Schriftliche Division

Zunächst kaum beachtet wurden im Dezember für Niedersachsen Änderungen im Mathematikunterricht der Grundschule angekündigt. Nach Artikeln in einigen Leitmedien wurde das dann seit der zweiten Januarwoche zu einem Thema polemischer öffentlicher Debatten. Das Bildungsmagazin “News4Teachers” fasste es mit etwas zeitlichem Abstand am 28. Januar so zusammen:

Von 2027/28 an lernen Grundschüler anders, Zahlen zu teilen. Das stößt auf Kritik. Die CDU spricht von einem Ende der Leistungsgesellschaft. Doch Niedersachsens Kultusministerin widerspricht: Sie sieht darin sogar einen Grundstein für mögliche künftige Nobelpreisträger.
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Mit der von 2027/28 greifenden Änderung wird an den Grundschulen hauptsächlich das sogenannte halbschriftliche Dividieren gelehrt, bei der die Zahlen in übersichtlichere Teilzahlen zerlegt und dann geteilt werden. Die klassische Division wird dafür erst verbindlich ab Klasse 5 unterrichtet.
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«Wir reduzieren keine Standards, sondern wir steigern das Verständnis», betonte [Ministerin] Hamburg. «Ich gehe fest davon aus, dass die Kinder dadurch besser in Mathe werden.» Die Schülerinnen und Schüler würden sicherer Kopfrechnen können und auch eigene Lösungswege für mathematische Probleme finden. «Damit legen wir den Grundstein, dass Kinder später auch richtig hochspringen und im Studium ganz neue eigene Modelle entwickeln können und vielleicht sogar mal einen Nobelpreis gewinnen.»
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Sophie Ramdor von der CDU beklagte eine generelle Abkehr von der Leistungsgesellschaft. «Wenn das Ministerium weiter eine Welt für die Kinder erschafft, in der ihnen nichts mehr zugetraut wird, in der nicht zugelassen wird, dass sie sich anstrengen und über sich selbst hinauswachsen können, dann wird es in Zukunft keine Spitzensportler, keine Innovation mehr aus diesem Land geben», sagte sie.
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In die gleiche Kerbe schlägt der Philologenverband Niedersachsen (PhVN). […] «Wenn die Vernetzung dieser Kompetenzen nicht mehr sichtbar ist, dann ist es auch schwieriger zu erkennen, ob ein Kind komplexe Zusammenhänge erfassen kann oder eben nicht»
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Allerdings ist die neue Vermittlung der Division kein grünes Projekt, wie Kritiker behaupten: Die Anpassungen orientieren sich an den Bildungsstandards der Länder, wie sie die Kultusministerkonferenz (KMK) festgelegt hat – darunter eben auch Kultusminister der Union.
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Neben Niedersachsen haben der Landesregierung zufolge bereits fünf weitere Länder die Änderung angeschoben. Darauf verwies auch der SPD-Abgeordnete Thore Güldner. Er kritisierte, eine gemeinsame Vereinbarung werde nun «zu einem Kulturkampf aufgeblasen».

Kulturkämpfe

Inhalte des Mathematikunterrichts zu Kulturkämpfen aufzublasen hat in den USA eine lange Tradition, in Deutschland bisher eigentlich weniger, wenn man mal von den Auseinandersetzungen um die “Mengenlehre” im Schulunterricht Anfang der 70er Jahre absieht.

In den USA fanden solche Debatten oft unter Beteiligung von Mathematikern statt, die sich meist gegen die “Reformen” positionierten und dann manchmal auch ungewollt von republikanischer Seite vereinnahmt wurden.

