Schöne Kurven

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Von Thilo / 1. Februar 2022 / 14 Kommentare

Matt Henderson und seine Plotter Machine malen “beautiful curves” im neuen Numberphile-Video:

Kommentare (14)

#1 Frank Wappler
1. Februar 2022

Thilo schrieb (1. Februar 2022):
> Schöne Kurven […] Matt Henderson und seine Plotter Machine malen “beautiful curves” […]

Wirklich schön, solche Punktmengen als “Kurven” anzusprechen, die insbesondere durch das Entlangziehen einer punktartige Stiftspitze auf einer Fläche markiert wurden!

D.h. im Gegensatz zu den hier ebenfalls als “Kurven” bezeichneten Tupel-Mengen der Nullstellen von (algebraischen) Ausdrücken in drei (oder sogar noch mehr?) Variablen.
#2 lion in oil , ex Robert, ex hwied
4. Februar 2022

Frank Wappler,
so betrachtet ist der Mensch auch nur eine Punktmenge.
Wir bestehen aus Atomkernen und leerem Raum dazwischen.
zurück zur Mathematik. Wenn ich also eine Parabel zeichne, dann ist die auch nur eine Punktmenge. Weil ja zwischen der Zahl x und dem Quadrat von x eine Lücke bleibt, die nicht vollständig gefüllt werden kann, oder doch ? Mein Mathe reicht dafür nicht aus, das zu entscheiden.
#3 Frank Wappler
5. Februar 2022

lion in oil , ex Robert, ex hwied schrieb (4. Februar 2022):
> […] Wenn ich also eine Parabel zeichne, dann ist die auch nur eine Punktmenge. […]

Aber nicht nur irgendeine Menge von (sehr vielen) Punkten; sondern eine Menge von (sehr vielen) Punkten die ganz bestimmte Distanzverhältnisse gegenüber einander haben; alias ein bestimmter metrischer Raum.

Nämlich insbesondere so, dass es unter all diesen vielen Punkten genau einen gibt (in dieser Parabel mit $S$ bezeichnet (für “Scheitelpunkt der Parabel”), so dass es

– genau zwei verschiedene Punkte $J$ und $K$ dieser Parabel mit Distanzverhältnissen
$\left( \frac{KS}{JS} \right) = 1$ und $\left( \frac{JK}{JS} \right) = \sqrt{2}$ gibt, mit denen außerdem gilt, dass

– es bzgl. jedes anderen Punktes $P$ dieser Parabel jeweils genau einen weiteren Punkt $Q$ dieser Parabel mit Distanzverhältnissen
$\left( \frac{QS}{PS} \right) = 1$ und $\left( \frac{PQ}{JK} \right) = \sqrt{ \sqrt{ 4 \, \left( \frac{PS}{JK} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right) } - \left( \frac{1}{2} \right) }$ gibt, und so dass

– beliebige vier Punkte $P, U, V, W$ der Parabel gegenüber einander flach sind, d.h. dass für deren (sechs) Distanzen untereinander (bzw. für die entsprechenden Distanzverhältnisse bzgl. irgendeiner ausgewählten festgehaltenen Distanz, wie z.B. bzgl. $JK$ ) deren Cayley-Menger-Determinante verschwindet:

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \left( \frac{PU}{JK} \right)^2 & \left( \frac{PV}{JK} \right)^2 & \left( \frac{PW}{JK} \right)^2 \\ 1 & \left( \frac{PU}{JK} \right)^2 & 0 & \left( \frac{UV}{JK} \right)^2 & \left( \frac{UW}{JK} \right)^2 \\ 1 & \left( \frac{PV}{JK} \right)^2 & \left( \frac{UV}{JK} \right)^2 & 0 & \left( \frac{VW}{JK} \right)^2 \\ 1 & \left( \frac{PW}{JK} \right)^2 & \left( \frac{UW}{JK} \right)^2 & \left( \frac{VW}{JK} \right)^2 & 0 \end{vmatrix} = 0.$

p.s.
> Weil ja zwischen der Zahl x und dem Quadrat von x eine Lücke bleibt, die nicht vollständig gefüllt werden kann, oder doch ? Mein Mathe reicht dafür nicht aus, das zu entscheiden.

