Die Innenwinkelsumme euklidischer Dreiecke ist stets π. Dagegen hängt die Innenwinkelsumme gekrümmter Dreiecke vom Flächeninhalt ab. Die Innenwinkelsumme eines sphärischen Dreiecks ist π + Flächeninhalt, die eines hyperbolischen Dreiecks π – Flächeninhalt. Carl Friedrich Gauß bewies in den 1820er Jahren allgemein, dass bei (nicht notwendig konstanter) Krümmung K die Innenwinkelsumme ist, wobei der zweite Summand…
Die Euler-Charakteristik war hier schon häufiger Thema, beim Igelsatz (TvF 201) wie auch bei Zerlegungen von Flächen (TvF 3) oder dem Gauß-Bonnet-Theorem (TvF 71). Der Igelsatz zeigt den Zusammenhang zwischen Euler-Charakteristik und Nullstellen von Vektorfeldern. Letztere haben offenkundig damit zu tun, wie getwistet das Tangentialbündel der Fläche ist. Die Twists im Tangentialbündel wiederum mißt man…
Charakteristische Klassen sollen messen wie getwistet (verdreht) ein Bündel ist. Das Möbiusband zum Beispiel ist – als Bündel über dem Mittelkreis betrachtet – verdrehter als ein Kreisring: weshalb seine charakteristischen Klassen komplizierter sein sollten. (Der Kreisring ist – als Bündel über dem Mittelkreis – sogar völlig unverdreht, weshalb seine charakteristischen Klassen trivial sein sollten.) So…
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