Ein nicht mehr ganz aktuelles, aber vielleicht recht typisches Beispiel ist dieses Zitat aus einem Interview mit Francis Fukuyama im SPIEGEL 49/2021:

In New York City sind sie dabei, Schulen abzuschaffen, für die man einen Test absolvieren muss. Etwas ähnliches geschieht in Kalifornien, wo der Lehrplan für Mathematik an öffentlichen Schulen verwässert werden soll, weil schwarze und hispanische Schüler damit Schwierigkeiten haben. Ich glaube, dass dies eine verheerende Entwicklung ist, und zwar aus zwei Gründen. Zum einen, wenn man Schülern nicht Integralrechnung beibringt, raubt man ihnen die Chance, Wissenschaftler oder Ingenieur zu werden. Zum anderen hat es aber auch eine politische Folge. Die meisten meiner konservativen Freunde mögen Donald Trump nicht. Aber sie hassen die Linken noch mehr, weil die so lächerliche Pläne wie die Änderung des Mathematik-Lehrplans betreiben. Diese Art der Identitätspolitik erzeugt eine Gegenbewegung.

Der drittletzte Satz mag ja Wunschdenken sein, aber was ist dran an der Abschaffung der Integralrechnung? Zu den damaligen Diskussionen in Kalifornien fand man mit Google einen sehr polemischen Artikel von Svetlana Jitomirskaya und einen zurückhaltender formulierten von Monica Osborne. Die Vorschläge, um die es ging, waren damals natürlich auch öffentlich einsehbar. Ich habe zwar nicht die Stelle gefunden, wo Integralrechnung abgeschafft werden sollte, aber vieles in dem Text wirkte wie ein beliebiges Zusammenwürfeln irgendwo gehörter Schlagworte. Beispielsweise gab es einen längeren Abschnitt darüber, wie man Schülern der Klassen 9-12 komplexe Zahlen vermitteln sollte (vielleicht nicht das wichtigste Thema für diese Jahrgänge), wo über die Bedeutung visueller Darstellungen von Zahlensystemen gesprochen und diese dann aber nicht mit einem Bild der komplexen Ebene, sondern einem Venn-Diagramm verschiedener Zahltypen illustriert wurden. Auch Ideen, klassischen Mathematikunterricht durch Data Science zu ersetzen (statt letztere als Anwendung der Mathematik zu betrachten) wirkten nicht sehr ausgegoren. Man könnte die einzelnen Teile des Rahmenplans durchgehen und da sicher viel zu schreiben. Andererseits würde ich doch bezweifeln, dass all das an den Schulen tatsächlich umgesetzt wurde. Insofern dürfte es doch eher “much ado about nothing” gewesen sein.

Neue Medien

Offenkundig werden solche Debatten, in denen es dann meist nicht mehr um die eigentlichen inhaltlichen Fragen geht, vor allem durch die (inzwischen nicht mehr ganz so neuen) sozialen Medien befeuert, inzwischen auch in Deutschland. YouTube-Kanäle, in denen der Untergang des deutschen Bildungssystems und speziell des Mathematikunterrichts beklagt wird, haben zehntausende Aufrufe und hunderte Zuschauerkommentare, die dann beispielsweise beklagen, dass “Ansprüche nach unten geschraubt” würden, um “eine Quote zu erreichen”, oder die ihren allgemeinen Weltfrust mit dem Thema Mathematikunterricht verbinden, etwa indem sie sich darüber beklagen, dass in den neuen Mathematikbüchern der Gymnasien bevorzugt nichtdeutsche Namen vorkommen würden. Sehr häufig geht es dann ganz allgemein darum, dass früher alles anders und besser war. Ein typisches Beispiel eines Zuschauerkommentars unter einer Sendung “Deutschland verlernt das Denken – Mathematikprofessor nennt die Schuldigen” der YouTuberin Jasmin Kosubek vom 1. Februar:

Als alter Mathematiklehrer (seit 12 J. pens.) möchte ich dem Hr. Prof. meinen Dank und meine Anerkennung aussprechen für die zutreffende Beschreibung des dt. Schulsystems. Es waren nicht Mathematiker und Naturwissenschaftler, die diese Katastrophe verursacht haben. Es waren die Politiker, und sie ruinieren immer noch!

