Algebraische Zahlentheorie befaßt sich spätestens seit Hilbert mit Körpererweiterungen von Zahlkörpern. So wie sich das quadratische Reziprozitätsgesetz als Satz über Ideale in quadratischen Erweiterungen von Q interpretieren läßt, so sollen auch alle höheren Reziprozitätsgesetze im Kontext abelscher Erweiterungen von Zahlkörpern erklärt werden. Die Klassifikation abelscher Erweiterungen eines Zahlkörpers benötigt das Studium des sogenannten Klassenkörpers (d.h.…
Beim quadratischen Reziprozitätsgesetz geht es um die Lösbarkeit der Gleichung x2=p mod q. Für seine Formulierung verwendet man das Legendre-Symbol , welches 1 sein soll, wenn x2=p mod q eine Lösung hat, und -1 sonst. Dann besagt das Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen p,q. In ideal- und körpertheoretischer Sprache übersetzt sich x2=p mod q in die…
Das von Carl Friedrich Gauß in seinem Jugendwerk Disquisitiones Arithmeticae bewiesene quadratische Reziprozitätsgesetz gilt heute als der Übergang von der elementaren zur algebraischen Zahlentheorie: es handelt sich um ein elementares Problem, das von Gauß mit elementaren Mitteln bewiesen wurde, jedoch machte die Suche nach Verallgemeinerungen des Reziprozitätsgesetzes große Teile der dann entstehenden algebraischen Zahlentheorie aus.…
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