Offenbar reicht “Dein Mathe” noch nicht aus, eine gescheitere Frage zu stellen. “Mein Mathe” reicht jedenfalls dafür, auf $1^2 = 1$ hinzuweisen.
#4 hwied
5. Februar 2022

Ein weiterer Hinweis -1² = +1
#5 Frank Wappler
5. Februar 2022

hwied schrieb (#4, 5. Februar 2022):
> Ein weiterer Hinweis [ $(-1)^2 = 2$ . ]

Wenn das so weit verstanden ist, dann erlaube ich mir, auch noch auf Zusammenhänge zu den ersten Gleichungen hinzuweisen, die ich oben (#2) gezeigt hatte:

$\left( \frac{\sqrt{(-1)^2 + ((-1)^2)^2}}{\sqrt{1^2 + (1^2)^2}} \right) = 1$

und

$\left( \frac{\sqrt{(1 - (-1))^2 + (1^2 - (-1)^2)^2}}{\sqrt{1^2 + (1^2)^2}} \right) = \left( \frac{\sqrt{(2)^2 + (0)^2}}{\sqrt{1 + 1}} \right) = \left( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}$ ;

bzw.

$\left( \frac{\sqrt{(-x)^2 + ((-x)^2)^2}}{\sqrt{x^2 + (x^2)^2}} \right) = \left( \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{\sqrt{x^2 + x^4}} \right) = 1$

und

$latex \left( \frac{2 x}{2} \right) = \sqrt{ \sqrt{ 4 \left( \frac{\sqrt{x^2 + (x^2)^2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right) } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ \sqrt{ x^2 + x^4 + \left( \frac{1}{4} \right) } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ \sqrt{ \left( x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) \right)^2 } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{x^2}.§
#6 hwied
in seinem wackeligen Lieblingssessel
5. Februar 2022

Frank Wappler,
Ihr Hinweis auf die Punktmengen, bzw. metrischen Räume, der bedeutet den Tod für die Begriffe Punkt, Gerade, Fläche, Körper. ?????
1 und 1² ist nicht mehr das Gleiche.
1 wäre ein Punkt und 1² wäre ein Quadrat. Und trotzdem nur 1. Und 1³ wäre ein Quader und auch nur 1.
Was ist jetzt 1 hoch 4 ?
Und was ist der Unterschied von 0 und 0² ?
Sie haben mir ein Tor geöffnet. Bislang war alles so klar, jetzt bin ich verunsichert.
#7 Frank Wappler
5. Februar 2022

Frank Wappler schrieb (#5, 5. Februar 2022):
> […] §

… wo stattdessen ein “$” hätte stehen sollen.
(So viel zum Nicht-Vorhandensein einer ScienceBlogs-Sandbox, und zur Brauchbarkeit der immerhin mittlerweil vorhandenen ScienceBlogs-Kommentarvorschau in dieser Hinsicht.)

Entsprechend verbessert ergibt sich (vom vorausgehenden “$”-Zeichen an):

$\left( \frac{2 x}{2} \right) = \sqrt{ \sqrt{ 4 \left( \frac{\sqrt{x^2 + (x^2)^2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right) } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ \sqrt{ x^2 + x^4 + \left( \frac{1}{4} \right) } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \\ \sqrt{ \sqrt{ \left( x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) \right)^2 } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{x^2}.$
#8 Frank Wappler
5. Februar 2022

Frank Wappler schrieb (#7, 5. Februar 2022):
> $\text{[...]} \\ \text{[...]}$

… wo vorher keine Zeilentrennung vorgesehen war.
(So viel zur Dokumentation der Anwendbarkeit von $\LaTeX$ -Befehlen in scienceBlogs-Kommentaren.)