Mathematik neu denken

In Deutschland waren Reformen des Mathematikunterrichts meist unabhängig von politischen Diskussionen zum Schulsystem. Während letztere traditionell mal einen Schwerpunkt in der Frage Einheitsschule versus dreigliedriges Schulsystem hatten, war in der Mathematik nach meinem Eindruck der Reformeifer bei der Lehrerbildung für den gymnasialen Unterricht immer deutlich größer als bei den anderen Schultypen.

Ältere Leser werden sich erinnern, dass nach dem ersten PISA-Schock viel über Änderungen im Mathematikunterricht gesprochen wurde. Obwohl Deutschland damals vor allem bei den anderen Schultypen schlecht abschnitt, sollte dann zunächst die Ausbildung der Gymnasiallehrer reformiert werden, unter dem Schlagwort “Mathematik neu denken”.

Der Name nahm offenkundig Bezug auf Hartmut von Hentig (“Schule neu denken”), und auch inhaltlich wirkten die Programme eher wie von Altphilologen verfaßt als von Kämpfern für Quoten oder soziale Gerechtigkeit. Ganz offensichtlich ging es eher darum, die Abgrenzung der Gymnasiallehrerausbildung zu anderen Schultypen beizubehalten und gleichzeitig eine Abgrenzung zum “gewöhnlichen” Mathematikstudium herzustellen. Trotz der im Namen erkennbaren Bezugnahme auf von Hentig ging es primär um einen Paradigmenwechsel in der Lehrerausbildung und weniger um Änderungen an Schulen.

Das klingt natürlich alles sehr schön. Im Detail wirkten die Empfehlungen aber schon damals konfus und wenig durchdacht.

Ich finde keinen dieser Vorschläge wirklich sinnvoll und ich weiß auch nicht, ob es irgendwelche seriösen Untersuchungen dazu gibt, wie sich diese oder andere Reformideen der letzten 20 Jahre auf die Lehrerbildung und dann den Schulunterricht ausgewirkt haben.

Schulbücher

Im Vergleich zu meiner Schulzeit sind Lehrbücher heute nicht nur bunter und lockerer, sondern auch inhaltsreicher und weniger eintönig. Als Mathematiker bedauert man natürlich, dass das, was wir eigentlich unter Mathematik verstehen, kaum noch vorkommt. Klassische Elementargeometrie scheint weitgehend verdrängt worden zu sein, Beweise unerwünscht, selbst dort, wo sie sich anschaulich und verständlich präsentieren ließen. Bei dem unten abgebildeten Beispiel hat man den Eindruck, dass die Autoren um jeden Preis den Eindruck vermeiden wollten, einen formalen Beweis zu präsentieren, obwohl alle Ingredienzen für den Beweis ja im Bild bereits vorkommen. (Man müsste noch den roten Winkel nach rechts drehen und den grünen nach links, so dass man eine zur Grundseite parallele Gerade bekommt.)

(Dieses Beispiel aus einem realen Schulbuch habe ich von der Webseite von Prof. Hermann Karcher, Bonn, wo sich zahlreiche kritische Texte zur Schulmathematik und zu aktuellen Lehrbüchern finden.)

Und auch in der Differentialrechnung werden formale Definitionen (etwa zu Grenzwerten) krampfhaft vermieden. Zum Beispiel führt ein Schulbuch Mathematik für das 11. Schuljahr den Begriff Stetigkeit im Abschnitt über Zwischenwerte ein:

Bild 23/1 zeigt einen Funktionsgraphen; er ist an den Stellen 20, 50 und 500 nicht zusammenhängend, er hat dort Sprungstellen. Anschaulich erscheint es unmittelbar klar, was es bedeutet, dass ein Funktionsgraph zusammenhängend ist. In der Jahrtausende alten Geschichte der Mathematik hat es aber bis ins 18. Jahrhundert gedauert, bis man diesen Zusammenhang auch allgemein und unabhängig von der Anschauung beschreiben konnte. Seither nennt man Funktionen mit zusammenhängenden Graphen stetig. Unstetig sind also z.B. Funktionen, deren Graph eine oder mehrere Sprungstellen hat wie der Graph der Briefportofunktion an den Stellen 20, 50 und 500.

