Zentrales Thema der “klassischen” algebraischen Geometrie ist die birationale Klassifikation projektiver Varietäten. Der Ansatz dafür ist die Konstruktion minimaler Modelle: mittels birationaler Chirurgien will man die Varietät so verändern, dass sie in eine von zwei Klassen fällt: entweder ist sie eine eine Varietät, deren kanonisches Linienbündel nef ist (das heißt, das Integral der ersten Chern-Klasse über alle kompakten algebraischen Kurven ist nichtnegativ; weil das kanonische Bündel die äußere Potenz des zum Tangentialbündel dualen Bündels ist, bedeutet das, dass das Integral der Ricci-Krümmung über kompakte algebraische Kurven nichtpositiv ist), oder sie ist eine Varietät, die sich fasern lässt, so dass die antikanonischen Bündel aller allgemeinen Fasern ampel sind (das heißt, dass die Schnitte einer hinreichend hohen Potenz des antikanonische Bündels eine Einbettung in den projektiven Raum definieren; man hat auf dem Linienbündel also eine positiv gekrümmte Metrik).
Diese Klassifikation durch minimale Modelle war für Flächen zwischen 1895 und 1914 durch Enriques und Castelnuovo und für 3-Faltigkeiten zwischen 1981 und 1988 durch Mori erarbeitet worden. In höheren Dimensionen gab es in den Nuller Jahren enorme Fortschritte durch die Arbeiten von Hacon und McKernan. Zum Beispiel bewiesen sie 2006 mit Birkar und Cascini, dass der Ring der Schnitte von Potenzen des kanonischen Bündels einer glatten projektiven Varietät vonm allgemeinen Typ endlich erzeugt ist, was ein wichtiger Schritt für die Konstruktion minimaler Modelle sein soll.
Das minimale Modelle-Programm führte insbesondere zum Studium von vollständigen Varietäten, deren antikanonisches Bündel ampel ist, sogenannter Fano-Varietäten, denn diese sind die allgemeinen Fasern für den zweiten Typ von minimalen Modellen. Fano-Varietäten können auch über endlichen Körpern Fp definiert werden, wo sie ein wichtiges Thema der Zahlentheorie sind. Eine Vermutung von Serge Lang, mit der sich vor allem Mathematiker im Umfeld Manins beschäftigten, besagte, dass es auf ihnen immer rationale Punkte gibt. Diese Vermutung wurde 2004 von Esnault durch eine überraschend einfache Anwendung von Blochs Zykelgruppe bewiesen: durch Anwendung der Spurformel für Frobp zeigte sie, dass die Anzahl der rationalen Punkte kongruent zu 1 modulo p ist. Eine allgemeinere Vermutung Manins gibt eine genaue Asymptotik für die rationalen Punkte beschränkter Höhe auf Fano-Varietäten.
Zu den Fano-Varietäten gehören der projektive Raum Pn, Hyperflächen vom Grad kleiner n+1 im Pn oder projektive Varietäten, die homogen für eine lineare algebraische Gruppe sind. Yaus Lösung der Calabi-Vermutung impliziert, dass eine glatte komplexe Varietät genau dann eine Kähler-Metrik positiver Ricci-Krümmung trägt, wenn sie eine Fano-Varietät ist. Die Fano-Bedingung ist dann also äquivalent zu c1>0.
Ähnlich zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten interessiert man sich auch in der komplexen Geometrie für die Existenz spezieller “kanonischer” Metriken. Natürlich kann man in höheren Dimensionen kein so starkes Resultat wie die Geometrisierung von Flächen und (irreduziblen, atoroidalen) 3-Mannigfaltigkeiten durch lokal homogene Metriken erwarten. Man sucht aber zumindest auf geeigneten Mannigfaltigkeiten nach Metriken konstanter Ricci-Krümmung – sogenannten Einstein-Metriken, weil sie Lösungen der Einstein-Gleichung im Vakuum sind. In der komplexen Geometrie will man zusätzlich noch, dass die Einstein-Metriken mit der komplexen Struktur kompatibel, also Kähler-Metriken sind, sogenannte Kähler-Einstein-Metriken.´
Im Fall c1=0 zeigte Yaus Beweis, dass es solche Metriken (mit Ricci-Krümmung konstant 0) gibt. Auch für c1<0 hatten Aubin und Yau zuvor bereits die Existenz solcher Metriken bewiesen. Übrig blieb die Frage nach der Existenz solcher Metriken für komplexe Varietäten mit c1>0, also mit amplem antikanonischem Bündel.
Yau schlug in den 90er Jahren vor, dass die richtigen Bedingungen etwas mit “algebro-geometrischer Stabilität” zu tun haben sollten. Über die Jahre wurden zahlreiche Stabilitätsbegriffe in der Literatur diskutiert, darunter ein von Yaus früherem Studenten Gang Tian vorgeschlagener und als “K-Stabilität” bezeichneter Begriff. Er bewies, dass K-Stabilität eine notwendige Bedingung ist und vermutete, dass es auf K-stabilen Mannigfaltigkeiten mit c1>0 eine Kähler-Einstein-Metrik geben sollte.