Mit einer anderen, zwangsläufig zuverlässigeren Methode zur Zeilentrennung ergibt sich

$\left( \frac{2 x}{2} \right) = \sqrt{ \sqrt{ 4 \left( \frac{\sqrt{x^2 + (x^2)^2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right) } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ \sqrt{ x^2 + x^4 + \left( \frac{1}{4} \right) } – \left( \frac{1}{2} \right) } =$

$\sqrt{ \sqrt{ \left( x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) \right)^2 } – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) – \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{x^2}.$
#9 Frank Wappler
6. Februar 2022

Frank Wappler schrieb (#7, 5. Februar 2022):
> Entsprechend verbessert ergibt sich:

$\left( \frac{2 x}{2} \right) = \sqrt{ \sqrt{ 4 \left( \frac{\sqrt{x^2 + (x^2)^2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right) } \, \, - \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ \sqrt{ x^2 + x^4 + \left( \frac{1}{4} \right) } \, \, - \left( \frac{1}{2} \right) } = \\ \sqrt{ \sqrt{ \left( x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) \right)^2 } \, - \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{ x^2 + \left( \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) } = \sqrt{x^2}.$
#10 Frank Wappler
6. Februar 2022

hwied schrieb (#6, 5. Februar 2022):
> […] Hinweis [#3] auf die Punktmengen, bzw. metrischen Räume, der bedeutet den Tod für die Begriffe Punkt, Gerade, Fläche, Körper. ????? […]

Falls damit gefragt sein soll:

– ob man eine “Gerade” als metrischen Raum auffassen kann (mit bestimmten Eigenschaften der Distanzverhältnisse zwischen den Punkten, die die Gerade bilden), so wie sich auch eine “Parabel” als metrischer Raum auffassen lässt? — Ja.

– ob damit eine Zurückweisung der gleichnamigen Begriffe verbunden ist, die auf der Wikipedia-Seite zum Begriff “Gerade” aufgeführten sind? — Nicht unbedingt die gänzliche Zurückweisung des “Geraden”-Begriffs der synthetischen oder analytischen Geometrie, aber jedenfalls Anspruch auf Unterscheidbarkeit des Begriffes “Gerade” (und “Parabel” und im Allgemeinen “Kurve”; als auch “Fläche”, “Körper” usw.) in der Distanz-Geometrie.

– ob in der Distanz-Geometrie der Begriff “Punkt” gebraucht wird? — Doch, selbstverständlich; man spricht ja ausdrücklich jeweils von “Distanz zwischen zwei (verschiedenen) Punkten”.

> 1 und 1² ist nicht mehr das Gleiche. 1 wäre ein Punkt und 1² wäre ein Quadrat.

“1” ist das übliche Symbol einer bestimmten natürlichen Zahl: “Eins”.
“²” ist das übliche Symbol einer bestimmten mathematischen Operation, die insbesondere auf natürliche Zahlen anwendbar ist; die auch ausführlicher als “mit-sich-selbst-Malnehmen” oder “Produkt mit sich selbst” bzw. “Quadrieren” bekannt ist.
Und in diesem Sinne ist (“1” das Symbol einer jener beiden Zahlen, für die die Gleichheit)
“1 = 1² = 1 * 1” (gilt, bzw. so symbolisiert wird).

(Das Symbol der anderen Zahl, die ihrem Produkt mit sich selbst gleicht, ist bekanntlich “0”; also:
“0 = 0² = 0 * 0”. Und um “1” von “0” zu unterscheiden, haben wir: “1 * 0 = 0” und “1 + 0 = 1”.)

