Bild 23/1 zeigt einen Funktionsgraphen; er ist an den Stellen 20, 50 und 500 nicht zusammenhängend, er hat dort Sprungstellen. Anschaulich erscheint es unmittelbar klar, was es bedeutet, dass ein Funktionsgraph zusammenhängend ist. In der Jahrtausende alten Geschichte der Mathematik hat es aber bis ins 18. Jahrhundert gedauert, bis man diesen Zusammenhang auch allgemein und unabhängig von der Anschauung beschreiben konnte. Seither nennt man Funktionen mit zusammenhängenden Graphen stetig. Unstetig sind also z.B. Funktionen, deren Graph eine oder mehrere Sprungstellen hat wie der Graph der Briefportofunktion an den Stellen 20, 50 und 500.

(In Wirklichkeit war es nicht das 18. Jahrhundert, sondern das 19.) Im darauf aufbauenden Analysis-Band für die Oberstufe kommt Stetigkeit dann gar nicht mehr vor, jedenfalls steht das Wort nicht im Stichwortverzeichnis.

Nun muss man wohl zur Kenntnis nehmen, dass diese Themen auch früher an den allermeisten Schülern vorbeigingen und es sicher gute Gründe gibt, die Schwerpunkte im Mathematikunterricht heute anders zu setzen. Fur das Mathematikstudium einschließlich der Lehrerausbildung hieße das dann, entsprechend die “eigentliche” Bedeutung der Konzepte in den ersten Semestern besser vermitteln zu müssen, da sie nicht als bekannt vorausgesetzt werden können.

Grenzwerte als Anwendung der Differentialrechnung

Als wesentliches Ziel der neuen Analysisvorlesungen wurde von “Mathematik neu denken” immer genannt, die Analysis von ihrer “Kalkülbehaftung zu befreien” und stattdessen den Ableitungsbegriff auf viele verschiedene Weisen den Schülern und Studierenden nahezubringen.

Tatsächlich umgesetzt worden zu sein scheint das Gegenteil, in der Lehrerbildung wie im Schulunterricht. (Wobei letzteres natürlich schon immer so gewesen und realistischerweise vielleicht auch nicht anders zu erwarten ist.) Studierende wissen, wie sie Ableitungen auch komplizierterer Funktionen berechnen, sie haben aber auch in höheren Semestern noch keine Vorstellung davon, was Grenzwerte sind. Wenn sie Grenzwerte berechnen sollen, dann tun sie dies mit der Regel von L’Hospital, die es erlaubt die Berechnung von Grenzwerten auf die formale Berechnung von Ableitungen zurückzuführen. Der Grenzwert wird durch Ableiten von Zähler und Nenner berechnet – ein klassischer Zirkelschluss, denn natürlich muss man den Grenzwert bereits kennen um den Sinus abzuleiten.

Wie würden Sie Teil b) der folgenden Aufgabe lösen, wenn Sie vorher a) gelöst haben?

Klar, aus a) folgt, dass die Folge zwischen 0 und 1/n liegt und damit konvergiert sie gegen Null. Von 21 Teilnehmern einer Klausur, die ich mitkorrigiert habe, fand aber keiner diese Lösung, stattdessen lösten alle Studierenden b) mit der L’Hopitalschen Regel. (Dabei bekamen sie zu etwa gleichen Anteilen die jeweils falschen Lösungen und und die richtige Lösung .)

Inzwischen werden in manchen Prüfungen Aufgaben gestellt, die von vornherein so angelegt sind, dass sie sich im Grunde nur mit der L’Hopitalschen Regel lösen lassen. Ein Beispiel aus dem vergangenen Jahr:

Sicher gehörte der Grenzwertbegriff auch früher nicht zu den Kenntnissen der meisten deutschen Abiturienten, aber zumindest war es grundsätzlich möglich, dass sie die Definitionen schon in der Schule gehört und vielleicht sogar verstanden hatten. Es mag durchaus Gründe dafür geben, das heute nicht mehr im allgemeinen Schulunterricht zu vermitteln. Aber man bräuchte dann wohl neue Ideen, um zumindest Studierenden der Mathematik im ersten Semester auch ein wirkliches Verständnis von Grenzwerten zu vermitteln.