Mit dem Konzept der Perfektoide konnte Scholze diese Vermutung für GLn über total-reellen Körpern und Körpern mit komplexer Multiplikation beweisen.
Seine Strategie war, den (adelischen) symmetrischen Raum als Randkomponente einer Kompaktifizierung der assoziierten Shimura-Varietät aufzufassen und die bekannte Existenz von zu den Spitzenformen dieses Raumes assoziierten Galois-Darstellungen zu verwenden. Mittels der von ihm entwickelten Konzepte (über den Zusammenhang der Kohomologietheorien p-adischer Varietäten) bewies er, dass dort alle Torsionsklassen zu Charakteristik 0 hochgehoben werden können. In Charakteristik 0 konnte er dann die bekannte Maschinerie von Arthurs Spurformel anwenden, um die gewünschten Galois-Darstellungen zu konstruieren.
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