„Alle Quantenzahlen sind Kennzeichen von Gruppendarstellungen“ – mit diesem Postulat pflegte Hermann Weyl die Bedeutung der Gruppentheorie, besonders der Darstellungstheorie unitärer Gruppen auf Hilberträumen, in der Quantenmechanik zu betonen. Die Darstellungstheorie kompakter Gruppen wurde in den 20er Jahren vor allem von Hermann Weyl ausgearbeitet, aufbauend auf der von Élie Cartan entwickelten Darstellungstheorie einfacher Lie-Gruppen. Am…
Werteverteilungstheorie fragt danach, wie oft ein Wert a von einer Funktion f:C—->C angenommen wird. Für Polynome liefert der Fundamentalsatz der Algebra eine Werteverteilungstheorie: Ein Polynom vom Grad d hat (mit Vielfachheiten gezählt) genau d Nullstellen und nimmt auch jeden anderen Wert (mit Vielfachheiten gezählt) d-mal an. Weiter hat man auch eine quantitative Aussage: das Maximum…
Mathematische Statistik wurde im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert von Anwendern als Methodenlehre entwickelt. Im klassenbewußten England waren dabei Arbeiten zur Rassenlehre, Eugenik und Vererbung von Hochbegabungen eine wesentliche Triebkraft. Mathematisch lag der Schwerpunkt auf Verfahren, die auf bestimmte Klassen von Verteilungen (charakterisiert durch einen endlich-dimensionalen Parameter) zugeschnitten sind. Sir Francis Galton, der als…
In seinem 1879 erschienenen Buch “Kalkül der abzählenden Geometrie” hatte der Hamburger Gymnasialprofessor Hermann Schubert Methoden für Abzählprobleme der algebraischen Geometrie entwickelt. Seine Beweise beruhten auf dem “Prinzip der Erhaltung der Anzahl”: die Anzahl der Lösungen eines geometrischen Problems bleibe bei Deformationen erhalten; man könne also so deformieren, dass man ein einfach zu lösendes Problem…
Die Beschäftigung mit Differentialgleichungen beginnt mit Newton, dessen zweites Gesetz (in Eulerscher Formulierung) der Differentialgleichung mx’’(t)=F entspricht, die die Bewegung eines Körpers der Masse m unter der Wirkung einer Kraft F beschreibt und sie eindeutig festlegen soll, sobald x(0) und x’(0) bekannt sind. Lange interessierte man sich nur für explizite Lösungen spezieller Klassen von Differentialgleichungen.…
John Conway ist gestern im Alter von 82 Jahren an den Folgen von Covid-19 gestorben. Er galt als der “König der Unterhaltungsmathematik”, auf den zahlreiche mathematische Spiele und Rátsel zurückgehen. In der mathematischen Forschung ist er unter anderem dafür bekannt, dass er eine bemerkenswerte Familie einfacher Gruppen entdeckte. Er hatte sich für einen gewissen binären…
Lagrange und vor allem Gauß hatten sich mit der Frage befaßt, welche ganzen Zahlen durch eine gegebene ganzzahlige, binäre, quadratische Form ax2+bxy+cy2 dargestellt werden können, und sie hatten auch einige Resultate für ganzzahlige quadratische Formen in mehr als zwei Variablen erzielt. Abschließende Resultate gab es dort aber nicht und selbst die abschließende Behandlung der binären…
Algebraische Zahlen (reelle Zahlen, die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind) bilden eine abzählbare Menge, die reellen Zahlen hingegen nach Cantor eine überabzählbare. Es müssen also die meisten reellen Zahlen transzendent (nicht algebraisch) sein. Trotzdem ist es sehr schwer, konkrete transzendente Zahlen zu konstruieren. Liouville bewies 1844, dass algebraische Zahlen schlecht durch rationale Zahlen…
Die Partitionsfunktion p(n) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, die natürliche Zahl n in eine Summe natürlicher Zahlen zu zerlegen. Sie ist von Bedeutung in der Kombinatorik und in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe und der allgemeinen linearen Gruppe. Für kleine n läßt sich p(n) leicht berechnen, zum Beispiel ist p(4)=5: die fünf Zerlegungen der…
Die Nützlichkeit topologischer Stetigkeitsargumente bei der Lösung geometrischer Probleme wird manchmal (zum Beispiel im sehr empfehlenswerten Buch von Boltjanskij-Efremowitsch) veranschaulicht mit dem Beweis, dass jede beliebige geschlossene Kurve durch ein Quadrat umschrieben werden kann: Zu jedem Winkel α findet man ein Rechteck, dessen erste Seite Neigungswinkel α hat und das die Kurve umschreibt. (Man nehme…
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