Und Zahlensymbole für die Benennung von Punkten metrischer Räume (der Distanzgeometrie) zu verwenden, sollte tunlichst vermieden werden; obwohl gerade das ja bei der Benennung von Punkten in der (ein-dimensionalen) analytischen Geometrie üblich und sogar notwendig ist.

p.s.
Im Übrigen steckt hinter meiner Betonung von Distanz-Verhältnissen (was ja reelle Zahlenwerte sind) anstatt bloßer Distanzen erstens immer der Zusammenhang zum Messen, und zweitens nach wie vor die Frage:

Wie nennt man eine Äquivalenzklasse, deren Mitglieder all jene metrischen Räume sind, zwischen denen “(echte) skalierte Isometrie” besteht;
d.h. deren Distanzen (jeweils zwischen “einander entsprechenden Punkt-Paaren”) sich “bis auf eine von Null verschiedene (Skalierungs-)Konstante” gleichen ?
#11 hwied
6. Februar 2022

Frank Wappler,
Vielen Dank für eine ausführliche Antwort an einen Mathelaien.
Besonders diese hier :”Und Zahlensymbole für die Benennung von Punkten metrischer Räume (der Distanzgeometrie) zu verwenden, sollte tunlichst vermieden werden; obwohl gerade das ja bei der Benennung von Punkten in der (ein-dimensionalen) analytischen Geometrie üblich und sogar notwendig ist.
Ist mir gerade eingefallen:
Wenn man zu einer reinen Zahl eine Maßeinheit angibt, dann wird klar, dass man sich in einem metrischen Raum befindet.
1 cm Ist nicht gleich 1 cm³.
Wie ist das bei 1 kg. Ist das jetzt ein metrischer Raum ? Ich vermute ja, bin mir aber nicht sicher .
#12 Frank Wappler
7. Februar 2022

Frank Wappler schrieb (#3, 5. Februar 2022):
> [… eine Parabel als] eine Menge von (sehr vielen) Punkten die ganz bestimmte Distanzverhältnisse gegenüber einander haben; […]

Außer den im Kommentar #3 genannten Bedingungen an Distanzverhältnisse (und damit verbundene Forderungen an Existenz oder Nicht-Existenz von Punkten mit bestimmten Distanzverhältnissen bzgl. den weiteren Punkten, die zusammen eine “Parabel (im Flachen)” bilden) muss auch die folgende erfüllt sein:

Falls $\left( \frac{PS}{JK} \right) \gt \frac{1}{\sqrt{2}}$ ,
dann $2 \, \left( \frac{PS}{JK} \right) \gt \left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right)$ ; und

falls $\frac{1}{\sqrt{2}} \gt \left( \frac{PS}{JK} \right) \gt 0$ ,
dann $\left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right) \lt \sqrt{8}.$

(Ansonsten wären Punkt-Paare zulässig, die zu verschiedenen, jeweils “am der Scheitelpunkt-Tangente gespiegelten” Parabeln gehörten.)

Im Übrigen, ausgehend von den in #3 definitiv geforderten drei (verschiedenen) Punkten $S$, $J$ und $K$, mit ihren beschriebenen Distanzverhältnissen
$\left( \frac{JS}{JK} \right) = \left( \frac{KS}{JK} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ,
gehören zur “Parabel” für jeden positiven reellen Wert $r \ne \frac{1}{\sqrt{2}}$ je genau zwei weitere verschiedene Punkte $P$ und $Q$ mit
$\left( \frac{PS}{JK} \right) = \left( \frac{QS}{JK} \right) = r$
sowie allen weiteren in #3 beschriebenen Distanzverhältnissen.

(Ansonsten wären nur echte Teilmengen einer bestimmten “vollständigen” Parabel beschrieben.)
#13 Frank Wappler
7. Februar 2022

Frank Wappler schrieb (#3, 5. Februar 2022):
> [… eine Parabel als] eine Menge von (sehr vielen) Punkten die ganz bestimmte Distanzverhältnisse gegenüber einander haben; […]

Außer den im Kommentar #3 genannten Bedingungen an Distanzverhältnisse (und damit verbundene Forderungen an Existenz oder Nicht-Existenz von Punkten mit bestimmten Distanzverhältnissen bzgl. den weiteren Punkten, die zusammen eine “Parabel (im Flachen)” bilden) muss auch die folgende erfüllt sein:

Falls $\left( \frac{PS}{JK} \right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ,
dann $2 \, \left( \frac{PS}{JK} \right) > \left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right)$ ; und

falls $\frac{1}{\sqrt{2}} > \left( \frac{PS}{JK} \right)$ ,
dann $\sqrt{8} > \left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right).$

(Ansonsten wären Punkt-Paare zulässig, die zu verschiedenen, jeweils “am der Scheitelpunkt-Tangente gespiegelten” Parabeln gehörten.)

