Charakteristische Klassen sollen messen wie getwistet (verdreht) ein Bündel ist. Das Möbiusband zum Beispiel ist – als Bündel über dem Mittelkreis betrachtet – verdrehter als ein Kreisring: weshalb seine charakteristischen Klassen komplizierter sein sollten. (Der Kreisring ist – als Bündel über dem Mittelkreis – sogar völlig unverdreht, weshalb seine charakteristischen Klassen trivial sein sollten.) So…
Universelle Geradenbündel oder: Wie bekommt man höherdimensionale Möbiusbänder? Das Möbiusband als getwistetes Geradenbündel über dem Kreis kann man sich – wie letzte Woche gesehen – denken als Vereinigung der Geraden durch den Nullpunkt der Ebene, wobei der Nullpunkt der Ebene “aufgelöst” (und durch einen Kreis ersetzt) wurde, weil er ja in jeder Gerade vorkommt. Wie…
Das Möbiusband – nicht nur das einfachste Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche (letzte Woche), auch das einfachste Beispiel eines “getwisteten” Bündels von Geraden (nächste Woche) und einfach eine Zusammenfassung aller Geraden in der Ebene. Mit Geraden in der Ebene meinen wir Geraden durch den Nullpunkt, formal also: 1-dimensionale Untervektorräme des R2. Wenn man diese Geraden zusammenfasst,…
Das Möbiusband aus dem Silvesterartikel ist nicht nur eine Kuriosität, sondern in der Algebraischen Topologie der elementarste Baustein bei der Definition “charakteristischer Klassen”, der sogenannten Stiefel-Whitney-Klassen, die einerseits bei der (Nicht)immersierbarkeit von Mannigfaltigkeiten in den euklidischen Raum (dem Thema der letzten Wochen) eine wichtige Rolle spielen, und mit denen man andererseits entscheiden kann, wann eine…
Wie schon in früheren Jahren auch diesmal zum Jahreswechsel nur kurz etwas Skurriles: die Möbius-Uhr!
In eine enge Garage oder Parklücke waagerecht einzuparken, also mit einem Wagen der Länge L in einem Rechteck der Länge L+ε zu manövrieren: läßt sich mathematisch durch eine einfache Differentialgleichung modellieren: x’sinα=y’cosα. Dabei sind (x,y) die Koordinaten eines Massepunktes in der Ebene (etwa der Mittelpunkt der Hinterachse des Wagens) und α ist die vom Lenkrad…
1,2,…,n-1 funktionieren, gehts dann auch für n? Aus der Schule kennt man die Geschichte mit den Eulerzahlen: die Formel 22n-1+1 liefert die Primzahlen 3,5,17,257 und 65537 und Fermat vermutete, dass sie immer Primzahlen liefere, erst Euler fand die Teilbarkeit von 232+1=424967297 durch 641. Gerade die Zahlentheorie kennt noch viel beeindruckendere Beispiele. Zum Beispiel sind für…
Das Titelbild zeigt einen Teil einer seltsamen Immersion des Torus in den R3 (von Cassidy Curtis). Andererseits hat man natürlich auch die übliche Einbettung des Torus in den R3 und man fragt sich, ob solche verschiedene Immersionen des Torus eigentlich topologisch dieselben sind – so wie (nur mal als Analogie) scheinbar kompliziert aussehende Knoten ja…
Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V2(R3) – benannt nach Eduard Stiefel – ist die Menge aller geordneten Paare orthonormaler Vektoren im 3-dimensionalen Vektorraum R3. (Allgemein ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit Vk(Rn) die Menge der geordneten k-Tupel orthonormaler Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum Rn.) Immersionen des Kreises und π1(V1(R2)) Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, wie man die regulären Homotopieklassen regulärer Kurven…
Egal, wie verschrumpelt eine Sphäre ist, man kann sie wieder rundmachen – das bewies Steven Smale 1957. Das Video “Turning the sphere inside out” (vor 3 Wochen verlinkt) zeigte die Umstülpung der Sphäre, also wie man eine die Sphäre so verformt, dass innen und aussen vertauscht werden. Die Umstülpbarkeit der Sphäre ist natürlich ein Spezialfall…
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