(In Wirklichkeit war es nicht das 18. Jahrhundert, sondern das 19.) Im darauf aufbauenden Analysis-Band für die Oberstufe kommt Stetigkeit dann gar nicht mehr vor, jedenfalls steht das Wort nicht im Stichwortverzeichnis.

Nun muss man wohl zur Kenntnis nehmen, dass diese Themen auch früher an den allermeisten Schülern vorbeigingen und es sicher gute Gründe gibt, die Schwerpunkte im Mathematikunterricht heute anders zu setzen. Fur das Mathematikstudium einschließlich der Lehrerausbildung hieße das dann, entsprechend die “eigentliche” Bedeutung der Konzepte in den ersten Semestern besser vermitteln zu müssen, da sie nicht als bekannt vorausgesetzt werden können.

Grenzwerte als Anwendung der Differentialrechnung

Als wesentliches Ziel der neuen Analysisvorlesungen wurde von “Mathematik neu denken” immer genannt, die Analysis von ihrer “Kalkülbehaftung zu befreien” und stattdessen den Ableitungsbegriff auf viele verschiedene Weisen den Schülern und Studierenden nahezubringen.

Tatsächlich umgesetzt worden zu sein scheint das Gegenteil, in der Lehrerbildung wie im Schulunterricht. (Wobei letzteres natürlich schon immer so gewesen und realistischerweise vielleicht auch nicht anders zu erwarten ist.) Studierende wissen, wie sie Ableitungen auch komplizierterer Funktionen berechnen, sie haben aber auch in höheren Semestern noch keine Vorstellung davon, was Grenzwerte sind. Wenn sie Grenzwerte berechnen sollen, dann tun sie dies mit der Regel von L’Hospital, die es erlaubt die Berechnung von Grenzwerten auf die formale Berechnung von Ableitungen zurückzuführen. Der Grenzwert wird durch Ableiten von Zähler und Nenner berechnet – ein klassischer Zirkelschluss, denn natürlich muss man den Grenzwert bereits kennen um den Sinus abzuleiten.

Wie würden Sie Teil b) der folgenden Aufgabe lösen, wenn Sie vorher a) gelöst haben?

Klar, aus a) folgt, dass die Folge zwischen 0 und 1/n liegt und damit konvergiert sie gegen Null. Von 21 Teilnehmern einer Klausur, die ich mitkorrigiert habe, fand aber keiner diese Lösung, stattdessen lösten alle Studierenden b) mit der L’Hopitalschen Regel. (Dabei bekamen sie zu etwa gleichen Anteilen die jeweils falschen Lösungen und und die richtige Lösung .)

Inzwischen werden in manchen Prüfungen Aufgaben gestellt, die von vornherein so angelegt sind, dass sie sich im Grunde nur mit der L’Hopitalschen Regel lösen lassen. Ein Beispiel aus dem vergangenen Jahr:

Sicher gehörte der Grenzwertbegriff auch früher nicht zu den Kenntnissen der meisten deutschen Abiturienten, aber zumindest war es grundsätzlich möglich, dass sie die Definitionen schon in der Schule gehört und vielleicht sogar verstanden hatten. Es mag durchaus Gründe dafür geben, das heute nicht mehr im allgemeinen Schulunterricht zu vermitteln. Aber man bräuchte dann wohl neue Ideen, um zumindest Studierenden der Mathematik im ersten Semester auch ein wirkliches Verständnis von Grenzwerten zu vermitteln.