In seinem 1879 erschienenen Buch “Kalkül der abzählenden Geometrie” hatte der Hamburger Gymnasialprofessor Hermann Schubert Methoden für Abzählprobleme der algebraischen Geometrie entwickelt. Seine Beweise beruhten auf dem “Prinzip der Erhaltung der Anzahl”: die Anzahl der Lösungen eines geometrischen Problems bleibe bei Deformationen erhalten; man könne also so deformieren, dass man ein einfach zu lösendes Problem…
Die Beschäftigung mit Differentialgleichungen beginnt mit Newton, dessen zweites Gesetz (in Eulerscher Formulierung) der Differentialgleichung mx’’(t)=F entspricht, die die Bewegung eines Körpers der Masse m unter der Wirkung einer Kraft F beschreibt und sie eindeutig festlegen soll, sobald x(0) und x’(0) bekannt sind. Lange interessierte man sich nur für explizite Lösungen spezieller Klassen von Differentialgleichungen.…
John Conway ist gestern im Alter von 82 Jahren an den Folgen von Covid-19 gestorben. Er galt als der “König der Unterhaltungsmathematik”, auf den zahlreiche mathematische Spiele und Rátsel zurückgehen. In der mathematischen Forschung ist er unter anderem dafür bekannt, dass er eine bemerkenswerte Familie einfacher Gruppen entdeckte. Er hatte sich für einen gewissen binären…
Lagrange und vor allem Gauß hatten sich mit der Frage befaßt, welche ganzen Zahlen durch eine gegebene ganzzahlige, binäre, quadratische Form ax2+bxy+cy2 dargestellt werden können, und sie hatten auch einige Resultate für ganzzahlige quadratische Formen in mehr als zwei Variablen erzielt. Abschließende Resultate gab es dort aber nicht und selbst die abschließende Behandlung der binären…
Algebraische Zahlen (reelle Zahlen, die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind) bilden eine abzählbare Menge, die reellen Zahlen hingegen nach Cantor eine überabzählbare. Es müssen also die meisten reellen Zahlen transzendent (nicht algebraisch) sein. Trotzdem ist es sehr schwer, konkrete transzendente Zahlen zu konstruieren. Liouville bewies 1844, dass algebraische Zahlen schlecht durch rationale Zahlen…
Die Partitionsfunktion p(n) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, die natürliche Zahl n in eine Summe natürlicher Zahlen zu zerlegen. Sie ist von Bedeutung in der Kombinatorik und in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe und der allgemeinen linearen Gruppe. Für kleine n läßt sich p(n) leicht berechnen, zum Beispiel ist p(4)=5: die fünf Zerlegungen der…
Die Nützlichkeit topologischer Stetigkeitsargumente bei der Lösung geometrischer Probleme wird manchmal (zum Beispiel im sehr empfehlenswerten Buch von Boltjanskij-Efremowitsch) veranschaulicht mit dem Beweis, dass jede beliebige geschlossene Kurve durch ein Quadrat umschrieben werden kann: Zu jedem Winkel α findet man ein Rechteck, dessen erste Seite Neigungswinkel α hat und das die Kurve umschreibt. (Man nehme…
Man weiß seit dem 17. Jahrhundert, dass Energie und Impuls Erhaltungsgrößen sind. Im 18. Jahrhundert wurde mit dem Drehimpuls noch eine weitere Erhaltungsgröße gefunden. Seit Lagrange beschreibt man die Dynamik t—->q(t) mechanischer Systeme dadurch, dass für eine gewisse Lagrange-Funktion L – zum Beispiel L=Ekin-Epot für Systeme mit einem (verallgemeinerten) Potential und holonomen Zwangsbedingungen – das…
Der Abelpreis (mit gut 106$ der höchstdotierte Mathematikpreis) geht dieses Jahr an Hillel Furstenberg und Grigori Margulis für ihre Arbeiten zur Ergodentheorie.
Das 19. Jahrhundert war in der Mathematik das Jahrhundert der Funktionentheorie gewesen, vor allem der elliptischen Funktionen (Umkehrfunktionen elliptischer Integrale) und dann ihrer Verallgemeinerungen in mehreren Variablen, den abelschen Funktionen. Elliptische Funktionen sind doppelt-periodisch, also periodisch bezüglich eines Gitters L in C. Alle solchen Funktionen lassen sich als Polynom in der Weierstraßschen p-Funktion des jeweiligen…
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