Auf der Konferenz zu Atiyahs 80. Geburtstag 2009 sprach Donaldson über eine Strategie für den Beweis von Tians Vermutung, von der die Experten glaubten, dass sie zum Ziel führen werde. Er arbeitete an diesem Problem dann in Stony Brook mit Chen und Sun. Im Oktober 2012 stellten die drei dann eine Beweisankündigung auf das ArXiv und in den nächsten Monaten die Arbeiten mit den Einzelheiten der Beweise.
Der zentrale Punkt eines Beweises mußte, wie Tian seit gut zwanzig Jahren propagiert hatte, eine gewisse C0-Abschätzung sein. Schon im Juni 2012 hatten Donaldson und Sun einen Beweis dieser C0-Abschätzung auf das ArXiv gestellt, bemerkenswerterweise mit Methoden, die seit zehn Jahren bekannt waren. Einen Tag später erhielten sie einen Text von Tian, indem er einen unabhängigen Beweis derselben Abschätzung behauptete, die “langen und technischen Einzelheiten” des Beweises freilich auf eine spätere Arbeit verschob. In Vorträgen in Paris und Stony Brook behauptete er Priorität für diesen Beweis. Die Arbeit mit den langen und technischen Einzelheiten erschien nicht, statt dessen aber 15 Monate später eine 8-seitige Arbeit in den Communications in Mathematical Statistics, die einen Tag nach Einreichung angenommen wurde und einen vollständigen Beweis behauptete. Donaldson und seine Koautoren fanden das nun nicht mehr akzeptabel und veröffentlichten eine detaillierte Analyse von Tians Verhalten (und seinen mathematischen Argumenten), worauf dieser mit einer Gegendarstellung antwortete. Die meisten unabhängigen Experten stellten sich auf die Seite Donaldsons, mit Ausnahme natürlich von Tians Anhängerschaft in China. Die Arbeiten von Chen-Donaldson-Sun “Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. I, II, III” wurden 2015 im Journal of the American Mathematical Society veröffentlicht.
Seit Perelmans Beweis der Poincaré- und Geometrisierungsvermutung für 3-Mannigfaltigkeiten hatte vor allem der (im Falle der Konvergenz gegen eine Einstein-Metrik konvergierende) Ricci-Fluss zu neuen Ergebnissen in der Differentialgeometrie geführt. Böhm und Wilking hatten technische Probleme in höheren Dimensionen überwunden und damit zeigen können, dass Mannigfaltigkeiten mit positivem Krümmungsoperator konstante Schnittkrümmung haben, Brendle und Schoen hatten auf diesen Methoden aufbauend den Sphärensatz bewiesen. Im Fall von Kähler-Mannigfaltigkeiten bleiben die Metriken während des Ricci-Flusses Kähler-Metriken – man spricht vom Kähler-Ricci-Fluss – und im Fall der Konvergenz erhält man also eine Kähler-Einstein-Metrik. Cao hatte das schon 1985 benutzt, um noch einmal die Existenz von Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten auf Kähler-Mannigfaltigkeiten mit negativer oder verschwindender erster Chern-Klasse zu beweisen. Im Fall von Fano-Mannigfaltigkeiten benötigte man aber weitere Methoden.
Ein wesentliches Ingredient des Beweises war die Existenz singulärer Kähler-Einstein-Metriken mit Kegel-Singularitäten entlang eines Divisors. Für kleine Kegelwinkel kann man die Existenz solcher Metriken mit ähnlichen Argumenten wie im Fall c1<0 beweisen. Die Menge der Kegelwinkel, für die solche singulären Metriken existieren, ist offen (bewiesen von Donaldson und Song-Wang) und man will zeigen, dass sie auch abgeschlossen ist, womit man insbesondere eine glatte Kähler-Einstein-Metrik für Kegelwinkel 2π erhält. Diese Abgeschlossenheit des Intervalls der zuläsigen Kegelwinkel war das Resultat der drei Arbeiten im Journal of the American Mathematical Society.
In der ersten der drei Arbeiten bewiesen Chen-Donaldson-Sun, dass man solche singulären Kähler-Einstein-Metriken durch glatte Kähler-Metriken mit uniform positiver Ricci-Krümmung und beschränktem Durchmesser approximieren kann. In den anderen beiden Arbeiten ging es dann um Grenzwerte von Kähler-Einstein-Metriken mit Kegelsingularitäten (in der Gromov-Hausdorff-Topologie). Sie zeigten, dass diese Grenzwerte als algebraische Varietät mit einem Divisor existieren. Die Idee ist, dass man nach Teil I die Folgenglieder jeweils durch glatte Metriken mit Kontrolle über Ricci-Krümmung und Durchmesser sowie festem Volumen approximieren kann. Mit Arbeiten von Cheeger-Colding folgt daraus die Existenz des Grenzwerts. Für diesen Grenzwert zeigen sie dann die Realisierbarkeit als algebraische Varietät und weitere benötigte Eigenschaften, insbesondere die Reduktivität der Automorphismengruppe und das Verschwinden der Futaki-Invariante. Damit konnten sie dann letztlich zeigen, dass im K-stabilen Fall der Grenzwert wieder eine Kähler-Einstein-Metrik mit Kegelsingularitäten ist, woraus die gewünschte Abgeschlossenheit der Menge der Kegelwinkel folgt.
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