. Dieses geometrische Programm war ursprünglich von Beilinson und Drinfeld vorgeschlagen worden. Es postuliert für eine reduktive Gruppe G und eine algebraische Kurve X eine Äquivalenz zwischen zwei derivierten Kategorien, einerseits der D-Moduln auf dem Modulstack von G-Prinzipalbündeln über X, andererseits quasikohärenter Garben auf dem Modulstack von LG-lokalen Sytemen über X für die Langlands-duale Gruppe LG.

In Analogie zu den Kongruenzuntergruppen Γ₀(N) und den zugehörigen Überlagerungen der Modulkurve SL(2,Z)\H² hat man für Shimura-Varietäten und eine Primzahl p die Level Γ₁(p^m). Perfektoide Räume kann man benutzen, um eine Shimura-Varietät für aller Levels (bzgl. einer Primzahl p) gleichzeitig zu untersuchen. Die Motivation ist eine Vermutung, die die mod p-Version der globalen Langlands-Korrespondenz ist. Zu einem Zahlkörper F hat man eine gewisse lokal symmetrische Varietät X, auf deren Kohomologie die Hecke-Operatoren wirken. Franke bewies, dass diese Kohomologiegruppen mit der Hecke-Wirkung durch automorphe Darstellungen von GL_n(A_F) beschrieben werden können. Nach der Langlands-Philosophie sollten das nach Wahl eines Isomorphismus Darstellungen der Galois-Gruppe entsprechen. Die Kohomologie wird im allgemeinen sehr viel größere Dimension haben als , sie sollte nach der Ash-Grunewald-Vermutung aber auch noch Galois-Darstellungen entsprechen. Die Frobenius-Eigenwerte sollen Hecke-Eigenwerten entsprechen (für fast alle Primzahlen l). Ash hatte dies insbesondere für die Kohomologie von GL(n,Z) in verschiedenen Fällen untersucht und 1992 eine präzise Vermutung formuliert – die sich für n=2 durch mod-p-Reduktion aus der Eichler-Shimura-Theorie ergibt – wonach p-Torsions-Hecke-Eigenklassen in der ganzzahligen Kohomologie einer Kongruenzuntergruppe n-dimensionalen Galois-Darstellungen entsprechen sollen. Das ist also eine Umkehrung der Verallgemeinerung der (damals noch offenen) Serre-Vermutung.

Mit dem Konzept der Perfektoide konnte Scholze diese Vermutung für GL_n über total-reellen Körpern und Körpern mit komplexer Multiplikation beweisen.
Seine Strategie war, den (adelischen) symmetrischen Raum als Randkomponente einer Kompaktifizierung der assoziierten Shimura-Varietät aufzufassen und die bekannte Existenz von zu den Spitzenformen dieses Raumes assoziierten Galois-Darstellungen zu verwenden. Mittels der von ihm entwickelten Konzepte (über den Zusammenhang der Kohomologietheorien p-adischer Varietäten) bewies er, dass dort alle Torsionsklassen zu Charakteristik 0 hochgehoben werden können. In Charakteristik 0 konnte er dann die bekannte Maschinerie von Arthurs Spurformel anwenden, um die gewünschten Galois-Darstellungen zu konstruieren.