Allgemein kann man reduktive Gruppen G und Kongruenzuntergruppen Γ betrachten. Um automorphe Formen zu betrachten, nimmt man den lokalsymmetrischen Raum für die adelische Gruppe und kann dessen Kohomologie dann durch automorphe Formen ausdrücken. Nach dem Langlands-Programm sollte man dann Galois-Darstellungen haben und für komplexe symmetrische Räume hatte man das mittels etaler Kohomologie auch oft beweisen können. GL(n) fiel freilich nur für n=2 darunter.
Grunewald und präziser Ash hatten nach umfangreichen Berechnungen vermutet, dass die (oft sehr großen) Torsionsgruppen in der Homologie lokal symmetrischer Räume ebenfalls Galois-Darstellungen entsprechen sollten.
Somit kann man dann eine mod p-Version der globalen Langlands-Korrespondenz formulieren. Zu einem Zahlkörper F hat man eine gewisse lokal symmetrische Varietät X, auf deren Kohomologie die Hecke-Operatoren wirken. Franke bewies, dass diese Kohomologiegruppen mit der Hecke-Wirkung durch automorphe Darstellungen von GLn(AF) beschrieben werden können. Nach der Langlands-Philosophie sollten das nach Wahl eines Isomorphismus
Auf einer Konferenz am Institute for Advanced Study stellte Peter Scholze 2011 das Konzept der Perfektoide vor, mit dem er einen Ansatz von Fontaine und Wintenberger verallgemeinerte. Bei Fontaine und Wintenberger ging es einerseits um den Körper
Damit kann man die Körpererweiterungen für den “Körper gemischter Charakteristik” Qp (er hat Charakteristik 0, es gibt aber Quotiententenkörper der Charakteristik p) mittels des einfachere Körpers Fp[[t]], der “reine Charakteristik” p hat, untersuchen.
Scholze entwickelte allgemeiner eine Theorie von perfektoiden Körpern und perfektoiden Räumen. Im Fall der p-adischen Zahlen ist der perfektoide Körper die analytische Vervollständigung von K. Für jeden perfektoiden Körper kann er eine Kippung Kb definieren, und zwar einfach als inversen Limes von K über alle Abbildungen x–>xp. Wenn die Quotientenkörper von K Charakteristik p haben, dann hat Kb Charakteristik p, und wenn K algebraisch abgeschlossen ist, dann auch Kb. Im Beispiel erhält man damit die t-adische Vervollständigung. Die perfektoiden Räume spielen grob gesagt, die Rolle nichtkommutativer Schemata über perfektoiden Körpern, sie ermöglichen einen geometrischeren Zugang zu vielen Fragen.
![K^b={\mathbb F}_p\left[[t\right]](t^{\frac{1}{p^\infty}})](http://s0.wp.com/latex.php?latex=K%5Eb%3D%7B%5Cmathbb+F%7D_p%5Cleft%5B%5Bt%5Cright%5D%5D%28t%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%5E%5Cinfty%7D%7D%29&bg=ffffff&fg=000&s=0 "K^b={\mathbb F}_p\left[[t\right]](t^{\frac{1}{p^\infty}})")
Grothendieck hatte die Vision gehabt, dass es für p-adische Varietäten eine Verbindung zwischen etaler Kohomologie und algebraischer de Rham-Kohomologie geben sollte, so wie Hodge-Theorie singuläre Kohomologieklassen durch harmonische Differentialformen repräsentiert. Das war eine Idee, die er kurz vor seinem Weggang vom IHÉS verfolgt hatte und wofür er insbesondere eine Variante der de Rham-Kohomologie betrachten wollte, die sogenannte kristalline Kohomologie. Deren Theorie wurde dann von Deligne und dessen Koautoren entwickelt. Grothendieck fragte nach einem “mysteriösen Funktor”, der die etale Kohomologie mit der de Rham-Kohomologie und (wenn sie existiert) der kristallinen Kohomologie verbinden sollte. (Eine andere Version einer solchen Theorie war einige Jahre zuvor von Tate vorgeschlagen worden, der damit die Tate-Vermutung angehen wollte, die Zykel in p-adischen Varietäten mittels Galois-Darstellungen in etaler Kohomologie finden will. Grothendiecks Ansatz würde die Tate-Vermutungen beweisen.) Fontaine hatte dann eine Konstruktion vorgeschlagen und für die nächsten zwei Dekaden versuchten Mathematiker zu beweisen, dass sein Ansatz den mysteriösen Funktor lieferte. Faltings war der erste gewesen, dem dies mit seiner Fast-Ringtheorie gelang, danach gab es noch eine Reihe anderer Beweise.
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