Im Übrigen, ausgehend von den in #3 definitiv geforderten drei (verschiedenen) Punkten $S$ , $J$ und $K$ , mit ihren beschriebenen Distanzverhältnissen
$\left( \frac{JS}{JK} \right) = \left( \frac{KS}{JK} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ,
gehören zur “Parabel” für jeden positiven reellen Wert $r \ne \frac{1}{\sqrt{2}}$ je genau zwei weitere verschiedene Punkte $P$ und $Q$ mit
$\left( \frac{PS}{JK} \right) = \left( \frac{QS}{JK} \right) = r$
sowie allen weiteren in #3 beschriebenen Distanzverhältnissen.

(Ansonsten wären nur echte Teilmengen einer bestimmten “vollständigen” Parabel beschrieben.)
#14 Frank Wappler
9. Februar 2022

Frank Wappler schrieb (#13, 7. Februar 2022):
> Außer den im Kommentar #3 genannten Bedingungen an Distanzverhältnisse […] muss auch die folgende erfüllt sein:

> Falls $\left( \frac{PS}{JK} \right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ,
> dann $2 \, \left( \frac{PS}{JK} \right) > \left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right)$ ;

Entsprechend gilt für (den einzuschließenden Fall) $y[ x ] := x^2 \ge 1$ auch die Ungleichung

$2 \left( \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{2} \right) > \frac{\sqrt{ (x + 1)^2 + (x^2 - 1)^2 }}{2} + \frac{\sqrt{ (x - 1)^2 + (x^2 - 1)^2 }}{2}$ ,

während für (den auszuschließenden Fall) $y[ x ] := -x^2 \le -1$ gilt:

$\frac{\sqrt{ (x + 1)^2 + (x^2 + 1)^2 }}{2} + \frac{\sqrt{ (x - 1)^2 + (x^2 + 1)^2 }}{2} > 2 \left( \frac{\sqrt{x^2 + x^4}}{2} \right)$ ,

wie hier gegenübergestellt;

> und falls $\frac{1}{\sqrt{2}} > \left( \frac{PS}{JK} \right)$ ,
> dann […]

nicht $\sqrt{8} > \left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right)$ ,

sondern $\sqrt{2} \ge \left( \frac{PJ}{JK} \right) + \left( \frac{PK}{JK} \right)$ .

Entsprechend gilt für (den einzuschließenden Fall)
$y[ x ] := x^2 \le 1$ auch die Ungleichung

$\sqrt{2} \ge \frac{\sqrt{ (x + 1)^2 + (x^2 - 1)^2 }}{2} + \frac{\sqrt{ (x - 1)^2 + (x^2 - 1)^2 }}{2}$ ,

während für (den auszuschließenden Fall) $y[ x ] := -x^2 \le -1$ gilt:

$\sqrt{ 2 } \le \frac{\sqrt{ (x + 1)^2 + (x^2 + 1)^2 }}{2} + \frac{\sqrt{ (x - 1)^2 + (x^2 + 1)^2 }}{2}$ ,

wie hier gegenübergestellt;

wobei der Gleichheitsfall ausschließlich den Wert $x = 0$ und somit jedenfalls den sowieso in der Parabel enthaltenen Scheitelpunkt $S$ betrifft.

> (Ansonsten […]

… wären Punkt-Paare $P$ und $Q$ zulässig, die zu verschiedenen, jeweils “an der Scheitelpunkt-Tangente gespiegelten” Parabeln gehörten.)

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