Theorema Magnum MMXVIII: die Hodge-Riemann-Relationen für Matroide

Rota definiere 1964 ein charakteristisches Polynom von Matroiden, das im Fall von Graphen dem chromatischen Polynom entspricht. June Huhs Beweis der Log-Konkavität des chromatischen Polynoms war tatsächlich ein Beweis für über C definierte Vektormatroide (d.h. Matroide zu Spalten einer gegebenen Matrix) gewesen. Weil man Vektormatroide über einem Körper der Charakteristik 0 als Vektormatroide über C realisieren kann, folgt die Log-Konkavität auch für deren charakteristische Polynome, und weil Matroide von Graphen stets als Vektormatroide über Körpern der Charakteristik 0 realisiert werden können, erhielt Huh damit sein Resultat. In einer 2012 in Mathematische Annalen veröffentlichten Arbeit dehnten Huh und Katz dieses Resultat zunächst auf Vektormatroide über beliebigen Körpern aus. Ihr Beweis benutzte Schnittheorie auf torischen Varietäten und Hodge-Riemann-Relationen.

Eine allgemeinere Vermutung von Heron-Rota-Welsh besagte, dass das charakteristische Polynom jedes endlichen Matroids log-konkav sein sollte. Nach den Arbeiten von Huh und Katz war der naheliegende Ansatz für diese Vermutung, einen „Kohomologiering“ von Matroiden zu betrachten, in dem die Hodge-Riemann-Relationen erfüllt sein sollten. Dieser Ring war der für Vektormatroide von Concini und Procesi und für allgemeine Matroide von Feichtner und Yuzvinsky konstruierte Chow-Ring, das ist der Quotient des von den nichttrivialen, abgeschlossenen Untermengen F erzeugten Polynomrings R[x_F] modulo gewisser linearer und quadratischer Relationen. Zu jeder submodularen Funktion c auf der Potenzmenge von E kann man ein Element im Chow-Ring und durch Multiplikation mit L(c) einen „Lefschetz-Operator“ auf dem Chow-Ring definieren. Weiterhin hat man eine Bilinearform P(x,y)=deg(xy), wobei der Grad festgelegt wird durch die Bedingung deg(x_F1…x_Fd) für maximale aufsteigende Ketten nichttrivialer, abgeschlossener Untermengen. Huh und Katz erkannten, dass die Log-Konkavität des charakteristischen Polynoms aus den Hodge-Riemann-Relationen für den Chow-Ring (mit Lefschetz-Operator L und Bilinearform P) folgen würde, und (in Retrospekt) dass sie mit diesem Ansatz 2012 die Log-Konkavität für Vektormatroide über beliebigen Körpern bewiesen hatten.

Es war dann die Erkenntnis von Adiprasito, dass man für den Beweis neben den Hodge-Riemann-Relationen auch kombinatorische Versionen des schweren Lefschetz-Satzes und der Poincaré-Dualität formulieren sollte, also ein Analogon des Lefschetz-Pakets, und dass ein kombinatorischer Beweis des schweren Lefschetz-Satzes McMullens (für einfache Polytope) alle drei Eigenschaften beweisen und sich auf Matroide übertragen lassen sollte. (Mit einem ähnlichen Ansatz bewies Adiprasito dann auch die g-Vermutung.) Diesen kombinatorisch formulierten schweren Lefschetz-Satzes und die Hodge-Riemann-Relationen bewiesen Adiprasito, Huh und Katz dann mit rein kombinatorischen Methoden, ohne noch (wie in den vorherigen Arbeiten von Huh und Katz) Bezug auf zu den Matroiden assoziierte Objekte der algebraischen Geometrie zu nehmen. Sie betrachteten Ordnungsfilter von Teilmengen von E und definierten einen „Flip“, mit dem sie den trivialen Fall des leeren Filters mit induktiv größeren Filtern in Beziehung setzen konnten. Damit konnten sie die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms als Produkte von Klassen im Chow-Ring interpretieren und so den schweren Lefschetz-Satz und die Hodge-Riemann-Relationen beweisen.
Insbesondere erhielten sie damit die Log-Konkavität des charakteristischen Polynoms beliebiger Matroide. Die Arbeit „Hodge theory for combinatorial geometries“ wurde 2018 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.